函数类专题复习课教学设计例析

各地在中考第二轮复习时基本都是采用专题方式推进，初中数学专题复习课往往是针对某一类重点题型、重要知识板块或者某一种比较突出的思想方法等组织展开专题复习、专题研究. 2015年5月，桂林市教科所在我校组织开展初中数学中考复习备考会，探讨在中考第二轮复习备考中如何培养学生思维的灵活性和发散性，进而提高学生综合运用知识的能力.为了给大家提供一节有价值的研究课，我校初中数学变式教学团队全力以赴集备，充分发挥师生的资源优势，开发出这节“二次函数存在性问题”专题复习课.

存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题.这类问题的知识覆盖面广，综合性强，题意构思巧妙，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求都比较高，而二次函数的存在性问题属于中考压轴题中的经典题型，作为研究课非常有探讨价值.结合现阶段学生的实际情况，基于对该内容题型特点的分析，并立足于学生的整体水平提升，我们将设计思路定位为宽入口、低起点、高落点，可拓展、能延伸，用五度教学模式进行问题设计，即“有效度的问题呈现―有梯度的问题变式―有深度的问题拓展―有广度的问题开放―有高度的问题归纳”.这节课既关注到了五个教学环节的紧凑性，又在每一个教学环节中突出了各环节问题设计的基本原则.

一、有效度的问题呈现：从一个简单问题切入，作为教学的起点

要使问题呈现有效度，必须认真考虑问题的选取和整体设计.我们决定由一条抛物线切入本专题复习，让抛物线解析式统领全局，像一粒种子一样自然地生长发芽，贯穿这节课问题设计的始终，且确保内容紧凑、环环相扣；微观上则贯穿“点线面”的设计思路，一路设问，承前启后，使所解决的问题都能成为后续问题的生长点.

在这个环节，我们的问题设计经历了“解析式求点坐标求线段长判断形状计算面积”的思维过程，以此确保低起点、宽入口，步步为营，层层推进，一脉相承，让学生每解决一个问题总能为下一个问题的解决做好铺垫，由此实现知识和能力的同步自然生长.

问题：如图1，抛物线=-+2+3与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，顶点为点.

（1）请你直接写出A、B、C、D四点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）你能求出图中哪些线段的长度？

（3）你能判断的形状吗？

（4）请你求出的面积.

以上问题呈现，用四个小问依次帮助学生复习巩固如何根据解析式求抛物线与坐标轴的交点坐标，复习巩固如何根据两点坐标求这两点间的线段长度，复习巩固如何根据确定的三条线段长度判定它们所构成的三角形形状，最后复习巩固如何根据确定的三角形、运用三角形面积公式或割补的方法计算该三角形的面积.四个小问环环相扣，问题解决经历了“归纳知识要点归纳解题方法形成解题策略”的思维过程，渗透了数学基本知识、基本方法和基本思想的教学.

二、有梯度的问题变式：探究“最值”，经历“线段和线段差周长面积”的思维历程

为探究“最值”问题，引导学生经历“线段和线段差周长面积”的思维历程，问题设计由浅入深、层层推进，注意为学生搭建思维阶梯，让学生可以拾级而上、不断攀升，最终形成有序的逻辑思维链条.经历了上一个环节的“问题”解决，确定了点坐标、对称轴等基本元素以后，这个环节的问题变式设计便进入了“探究线段和最小值探究线段差最大值探究周长最小值探究面积最大值”等一系列“最值”存在性问题.选择“问题”已解决的点和线作为问题变式的生长点，由线段和联想到线段差，又由线段和最小值联想到周长最小值，由周长最小值联想到面积最大值等，问题之间相互关联、层次分明，梯度推进思路明显.

过渡语：我们由一条抛物线解析式解决了一系列的确定性问题，那么我们能不能从我们已知的点[A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（1，4）]，对称轴（直线x=1），抛物线（y=-x2+2x+3）中选择几个元素，设计出新的问题，探究不能直接确定的结果呢？

变式1：如图2，在抛物线的对称轴上是否存在一个点P，使PA+PC的值最小？若存在，请找出点P.

变式2：如图2，在抛物线的对称轴上是否存在一个点P，使PA-PC的值最大？若存在，请找出点P.

变式3：如图3，在抛物线的对称轴上是否存在一个点P，使PAC的周长最小？若存在，请找出点P.

变式4：如图4，在第一象限的抛物线上是否存在一个点P，使PBC的面积最小？若存在，请找出点P.

