浅谈高中函数综合类型及解法

加强数学各部分内容间的联系，发展学生的综合应用能力，是一部分学习活动的重要目标。数学综合题目的是考查学生对不同数学表达方式之间具有密切的联系的认识能力，以及解决这些问题的能力。解决这些问题要用到一些数学思想，并且或分析推理，或证明计算……这种综合运用的体验，能使学生实实在在地体会到数学的本质，是学生对数学充满兴趣和信心的动力。纵观近年高考试题可知，各套试卷都突出了数学知识主干，以重点知识构建试题的认体，在代数部分着重考查函数，数列，不等式以及二角函数等内容。而函数所占比重又是最大的，我就近几年的高考试题谈谈函数综合类型及解法。

一、函数内部的综合

函数的定义域、值域、对应法则、反函数、奇偶性、单调性、周期性、图形性质是考试的热点，也是重点内容。函数的这些内容内部相综合，出现一些综合题，解这些题，抓住定义和性质合理分析即可。

例1：设函数(x)定义在R上，当x>0时，0

(1)证明；f(0)=1且x1

(2)证明：f(x)在R上是减函数

证明：(1)令m=l，n=0代入f(m+n)=f(m)×f(n)中得：f(1+0)=f(1)×f(0)即f(1)=f(1)×f(0)

1>0 0< f(1)

(2)设x10且0

f(x2)-f(x1)=f(X2-Xi+X1)-f(x1)=f(X2-X1)，f(x1)-f(x1)=f(x1[f(X2-Xi)-1]

X2-Xl>0 f(X2-X1)

评注：抽象型函数问题常用特殊化方法处理

二、函数与其它

函数与不等式的综合

与函数有关的不等式问题，思考性强，难度较大，考生得分率偏低，下就其解法作一些探求。

1.换元思想

例2：设 f(x)=ax2+bx+c，g(x)-ax2-bx+c定义在区间[0，1]上且|f(x)|≤p，|g(x)|≤q(a，b，cR，P>0，q>0)

求证：当-1≤r≤1时，|ar+b|≤p+q

证明：| r |≤1可设 r=cos2a则r=(cos2a - sin2a)?(cos2a +

sin2a) - cos4a-sin4a

|ar+b|=|a(cos4a-sin4a)+b(cos2a+sin2a)|=|(acos4a+bcos4a+c)-(asin4a-bsin2a+c)|=|f(cos2a)-g(sin2a)|≤|f(cos2a)|1|g(sin2a)|

注意到sin2x，cos2x[0，1]由题设有|ar+b|≤p+q

2.数形结合思想

例3：已知a>0，函数f(x)=ax-bx2

(1)当b

(2)当b>l时，证明对任意x[0，1]， | f(x) |≤1的充要条件是b-1≤a≤

(3)当0

证明：(1)由于f(x)在xR的最大值为f(，且对x R有f(x)≤1恒成立 ≤1即a≤

(2) | f(x) |≤1ax－bx2≤1且ax－bx2≥-1令f1(x)=bx2-ax+l，f2(x)=bx2-ax-1

由f1(x)≥0在[0，1]上恒成立，有≤0或≥1且f1(1)≥0 ①；由f2(x)≤0在[0，1]上恒成立，有f2(0)=-1≤0且f2(1)≤0②

由①、②式解得b—l≤a≤③或2b≤a≤b+1④或无解，d故b-1≤a≤

(3)当0≤b≤1时，注意到b-l

3.借助代数恒等式

例4：已知f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b(a，b，c R)均定义在区间[-1，1]上，且|f(x) |≤1，求证：| g(x) |≤2

分析：为使g(x)的“一次”与f(x)的“二次”能够联系，可用恒等式X=得：

|g(x) |=a[]+b()+c－c | = |[a(+b()+c)-a(+b()+c) |

= |f()-f()|≤|f()+f()|

x [-1，1) [0，1] [－1，0]

故有| g(x) |≤1+1=2

联想：由函数综合题，我们可以联想到综合实践活动意义。从小学到高中设置的综合活动并作为必修课，其内容主要包括：信息技术教育、研究性学习、社区服务与社会实践以及劳动与技术教育。强调学生通过实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力。

总之，函数作为高中数学知识章节的重要组成部分，在高中数学学科教学体系中具有十分重要的地位和作用。教师做好函数综合知识体系的教学，对有效提高学生的学习能力、学习品质和知识结构等方面具有重要的作用。