高考必做客观题――三角与向量题

平面向量基本定理

（）必做1 已知向量a=（1，2），b=（1，1），且a与a+λb的夹角为锐角，则λ的取值范围为_________.

精妙解法 由于a与a+λb的夹角为锐角的充要条件为a・（a+λb）>0，且a与a+λb不共线，所以由a・（a+λb）>0解得，λ>－. 由a与a+λb共线有λ=0，即a与a+λb不共线时有λ≠0. 所以λ的取值范围为：λλ>-，且λ≠0.

极速突击 找出两非零向量夹角为锐角的充要条件即可顺利求解. 在遇到此类问题时，同学们一定仔细分析，得到正确的求解思路，不要漏掉条件.

误点警示 设a与a+λb的夹角为θ，则a・（a+λb）=a・a+λbcosθ. 由题意得，a与a+λb均不是零向量，且θ为锐角，所以a・（a+λb）>0，解得λ>－，所以λ的取值范围为：λλ>-.

错解分析：两向量夹角θ的取值范围是［0，π］，当θ=0时，有cosθ=1>0，此时非零向量a，b仍满足a・b>0. 因此，a・b>0是两非零向量a，b的夹角为锐角的必要不充分条件. 事实上，两非零向量的夹角为锐角的充要条件为a・b>0，且a不平行于b.

（）必做2 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°． 如图1所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动，若=x+y，其中x，y∈R，则xy的取值范围是________．

精妙解法 由=x+y2=x22+y22+2xy・． 又===1，・=0，所以1=x2+y2≥2xy，得xy≤． 而点C在以O为圆心的圆弧上变动，得x，y∈［0，1］，于是0≤xy≤．

图1

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同学们要掌握平面向量线性运算的三种形式，学会利用平面向量数和形的双重属性，借助平面图形的几何性质简化运算. 下面两条性质在解题中经常用到.

（1）已知A，B，C三点在直线l上，且不过点O，则有=α+β，其中α，β∈R，且α+β=1，反之亦然.

（2）已知A，B，C三点不共线，且点O满足++=0，则O为ABC的重心.

感兴趣的同学还可以找一找三角形的内心、外心、垂心等的向量表示.

平面向量的数量积及其应用

（）必做3 已知向量a，b满足a=2，b=1，a－b=2．

（1）a・b=_____________；

（2）a+b=___________．

精妙解法 （1）由a－b2=a2-2a・b+b2=4+1-2a・b=4，得a・b=．

（2）a+b2=a2+2a・b+b2=4+2×+1=6，所以a+b=．

极速突击 由于向量自身的数形二象性，涉及两个不共线向量a，b 及a－b，a+b时，可以考虑从解三角形的角度入手解决. 对于平行四边形而言，注意下面的性质：a+b2+a－b2=2（a2+b2）. 另外，本题还有另一种比较典型的解法：由数量积的定义知，只需求出向量a与b的夹角〈a，b〉，利用向量的三角形法则，容易知道〈a，b〉是边长分别为1，2，2的等腰三角形的底角，因此，由余弦定理或者余弦函数的定义可得cos〈a，b〉=，这样a・b=. 计算a+b，只需由a+b取与自身的数量积运算即可.

（）必做4 设a，b是夹角为60°的单位向量，若c是单位向量，则（a－c）・（b+c）的取值范围是________．

精妙解法 根据已知a・b=且a－b=c=1． 由于（a－c）・（b+c）=a・b+a・c－c・b－c2=（a－b）・c－． 设a－b与c的夹角为θ，则（a－b）・c=a－bccosθ=cosθ∈［－1，1］，故－≤（a－b）・c－≤，即（a－c）・（b+c）∈－，．

（）必做5 已知向量m，n的夹角为，且m=，n=2. 在ABC中，=2m+2n，=2m－6n，D为BC边的中点，则=______.

精妙解法 在ABC中，因为=2m+2n，=2m－6n，D为BC边的中点，

所以=（+）=2m－2n，又m・n=2cos=3，所以2=（2m－2n）2=4m2－8m・n+4n2=4，即=2.

极速突击 利用向量与其自身的数量积运算可以得到该向量的模长，这一点在计算三角形的边长时非常有用. 大家要明确数量积也是一种必要的运算形式，对于解决有关长度和角度的问题非常有效.

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平面向量的数量积运算得到的结果是实数，同学们要明确数量积的运算不满足消去律，尤其是必须掌握数量积的基底形式的运算和坐标形式的运算. 利用平面向量的数量积运算能够解决平面几何中的有关角度和边长的问题，大家要熟记平面向量数量积运算的两个重要的变式：

（1）a2=a・a=a2；（2）cos〈a，b〉=.

三角形形状判定

（）必做6 已知P为ABC内部任一点（不包括边界），且（－）・（+－2）=0，则ABC一定为（ ）

A． 直角三角形

B． 等边三角形

C． 等腰直角三角形

D． 等腰三角形

精妙解法（－）・（＋－2）＝・（－＋－）=・（＋）＝（－）・（＋）＝2－2=0，所以=，即三角形为等腰三角形． 选D．

极速突击 涉及三角形的形状判定，无外乎有两种方法，一是从角考虑，二是从边考虑．

（）必做7 若ABC的三内角满足sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，则ABC的形状（ ）

A． 一定是锐角三角形

B． 一定是直角三角形

C． 一定是钝角三角形

D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

精妙解法 因为sinA∶sinB∶sinC=3∶4∶6，由正弦定理得，a∶b∶c=3∶4∶6，因此c所对的内角C是最大角. 由余弦定理得，cosC=

极速突击 由选项可以得到暗示――只需考虑最大边对应的最大角的取值范围即可. 容易想到利用正弦定理进行边角互化，再用余弦定理确定角的取值范围.

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一般地，同学们还需熟记这两条结论――在任意ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，则有：（1）sinA>sinBA>Ba>b；（2）cosA+cosB>0，cosA+cosC>0，cosC+cosB>0.

正弦定理、余弦定理

（）必做8 在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边. 已知∠A=45°，a=，b=3，则∠B＝___.

精妙解法 由正弦定理得，=，所以sinB==.

又0

因为a=

极速突击 已知两边及一边对角解三角形时，最直接的方法是利用正弦定理. 同学们要特别注意，在这类问题中三角形可能不能确定位置，即存在多解情况.

（）必做9 在ABC中，BC=1，∠B=，当ABC的面积等于时，tanC=________．

精妙解法 SABC=acsinB=，所以c=4，由余弦定理：b2=a2+c2－2accosB=13，所以cosC== －，sinC=，所以tanC==－2．

（）必做10 在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，如果a，b，c成等差数列，B=，ABC的面积为，则b的长度为（ ）

A.

B. 1+

C.

D. 2+

精妙解法 由题意得，

2b=a+c，b2=a2+c2－2accos，acsin=

即2b=a+c，b2=a2+c2－ac，ac=6所以b2=（a+c）2－（+2）ac=4b2－6（+2），即b2=（1+）2，所以b=1+. 选B.

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不论是向量背景的解三角形问题还是实际应用下的解三角形问题，我们始终要明确在哪一个三角形中，需要借助什么定理，得到所需的量，最终获得问题的解. 在一些研究最值的问题中，必须借助函数的手段，验证最值取等号的条件是否具备. 一般地，解三角形问题主要有以下四类问题：已知两边及其夹角求其他，利用余弦定理，此时三角形唯一确定；已知三边求其他，利用余弦定理，此时三角形唯一确定；已知两边及一边对角求其他，利用正弦定理，此时三角形可能不唯一；已知两角及一边求其他，利用正弦定理，此时三角形唯一.