备好高中函数解题钥匙:化归思想

【内容摘要】函数在高中数学中有着非常重要的作用，是学生在进行数学学习时的重点与难点。在函数教学中，教师应该注重学生分析能力的培养并加强解题思路的引导，其中化归思想在函数教学中有着很重要的作用。化归思想即是把一个比较复杂的问题通过一定的方法，将其转化为我们能够解决的简单问题，进而解决原有问题的解题方法。在函数教学的过程中，教师可以有意识培养学生的化归思想，使学生在解题的过程中思路更加清晰，提高解题速度。

【关键词】高中函数 化归思想 解题研究

引言

在对学生进行化归思想教育的过程中，要注意化归思想的几个主要原则，首先是把未知的问题转化为已知的问题，把复杂的问题转化为简单的问题。其次把有难度的问题转化为基础的问题，把抽象的问题具体化、特殊化。另外，还要注意理论与实际相结合，教师还要在解题的过程中，不断的深化化归思想，使学生能够熟练的掌握和应用。

一、化归思想方法的类型

化归思想简单的理解就是转化与归结，主要包括三个基本的要素：化归的对象、化归的途径以及化归的目标。转化主要包括等价的转化和非等价的转化，其中通过等价转化而得到的问题与原问题在本质上是相同的，而非等价转化得来的问题与原问题的本质不相同，必须对结果进行检验并加以补充与修改，才能确定转化的等价性。化归思想主要有以下几种

1.数与形的转化

在函数教学中，数形结合是常用的解题方法之一，函数的解析式可以用函数的图像清晰的表示，而且函数的图像也可以借助函数表达式进行表达，在解题的过程中可以通过数与形的相互联系和统一，使学生获得准确而简单的答案。

例：已知x=ax+1方程式中有一个负根，而且没有正根，求出a的取值范围。

根据分析，可以将方程的两边看作是两个函数，然后分别作出函数图像。

L1：y=x；L2：y=ax+1。等式中L2是通过（0，1）的直线，如果要使x的取值为负的，则需要a≥1。

2.映射的化归

（1）高中数学中的函数概念有很强的抽象性与概括性，其本质是一种映射关系。在教学的的过程中，教师倾向于通过举例来讲解函数的概念，导致学生没有从本质理解函数的概念，只是大概的了解函数的概念和例子。在函数性质的教学中，教师可以将抽象的函数概念化归成简单的形式，以便于学生的理解和记忆。例如：满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）的函数模型为三角函数，满足f（x）・f（y）=f（xy）的函数模型为幂函数，另外满足f（x+y）=f（x） ・f（y）的函数模型为指数函数，这些等价关系之间的化归在函数解题过程中有着重要的作用。

（2）在计算函数问题的过程中，我们可以将其转化为具体数值，通过对数值进行计算找到解题的思路与方法，这就是函数问题中经常用到的“赋值法”。例如：已知偶函数g（x）在零到正无穷上是增函数，那么g（x）>g（1）的解集是？对于这个问题，教师举一个具体的函数g（x） =x2的例子即可以向学生说明。

3.一般与特殊的转化

在解决数学问题的过程中，一般与特殊的情况可以进行相互的转化。有些数学问题通过一般的方法比较复杂，但是如果根据特殊情形进行思考则可以获得比较简单的解题思路。另外，特殊情况下得到的结论通过总结与归纳也可以推广到一般的情形。例如：如果（3x+1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3 +a4x4+a5x5，求a0+a2+a4的值。首先分析，这个题目运用一般的思路比较复杂也不容易得出答案，那么就可以考虑运用特殊值的方法进行解题。

令x=1，则可以得出a0+a1+a2+a3+ a4+a5=4

令x=-1，可以得出a0-a1+a2-a3+a4-a5=32相加得2（a0+a2+a4）=36，得出结果a0+a2+a4=18

这种方法不仅简单那便捷，而且可以激发学生的学习兴趣与思考的热情，使其更愿意主动的发现的新的解题方法，以此来提高学生的解题能力。

4.正面与反面的转化

解决数学问题的过程中，我们可以从不同的角度进行思考与分析，有的问题从正面解决比较容易，而有的问题则需从反面入手。根据实际情况，从正确的角度来解决问题。在解决概率问题的过程中，我们可以运用到正面与反面的转化。例如某射击选手每次击中目标的概率为0.7，连续射击8次，并且每次的射击都是独立、互不影响的。那么这个射击选手至少击中一次目标的概率为多少？

首先我们考虑从正面对这个问题进行解答，这就需要我们把8种情况进行逐一分析。那么就要考虑在射击的过程中恰好击中一次、两次、三次、四次、五次、六次、七次、八次的情况，这个过程分析起来就比较的复杂，所以我们可以忽略这种方法，从反面进行着手，来分析对立事件的概率，即射击选手八次均未击中目标的情况。把八次均为击中目标的概率记为p8（0），那么p8（0）=C80（0.7）0 （1-0.7）8那么射击选手至少击中一次目标的概率为1-p8（0）。这种方法避免了繁琐的分析过程，不仅减少了运算过程中的错误率而且使问题的解决更加的快速。在考试的过程中，学生如果能够熟练的运用。

二、化归思想的重要性

1.学生在学习数学知识的过程中，化归思想可以起到很好的融合作用，并使学生循序渐进的掌握数学知识。例如在平面几何的教学中，我们可以多次使用化归的思想，使学生清楚的了解到复杂的几何图形都是由简单的图形组合而成的，帮助学生理清思路。另外在钝角三角函数中，将钝角转化为锐角进行来解决问题。通过这种方法，可以加深学生对化归思想的理解。

2.化归思想不仅可以提高学生的学习能力，而且可以培养学生分析解决问题的能力。在解题的过程中，学生不仅可以回顾已学过的知识，而且可以使用不同的方法进行模型转换。在高中的函数教学中，化归思想就是将各个函数沟通起来的桥梁，它可以把函数知识与解题模式充分的结合起来，从而提高学生的解题能力。

小结

化归思想在高中函数教学中有着广泛的应用，在解题的过程中，化归思想可以把未知的问题转化为已知的问题，将一些比较复杂的问题简单化。在培养学生思维品质的基础上，提高学生的解题能力。

（作者单位：江苏省江安高级中学）