多元随机波动率模型的分析与应用

【摘要】本文基于金融资产收益序列的特点，构造一种新的多元随机波动率模型（Heavy-tailed factor-MSV），用以描述金融市场的波动溢出效应。将模型运用于上证指数和深证成指，恒生指数，标普500指数，法国CAC指数，日经225指数的日收益率数据。实证分析表明，6个股票市场的波动持续性受到共同的因素影响，6个市场的波动噪音都很大。上证指数与其它5个指数都是正相关，其中上证指数与深证成指相关性最强，其次是恒生指数，日经225指数，法国CAC指数，与标普500指数的相关性最弱。

【关键词】时变相关；MSV；波动溢出；MCMC

金融时间序列有一个显著的特点是存在条件异方差，关于条件异方差建模的方法包括两大类：1982年Engle提出的自回归条件异方差（ARCH）模型和1986年Taylor提出的随机波动（SV）模型[1]。但上述讨论的两类模型都是单变量模型，考虑到现代金融市场中各种资产的收益波动都不是孤立的，资产收益的波动呈现传导性，我们称之为波动溢出效应。因此，把波动模型的维数从一维推广到多维情形，不仅可以模拟时间序列内部的特点，又可以考虑时间序列之间的相互影响的现象，这样建立的模型能更好的模拟金融时间序列的实际市场情况。近年来有学者提出了许多MARCH模型，逐渐得到了广泛运用[2]。相比之下，关于MSV模型的研究却没有多少进展，归纳其原因，主要有两点：一是MSV模型的参数很难估计。我们知道，MARCH的参数估计是一个棘手的问题，MSV模型的参数估计更难，包括高维参数空间，多元变量间的正定协方差矩阵，而且很难得到似然函数的显示表达式；二是作为一类不是很成熟的模型，MSV模型的类型很少，现有的一些MSV模型没有考虑到时间序列数据的一些重要特点。

本文提出一种新的多元随机波动率模型（Heavy-tailed factor-MSV），刻画了金融资产尖峰后尾，波动率聚集[3]以及金融资产间的时变相关性。

1.Heavy-tailed factor-MSV模型

为了研究方便，考虑两维情形，多维情况可类似推理。

回归方程组右边的第一个因子Dft模拟的是影响所有资产t时刻收益的公共因子，回归方程组右边的第二个因子满足二元t分布，模拟的是影响两个资产t时刻收益的各自特殊因素。Heavy-tailed factor-MSV模型能模拟资产的尖峰后尾，波动率聚集现象，同时模型也能模拟资产收益和波动率的自相关结构。资产收益序列之间的相关系数是时变相关，与有关。由相关系数关系式可见，波动越大，资产收益序列之间的相关性越强。其中：

表明是公共因子的对数条件方差。是二元序列在时期的观测值，是样本容量，两个序列在时期的观测值满足回归方程，回归方程的残差服从t分布，方差为，自由度为。由AR（1）过程产生：

在这里设定，因此可以得到对于给定的，服从正态分布，即（。给定，公共因子服从t分布，即（。因此，不难看出对于给定的参数，服从t分布，即

2.金融市场波动溢出效应的实证分析

2.1 数据的选取

为了研究不同股票市场的波动溢出效应，本文采用六元随机波动率模型，选取上证综合指数、深圳成分指数、香港恒生指数、标普500指数、法国CAC指数、日经225指数为样本，数据来源于大智慧行情信息系统。选用2008年10月17日到2011年7月6日的6个股票指数的日收盘价，分析中取收益率序列为分析对象，每日的收盘价为{}，相应地将收益率{}近似为：，由于不同国家的时差以及假日不同，对原始数据进行了预处理，最终得到T=597组有效数据。

2.2 模型参数的先验分布

下面给出模型中参数的先验分布，并假设各参数是相互独立的：

2.3 实证结果

采用MCMC方法，使用WINBUGS软件对对模型进行Bayes参数估计。对每个待估参数进行20000次迭代运算，舍弃前10000次迭代，即所谓的“燃烧期”，确定了MCMC方法收敛，最后得到参数的估计值。下表给出了模型的参数估计结果。

从表格中我们可以看出：16个参数的MC误差与标准差之比都远小于1，因此参数的后验估计是正确的。从参数估计看：Rou12，Rou13，Rou14，Rou15，Rou16分别是上证指数和深证成指，恒生指数，标普500指数，法国CAC指数，日经225指数的相关系数，5个相关系数的均值均大于0，表明上证指数与其它5个指数的波动都是正相关的；Rou12＞Rou13＞Rou16＞Rou15＞Rou14，表明上证指数和深证成指的相关性最强，其次是恒生指数，日经225指数，法国CAC指数，与标普500指数的相关性最弱。6个指数公共波动性水平参数很小，说明两市波动风险受到共同的因素影响很小；公共波动持续性参数＞0.9911，说明6个市场的波动持续性受到共同的因素影响；扰动水平参数＞0.46，说明6个市场的波动噪音都很大。上证指数和深证成指，恒生指数，标普500指数，法国CAC指数，日经225指数服从六元t分布的自由度=3.631＞3，因此6个指数服从六元厚尾分布的假设是正确的。

3.结论

本文提出MSV模型，用以模拟金融时间序列的尖峰后尾，波动率聚集，时变相关性以及金融资产间的波动溢出效应。将模型运用于六个股票指数（上证综合指数、深圳成分指数、香港恒生指数、标普500指数、法国CAC指数、日经225指数）进行实证分析，结果表明：六个股票市场同其他典型金融时序一样，存在厚尾性和波动的高度持续性。股票市场存在典型的波动溢出效应，上证指数和深证成指的相关性最强，其次是恒生指数，日经225指数，法国CAC指数，与标普500指数的相关性最弱。

进一步研究展望：（1）提出更好的估计MSV模型的参数的方法，国内外研究目前进展也不大。（2）继续改进MSV模型，发展更多适合多元时间序列特点建模的MSV模型。（3）MSV模型的实证方面开发更易操作，运行速度更快，运算精度更高的软件。

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