以上变式设计，通过变式1和变式2引导学生运用轴对称和三角形三边关系探究线段和的最小值和线段差的最大值，运用“将军饮马”这个基本模型解决问题，渗透了数学建模的学科思想；通过变式3引导学生将三角形周长最小值问题转化为线段和的最小值问题，渗透了转化的数学思想；通过变式4引导学生运用二次函数讨论面积的最值问题，渗透了数形结合的数学思想.这个环节，我们通过引导学生依次解决所呈现的变式问题，来培养其建模、转化和迁移能力.

三、有深度的问题拓展：由探究最值问题，拓展到探究图形形状

问题拓展有深度，是指所提问题要具有思考性和挑战性，问题设计要向纵深发展.在这个环节，我们的问题设计开始从最值的存在性问题过渡到图形形状的存在性问题，包括探究直角三角形（直角顶点确定）、探究直角三角形（直角顶点不确定）、探究等腰三角形的图形形状的存在性问题，这是数学思维的又一次跃进.问题生成仍然选择用“问题”解决的点和线作为问题拓展的生长点，由直角顶点确定联想到直角顶点不确定，由直角三角形联想到等腰三角形，不断突破学生思维的局限，提升学生的思维水平，激发学生的学习潜能.

过渡语：我们仍然从已知的点和已知的线出发，但可以改变提问的角度，由“最值”的存在性问题拓展到“图形形状”的存在性问题.

拓展1：如图5，在抛物线上是否存在一个点P，使PBD为直角三角形，且点B为直角顶点？若存在，请找出满足条件的点P，并求出点P的坐标.

拓展2：如图5，在抛物线上是否存在一个点P，使PBD为直角三角形，且点P为直角顶点？若存在，请找出满足条件的点P，并求出点P的坐标.

拓展3：如图6，在抛物线的对称轴上是否存在一个点P，使PCG为等腰三角形？若存在，请找出满足条件的点P，并求出点P的坐标.

以上问题拓展，通过拓展1启发学生联想并运用勾股定理探究直角三角形的顶点存在性问题，渗透了方程思想、数形结合思想及转化思想；通过拓展2启发学生分情况，探究不确定的直角顶点的存在性问题，渗透了分类讨论的数学思想；通过拓展3启发学生借助拓展1和拓展2的解题经验和方法，再结合等腰三角形的特点，建立方程求解，渗透了几何问题代数化的建模思想.在这个环节，我们旨在通过引导学生对以上拓展问题的解决，培养学生自主沟通问题与知识、问题与方法之间联系的能力，使学生的思维层次不断升级.

四、有广度的问题开放：由教师主导编制变式问题，过渡到由学生自主编题

问题开放有广度，旨在引导学生通过设计开放性问题激活个性思维，培养问题意识，激发创造力，全面训练思维发散性.在这个环节，问题设计由封闭到开放，由老师主导编写变式问题开始递进到让学生自主创编新的二次函数存在性问题.

过渡语：紧扣主题，结合本节课的学习内容和你自己的学习经验，自由发挥，小组讨论，创作出符合要求的新问题.

师：请根据“问题”中的抛物线和“问题”中所求得的点和线作为条件，提出一个以二次函数为背景的存在性问题.

该环节为学生提供了一个独立思考与合作创新的平台，让不同层次的学生在这个教学环节中独立处理、加工本课中所获得的各种信息，联系已有的认知基础，创造出新的属于自己和团队的问题.这样的“问题开放”既尊重学生的个性特点，又强调团队的合作交流，在培养学生发散性思维和创新精神的同时，渗透了对学生自主思考、合作探究的学习态度的培养.

五、有高度的问题归纳：采用文字归纳法和思维导图归纳法，有条不紊地进行问题归纳

为使问题归纳有高度，我们可以采用精炼的文字归纳和思维导图归纳的方式方法，引导学生从解题策略、解题方法和解题思想的高度进行问题的归纳与总结，让学生学会从深层次挖掘问题与问题之间的内在联系，沟通数学问题与数学知识、方法和思想的关联.

过渡语：纵观整节课，请同学们自主梳理、整合、归纳本节课的学习内容.

归纳任务：请回顾这堂课，你收获了哪些知识，掌握了哪些方法，形成了哪些策略，了解了哪些思想，或者有了哪些新的感悟？

“问题归纳”让学生将一节课的知识系统化、网络化，使纵横交错、融会贯通，有助于培养学生的反思习惯，让学生形成可迁移、能生长的知识和能力。学生通过反思解题方法发现解题规律，进而将解题方法上升为通解通法，做到举一反三、触类旁通.

（责编 白聪敏）