对按数学函数设计的轨道类问题探讨

数学是物理的基础，物理离不开数学，应用数学处理物理问题的能力也是高考重点考查的五大能力之一.在解决物理问题过程中发现，除一般应用数学知识解决有关物理问题外，还有一类就是物体的形状或物体运动的轨迹满足数学函数，这里的数学函数赋予了物理意义，它遵循物理规律.下面我就几个实例做一个简要分析.

1 物体沿按数学函数设计的轨道运动

例1 如图1所示，置于竖直平面内的AB光滑杆，它是以初速为v0，水平射程为s的平抛运动轨迹制成的，A端为抛出点，B端为落地点.现将一小球套于其上，由静止开始从轨道A端滑下，重力加速度为g.则当其到达轨道B端时

A.小球在水平方向的速度大小为v0

B.小球运动的时间为s/v0

C.小球的速率为gs/v0

D.小球重力的功率为mg[]v0[KF（]v20+g2s2[KF）]

分析 AB杆的形状是按以初速为v0，水平射程为s的平抛运动轨迹制成，小球从A点由静止开始运动，显然小球的运动不是平抛运动，水平方向不是匀速运动，所以A、B错误；小球从A到B过程中只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律有：mgh=1[]2mv2，得v=[KF（]2gh[KF）]，由平抛运动h=1[]2gt2，s=v0t得h=gs2[]2v20，因此小球到达B端的速度v=gs[]v0.设小球运动到B端时与水平方向的夹角为θ，由平抛运动得sinθ=gs[][KF（]g2s2+v40[KF）]，则小球在B端时重力的功率为p=mgvsinθ=mg3s2[]v0[KF（]g2s2+v40[KF）]，故D错.

小球从A运动到B不是平抛运动，它不满足平抛运动的规律，但它的任意时刻的位置坐标x、y满足抛物线方程.

2 物体的形状按数学函数设计

例2 如图2所示，在光滑的长直金属杆上，套上两个金属 [LL]环与半个正弦曲线形状的金属导线ab连接，金属杆电阻不计，导线电阻为R，ab间距离为L，导线组成的正弦曲线底部到金属杆的距离为d，在导线和金属杆平面的右侧有一有界匀强磁场区域，磁场的宽度为L，磁感应强的大小B，现在外力F的作用下导线沿金属杆以恒定的速度v向右运动，则导线自t=0时刻从O点进入磁场到全部穿过磁场的过程中，外力F所做的功.（运动过程中导线形状保持不变）