多元函数极值理论的应用

引言：多元函数极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，在其它学科及实际生活中也有着广泛的应用。本文在多元函数极值有关理论的基础上，讨论多元函数求解极值的理论方法，以拉格朗日乘数法为主，以柯西、均值不等式法，梯度法，代换法等为补充方法，同时通过典型例题阐明多元函数极值在实践中的应用，尤其是在数学与经济领域的应用，最终找出解决问题的最优方法。

多元函数的极值问题是多元函数微分学的重要应用，我们可以先以二元函数为例进行讨论，逐步推广到 元函数的极值理论。从常见的无条件极值问题开始，还会见到许多带有约束条件的多元函数极值问题即条件极值问题。

多元函数极值理论求解的常见计算方法有：最小二乘法，拉格朗日乘数法，代入法 ，柯西、均值不等式法，梯度法，标准量代换法，矢量法。需要注意的是在求解较简单的条件极值问题时，既可以用拉格朗日乘数法，也可用代入法，用代入法求解时要注意代入的条件，否则会导致不完整甚至错误的解答。

多元函数极值理论在实际中的应用十分广泛，几乎遍及数学与科学的各个领域，在生产和日常生活中我们常常希望减少损耗率、增加利润率，也希望在金融和工程等方面达到最优，这些实际问题都可归结为函数极值问题。因此研究多元函数极值理论的应用十分必要，下面我们以实际常见的问题为例子展开讨论。

例1 分解已知正数 为 个正的因数，使得它们的倒数之和为最小。

在数学问题中我们常见的一种题型是用极值理论来证明不等式，拉格朗日乘数法，柯西、均值不等式法经常用到。

多元函数极值的应用非常广泛，还常涉及到经济领域，用来解决最大利润问题、库存问题、消费者效益最大问题这三类基本的经济问题时，都要用到多元函数的极值理论，尤其是拉格朗日乘数法的应用。

在经济学中，总收入和总成本都可以表示为常量 的函数分别为 和 ，其中 表示生产或销售过程中影响收入和成本的某一因素，则总利润 可以表示为 。为使总利润最大，其一阶导数需要等于零，即 ，由此可得 ，其中 表示边际收益， 表示边际成本，因此上式表示预使总利润最大，必须使边际收益等于边际成本，这是经济学中关于厂商行为的一个重要命题。

根据极值存在的二阶充分条件， 为使总利润最大，还要求二阶导数

由此可得 ，这就是说，在获得最大利润的常量处，必须要求边际收益等于边际成本。但此时若又有边际收益对常量的微商小于边际成本对常量的微商，则该常量一定能使企业获得最大利润。

例2 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告。根据统计资料，销售收入 （万元）与电台广告费用 （万元）及报纸广告费 （万元）之间的关系有如下经验公式 ，在广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大。

解： 利润等于收入与费用之差，利润函数为

求得驻点 万元， 万元，利润函数在驻点处的Hesse矩阵 为

由于Hesse矩阵 为负定矩阵，所以 在驻点 处达到极大值，也是最大值。即最优广告策略为：电台广告费用和报纸广告费用分别为 万元和 万元，此时可获得最大利润。

参考文献

[1]龙莉，黄玉洁.多元函数的极值及其应用[J].鞍山师范学院报，2003，5（4）：10-12。

[2]王洪涛.函数极值在经济管理中的应用[J].山东广播电视大学学报，2011，（2）：65-69。

[3]肖翔，许伯生.运用梯度法求条件极值[J].上海工程技术大学教育研究，2006，（1）：35-37。

（作者单位：中国矿业大学（北京））