高考必做客观题――不等式题

不等关系

（）必做1 已知a＋b0，则（ ）

A． a2

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b0，所以b

法2：因a＋b0，所以b

法3：因a＋b0，所以不妨取a=1，b=－2，此时a2=1，b2=4，－ab=2，显然有a2

误点警示 不等式两边只有同乘以一个正数，不等式方向才不改变；若同乘以一个负数，则要改变方向；同向不等式相乘不一定正确，只有同向的正数不等式才能相乘．特殊值法解题时，必须满足前提条件，如a＋b0，即b

极速突击 作差比较法是比较大小的最基本的方法，作差后一般要变形定号，有时也会先平方再作差，或采用作比比较法． 涉及不等关系的选择题，一般来说，结合题设条件寻求特殊值法比较方便．

（）必做2 对任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，则f（a）________ea・f（0）（填大小关系）

精妙解法 由f（a）与ea・f（0）联想e0・f（a）与ea・f（0），进而联想新函数ex－a与f（x）的有机组合，建构：y=，则y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea・f（0）．

极速突击 此类问题关注三点：（1）单调性――作为解决问题的大方向；（2）导数应用――导数是研究函数的利器，利用一阶导数研究单调性能事半功倍；（3）有机组合――在解决问题过程中，如何选择函数和建构新函数是关键．

金刊提醒

灵活运用不等式的性质，可以解决比大小、证明、解不等式等许多问题．

不等式的解法

（）必做3 设函数f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a

误点警示 每种情况之间是并集，每种情况内部是交集为两个易错点．

极速突击 对每一段解不等式，同时弄清集合间的交并关系．

（）必做4 已知函数y=f（ｘ）是R上的偶函数，且在（－∞，0］上单调递减，且f（1）=0，若af（a）>0，则实数a的取值范围是______．

图1

精妙解法 作出函数y=f（x）在R上的大致图象，由af（a）>0，可得当a>0时，f（a）>0，所以a>1；当a

极速突击 解题时，应该尽量画出函数图象，使得问题具体化，避免因为抽象思维带来的解题失误，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可结合二次函数的图象求解，重点突破三个二次问题的联系．

线性规划

（）必做5 动点P（a，b）在不等式组x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范围是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

误点警示 不能对w=进行合理的变形，不会用数形结合进行转化．

极速突击 线性规划问题一般采用数形结合，同时要化未知为已知，化生为熟．

（）必做6 设实数a，b满足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，则9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式组可化为x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目标函数可化为z=x2+y2=（）2，可将它看做原点与可行域上动点连线的距离的平方，作出换元后的可行域，再由数形结合可得的最大值是25．

极速突击 换元化归，等价转化，数形结合．

金刊提醒

在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质．

基本不等式与最值运用

（）必做7 若直线ax+2by－2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2－4x－2y－8=0的周长，则+的最小值为（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5 D． 4

精妙解法 由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，当且仅当a=－1，b=2－时取等号． 故选B．

误点警示 此题容易错解如下：由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故选D． 错误的原因是无法取到等号． 事实上+≥2成立，当且仅当b=2a时取到等号；≥成立，当且仅当b=a时取到等号，又a>0，b>0，这样的a，b不存在．

极速突击 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，一般当等号无法取到时，用基本不等式求最值无效，此时应改用其他变形手段设法能使其取到等号，或者利用函数单调性求最值．

（）必做8 函数f（x）=+2的最小值为_______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意义，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定义域是｛xx≤0或x≥4｝． 当x≤0时， f（x）=+2是单调递减函数，在x=0处取最小值为4；当x≥4时， f（x）=+2是单调递增函数，在x=4处取最小值为1+2，比较得最小值为1+2．

极速突击 从定义域上突破，利用复合函数的单调性求最值．

金刊提醒

运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等；基本不等式应用中一定要注意三个细节，即“一正二定三相等”，记住两个结论：“和定积最大”与“积定和最小”．

不等式恒成立与有解

（）必做9 设函数f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，则m的取值范围是_________．

精妙解法 函数f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）为奇函数，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化为f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函数，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）

误点警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化为（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下来不会因式分解化简． 因此，我们应充分考虑函数的性质．

极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时要按参数分类讨论． 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论． 一般地f（x）>a对一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（）必做10 已知函数f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是______．

精妙解法 因为f ′（x）=－－==－= －，又因为x∈（0，2），所以当x∈（0，1）时， f ′（x）0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为f（1）=－． 由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即实数b的取值范围是，+∞．

误点警示 对条件“若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正确转化是解题的误区，如把问题转化为“f（x1）min≥g（x2）max”．

极速突击 解决“全称命题”“特称命题”相关的试题时一般可以分成下面四步走：（1）实行变量分离，转化成求最值问题；（2）判断求最大值还是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出结论．

金刊提醒

不等式恒成立与有解问题最终都划归为函数的最值问题，基本思路是：用分离参数法将参数与变量分开，接着用基本不等式法、导数法等方法求变量所构造函数的最值．