数学归纳法在教学中易错分析及局限性分析

在数学归纳法的应用过程中，由于学生对数学归纳法的原理理解不到位，导致一些常见的错误.现略举数例进行剖析.

一、易错分析

（1）忽视归纳基础（或只是形式上给予叙述）导致的错误

在数学归纳法使用过程中的两步都是必不可少的，否则，就会在没有验证第一步的情况下，而得出错误的结论的问题.

例1在函数中，由，，，…

等都是质数，便说：“为任何自然数时的值都是质数”是错误的，因为

就不是质数，如果缺少了第二步，则不论对于多少个自然数来验证命题的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.

例2歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第二步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第一步，至今只是个猜想而已.第二步在证明为真时，一定要用到归纳假设，即要由为真，推出为真.

（2）归纳基础步骤中有关“”的理解错误

受思维定势影响，常认为就是1.

必须注意：①数学归纳法原理中“”是要证明命题成立的最小正整数.例如，命题“多边形的内角和为”中，时，原命题成立，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是；命题“边数为偶数的圆内接凸多边形，相间诸角的和等于其余诸角的和”中时，原命题无意义，所以，用数学归纳法证明此命题的基础应该是，再对一切偶数进行数学归纳法.

②对于某些命题，虽然正整数的任意取值都能使其有意义，但并非对一切正整数都成立.对此类命题，应该找出使命题成立的最小正整数作为归纳证明的基础.例如，命题，成立的最小正整数为.该命题在应用数学归纳法证明时，应取归纳基础为（易知2，3，4时，结论不成立）.

综上所述，学生在应用数学归纳法来解决问题时，犯错误的主要原因是对数学归纳法原理的基本思想没有真正理解.因此，教学时应着重讲清原理的实质和方法步骤，使学生真正明白数学归纳法的两个步骤是缺一不可的，有且只有两个步骤按顺序的正确结合，才能完成一个对全体正整数的论证.当然，克服学习中的思维定势也是一个值得探讨的问题.

还有值得注意的是，并不是凡与自然数相关的命题都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明.

二、数学归纳法的局限性

应用数学归纳法对有些题目进行证明，过程非常繁琐，尤其是由到的过程变化很多，不易操作.事实上，很多与正整数有关的命题，若能避开数学归纳法的思维定势，利用其命题本身的特点，采用非数学归纳法的证明，则能避繁就简.这也是学习数学归纳法所要克服的心理依赖和必经过程.

通过以上几个例题，说明对于与正整数有关的命题的证明，不一定都采用数学归纳法这一种方法，而应该针对题目本身的特点，选择适当的方法，以达到简化证明过程的目的.从另一个角度来讲，也能克服学习过程中的思维定势，使知识融会贯通，灵活运用.尽管数学归纳法存在一些局限性，但在证明与正整数有关的命题时，仍然是一种行之有效的方法.

（作者单位：黄淮学院数学科学系463000）