数学全国Ⅱ卷(文、理)三角函数试题浅析

摘要：初等函数，它的定义与性质有着十分鲜明的特征和规律，是高考数学的一个必考内容，本文先详细解析了2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）中有关三角函数的5道试题，3道文科试题涉及三角变换、图像平移及解三角形三个方面；两道理科试题只涉及三角变换及解三角形两个方面，最后综合分析了2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）试题特点，并谈了个人一点粗浅的见识。

关键词：三角变换 图像平移 解三角形 基本知识 基本技能 转化与化归

中图分类号：G633.6 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117

三角函数是中学数学中一种重要的函数，它的定义和性质涉及的知识面广，并且有许多独特的表现，所以它是高考中对基础知识和基本技能考查的重要内容之一，同时，三角函数又和代数、几何有密切的联系，因此，它又是研究其他知识的重要工具，在高中数学中有着广泛的应用，三角函数在高考中既有选择题、填空题，一般也都有一道解答题，因此，我们既要注重它的基础性和工具性，又要兼顾它的灵活性和新颖性，注意培养应用三角工具解题的习惯，提高分析问题和解决问题的能力。

下面以2013年新课标全国Ⅱ卷（文、理）三角函数试题为例做粗浅解析。

1 原题再现

①（文4）ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，b=2，B=[π

6]，C=[π

4]，则ABC的面积为多少？

②（文6）已知sina2α=[2

3]则=cos2（α+[π

4]）=？

③（文16）函数y=cos（2x+）（-π≤≤π）的图像向右平移[π

2]个单位后，与函数y=sin（2x+[π

3]）的图像重合，则=__？

④（理15）设θ为第二象限角，若tan（θ+[π

4]）=[1

2]，则sinaθ+cosθ=__？

⑤（理17） ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.

（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面积的最大值.

2 试题解析

①这道解三角形的考题，以小题形式出现，属容易题。解三角形问题主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三边、三角、面积等，它的实质是将几何问题转化为代数问题，解题关键是正确分析边角关系，依据题设条件合理地设计解题程序。本题考查的知识点有：正弦定理，面积公式，诱导公式和角正弦公式。

②这道题属于利用三角恒等变换求三角函数值的类型，三角函数化简的通性通法是从函数名、角、运算三方面进行差异分析，再利用三角变换使异角化同角、异名化同名、高次化低次等。求解此类问题的关键是能根据问题的特点发现差异（观察函数名、角运算间的差异），寻找联系（运用相关三角函数公式，找出差异之间的内在联系），合理转化（选择恰当的三角函数公式，促使差异的转化）。尽管此题属一道容易题，但是学生对于掌握升降幂公式历来都是一个难点，常常犯错。因此，我们在教授此知识点时，一定要让学生大量练习，灵活掌握。教材在这部分内容上给出了大量的习题，目的也在于此，所以高考备考复习时要抓纲务本，重视基础。

③这道图像变换题作为填空题的压轴题出现，对于文科学生来说还有一定难度，难度一：函数名、角不同；难度二：图像平移变换；难度三：正、余函数间的相互转化（利用诱导公式）。高考对三角函数的图像变换主要考查两种类型：先作周期变换、再作相位变换；先作相位变换、再作周期变换。

④这道题中，角的范围限定，属于容易题，但也有一定的综合性，因为集知识性、思想性、方法性于一体，不失为一道好题：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切为弦的转化思想；c.考查同角三角函数关系。

⑤解三角形问题是三角函数问题的姊妹题，在高考中与三角函数具有同等重要的位置，近几年新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主。在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角两角和与差的正三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值。这道题作为解答题的第一个门槛，学生需要一定的知识储备和灵活的逻辑推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面积公式为载体，以边角转化思想与和角正弦公式为纽带，以基本不等式放缩为技巧，带有一定的综合性和灵活性，属于中档题，且有一定的难度，这道题困扰学生思维的地方有：第一，化边为角的转化思想（正弦定理）；第二，角A正弦转化为角B+C正弦的转化思想；第三，运用基本不等式放缩求最值的技巧。像这种体现基本知识、基本技能和基本技巧于一身的优秀考题，我们在今后的备考复习中应多加训练，融会贯通。解答如下：

（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；

又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；

联立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π

4]。

（Ⅱ）ABC的面积S=[1

2]acsinB=[ [2]

4]ac.由已知和余弦定理得4=a2+c2-2accos[π

4]，又a2+c2≥2ac，故ac≤[ 4