高中函数相关问题求解

函数相关知识的教学是高中数学最重要的内容.在必修1的学习中，同学们就大量地学习了函数的知识，同时，必修4对函数内容进一步进行了扩充.在整个高中数学中，函数更是每年高考的焦点，而随着高考政策的改革，高考函数的考查越来越联系人们的生活实际.对于函数知识与函数思想在高考中的地位，不会减弱，只会加强.下面我们简单探讨一下，函数在生活中的应用.

一、高山气温求解

例1人们出去登山很容易发现，山脚的温度比上山的温度高，现在从山脚起每升高100米温度下降0.7℃.已知山顶的温度是15.4℃，山脚的温度是28℃，现求山顶对于山脚的相对高度.

分析从题目我们很容易发现两个相关变量，海拔的升高与温度的降低，而这两个变量中又存在着关系，所以一下子就能写出函数，从而进行相关求解.

解从山脚起升高x百米对应的温度是y℃，根据题意，得

y=28-0.7x.

山顶温度是15.4℃，代入解之得

x=18（百米）.

答：山的相对高度是1800米.

评注这是最简单的函数类问题在生活中的应用，重点是激发学生对函数的兴趣，培养学生用函数求解问题的习惯.

二、最佳投资方案

例2有A、B两种商品，经营销售这两种商品分别能够获得的利润是p和q （万元），它们与投入资金x （万元）的关系有下列相关公式： p=15x，q=35x.现在有6万元资金投入经营A、B两种商品，为获得最大利润，对A、B两种商品的资金投入分别应为多少？获得最大利润又为多少？

分析当假设A投入资金x万元时，很容易就知道了商品B投入资金，从而根据已知条件得到总的利润公式.重点是在计算的时候，我们可以根据需求，再重新给定新的变量，来方便我们的计算.

解设经营商品A投入资金x万元，则经营商品B投入资金（6-x）万元，获得利润为y万元，则

y=p+q=15x+35（6-x）.

设6-x=t（t≥0），则x=6-t2.

y=15（6-t2）+35t=-15（t-32）2+3320.

当t=32时，y最大为 3320=1.65.

x=6-t2=154=3.75，6-x=2.25.

答：经营商品A投入资金3.75万元，经营商品B投入资金2.25万元，能获得的最大利润为1.65万元，

评注假设6-x=t（t≥0），这一步骤是解题的关键.如果不给定新的变量进行计算，那么解题存在很大的困难.

三、分段函数――自来水收费问题

例3某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分为每吨3.00元.某月甲、乙两户共交水费y元，己知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨.

（1）求y关于x的函数；

（2）若甲、乙两户该月共交水费26.40元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费.

分析在答题之前，因为变量已经给定，所以要考虑区间问题，即5x、3x吨与4吨进行比较，求出相应的区间，进而写出对应区间的函数关系式.

解（1）y=14.4x，20.4x-4.8，24x-9.6，0≤x≤45，

4543.

（2）显然，y（x）在各分段区间上都是单调递增的.

当x在[0，45]区间上的时候，y≤y（45）

当x在（45，43]区间上的时候，y≤y（43）

当x在（43，+∞）区间上的时候，令24x-9.6=26.4，解得x=1.5

答：所以甲户的用水量为5x=7.5（吨），费用S1=4×1.8+3.5×3=17.70（元）.乙用户的用水量为3x=4.5（吨），付费S2=4×1.8+0.5×3=8.70（元）.

评注本题主要考查的是分段函数，在解题的过程中首先要注意函数的取值区间.

四、三角函数――光的折射

例4一束光线与玻璃成45°角，穿过折射率为1.5，厚度为1 cm的一块玻璃，那么光线在玻璃内的行程是多少？

分析折射率=sinαsinβ ，其中α为入射角，β为折射角.

解α=45°，所以1.5=sin45°sinβ

，得sinβ=23.

cosβ=1-sinβ2=

73，

cosβ=厚度行程=73.

因为已知厚度为1 cm，则可以求出行程为1.134 cm.

答：即光线在玻璃内的行程为1.134 cm.

评注三角函数在数学中属于超越函数.三角函数的运用，能够更好地帮助学生解决学习生活中的问题.