巧用函数性质妙解抽象函数问题

抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式，只给出了其他一些条件(如函数的定义域、经过某些特殊点、部分关系式、部分图象特征等)的函数问题。这类问题的解法常涉及到函数的概念和各种性质，因而具有抽象性、综合性和技巧性等特点，它既是教学中的难点，又是近年来高考的热点。为此，本文从利用函数性质方面谈谈解抽象函数问题。

一、利用函数的奇偶性

例1．已知函数f(x)=ax5+bsinx+3且f(-3)=7，求f(3)的值。

分析：f(x)的解析式中含有两个参数a、b，却只有一个条件f(-3)＝7，无法确定出a、b的值，因此函数f(x)(解析式不确定)是抽象函数。注意到

g(x)=ax5+bsinx=f(x)-3是奇函数，可得g(-3)=-g(3),7=f(-3)=g(-3)+3,即g(-3)=4,f(3)=g(3)+3=-g(-3)+3=-4+3=-1。

注：这种解法运用了整体思想，化整体为局部，再由局部问题的解决使整体问题得解。

二、利用函数的单调性

例2．设函数f(x)定义在R上，当x>0时，f(x)>1，且对任意m,n∈R，有f(m+n)=f(m)f(n)，当m≠n时， f(m)≠f(n)。

(1)证明：f(0)=1；

(2)证明：f(x)在R上是增函数；

(3)A={(x,y)|f(x2)f(y2)

分析：(1)令m=n=0，得f(0)=f(0)f(0), f(0)=0或f(0)=1。

若f(0)=0，当m≠0时，有f(m)=f(m+0)=f(m)f(0)=f(0),这与m≠n时，f(m)≠f(n)矛盾。 f(0)=1。

(2)设x10。

由已知得 f(x2-x1)>1。

x1≥0 时，f(x1)≥1。

当x10，f(-x1)>1,f(0)=f(x1+(-x1))=f(x1)×f(-x1)

，f(x1)=>0，即对任意的x1，总有f(x1)>0,

f(x2)=f(x1+x2-x1)=f(x1)×f(x2-x1)>f(x1)。

f(x)在R上为增函数。

(3) f(x2+y2)=f(x2)f(y2)

x2+y2

由f(ax+by+c)=1，得 ax+by+c=0……②

由①，②消去y，得 (a2+b2)x2+2acx+c2-b2

A∩B=,

Δ=(2ac)2-4(a2+b2)(c2-b2)≤0,

故所求条件为a2+b2≤c2。

注：(3)用数形结合的方法更简单。

例3．已知函数f(x)在定义域 (-∞,1] 上是减函数，问是否存在实数k，使f(k-sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。

分析：由单调性，原等式等价于 k-sinx≤k2-sin2x≤1,它又等价于k2≤1+sin2x（1）k2-k+≥（sinx-）2（2）

因为sin2x+1≥1，所以不等式(1)对一切x∈R恒成立的充要条件是k2≤1 （3）

又（sinx-）2≤，

k2-k+≥（4）

由(3),(4)求交集，得k=-1。

故存在k=-1适合题设条件。

注：抽象函数与不等式的综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。

三．利用函数的周期性

例4．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x，则f(7.5)=_____。

分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2)＝-f(x)及f(-x)=-f(x)；将f(7.5)的求值问题转化到x∈[0，1]范围内解决。

由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=-f(x+2)＝f(x)，知f(x)是以4为一个周期的周期函数，于是

f(7.5)=f(4×2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。

例5．已知f(x)是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值。

分析：易知f(x)1,所以有

f(x+2)=

f(x+4)===-

f(x+8)== f(x)

函数f(x)是以8为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8×250+1)=f(1)=1997。

注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。

四．利用函数的对称性，数形结合

例6．对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x-1)与函数y=f(-x+1)的图象恒（ ）。

A．关于x轴对称B．关于直线x=1对称

C．关于直线x=-1对称D．关于y轴对称

分析：因为f(x)和f(-x)的图象关于直线x=0对称，所以f(x-1)和f(-(x-1))的图象关于直线x-1=0,即x=1对称，故选B。

例7．函数f(x)对一切实数x都满足f(+x)=f(-x)，并且f(x)=0有3个实根，求这3个实根之和。

分析：由f(+x)=f(-x)知直线x=是函数图象的对称轴，又因f(x)=0有3个实根，由对称性知x1=必是方程的一个根，其余两根x2，x3关于x=对称，即x2+x3=2×=1，故x1+x2+x3=。

注：若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，则直线x=a是函数图象的对称轴，然后利用数形结合，常使问题迎刃而解。

五．借助特殊点，运用方程思想

例8．已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则（ ）。

A.b∈(-∞，0)B.b∈(0，1)

C.b∈(1，2) D.b∈(2，+∞)

分析：本题的已知信息主要在图象上，所以认真观察图象，可知函数的图象经过了点 (0,0),(1,0),(2,0)，这些点的坐标应满足函数解析式，则有

d=0a+b+c+d=08a+4b+2c+d=0

解得a=-b,c=-b

f(x)=-bx(x-1)(x-2)。

显然由f(-1)0，即可解得b

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