例谈函数中恒成立问题

【摘要】 纵观近年来全国各地的高考数学试题,考查函数恒成立的问题屡见不鲜。这类问题既含参数又含变量,涉及到各种各样的函数,难度较大。考生在遇到此类考题时,往往容易出错。本人结合自己多年的教学经验,对此问题做一些探讨和推进。

【关键词】 函数 恒成立

【中图分类号】G423 【文献标识码】 A 【文章编号】 1006-5962(2012)06(a)-0141-01

本文就高考中函数中恒成立问题进行探究,举例说明,以期抛砖引玉。

一般地,若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则；若对于取值范围内的任一个数都有恒成立,则.

1 一次函数中的恒成立问题

例1 已知不等式对任意的都成立,求的取值范围.

解:由移项得:.令

则对任意的都成立对恒成立.

即,,解得,故的取值范围是.

评注:本类问题貌似关于的函数问题,但实质是关于的,务必变更主元,构造新函数.

2 二次函数中的恒成立问题

例2 当时,不等式恒成立,求的取值范围.

解:,而在上单增,,故.

评注:这类二次函数问题,由于定义域的局限,我们的常见办法是:分离参数,构造函数,求其值域.

3 三角函数中的恒成立问题

例3 设函数．如果对任何,都有,求的取值范围．

解:将看做,的连线斜率,当出现最大值时,就是过在第一、二、三象限做单位圆的切线的斜率,易求得.故,因此,的取值范围是．

评注:凡是能构造几何意义的问题一定利用数形结合解题,往往简单方便快捷明了.

4 指对函数中恒成立问题

例4已知是上的减函数,求的取值范围.

解:当时,为减函数,只需,；当时,为减函数,只需,是上的减函数则需,即,代入解得,.综上.

评注:这类问题必须关注端点值的大小关系.否则不满足恒成立.

5 分段函数中的恒成立问题

例5 已知函数,对任意实数恒成立,则实数的取值范围为( )

解:,则,则恒成立,解得.

评注:本函数可以等价转化为分段函数,此类问题可以借助三角不等式求解,也可利用分段函数求解,还可以利用绝对值的几何意义求解,相对而言本解法较易.

6 对勾函数中的恒成立问题

例6 已知函数,其中.若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围。

解:易知,在上的最大值为与的较大者,对于任意的,不等式在上恒成立,当且仅当,即,对任意的成立．从而得,所以满足条件的的取值范围是。

评注:对勾函数中的恒成立问题要应用凸凹函数的性质,“陪练”思想.同时当某变量的取值范围知道时,不妨把它当成自变量,利用单调性等性质解题。

7 抽象函数中的恒成立问题

例7 定义在上的函数满足(),,则等于( ).

解:令,令；

令,再令得

.

评注:抽象函数的恒成立(定值)问题常常利用特值法,符合演绎推理的思想.有时也可借助函数模型解题.例如:；；

；；等等.

函数的恒成立问题往往参透着等价转化、数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想,旨在考查学生的综合解题能力,对培养思维的灵活性、创造性方面起着积极作用.熟练掌握此类题目,不仅有利于提高学生的数学解题能力,更是考生高考数学拿高分的关键所在。