高考概率典型考题赏析

【摘要】 高考概率统计试题，主要围绕利用互斥事件和对立事件简化求解古典概率，三种抽样的公平性的理解和频率分布表和频率分布直方图的应用展开的， 以小题为载体，考查古典概型、系统抽样的方法和用样本频率分布估计总体分布的方法。本文聚焦如下。

【关键词】 高考 概率 典型考题

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1674-4772（2013）03-023-01

一、离散型随机分布列的确定和性质

例1（2012・陕西卷20）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：

从第一个顾客开始办理业务时计时。

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望。

解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则事件A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.

（2）X所有可能的取值为0，1，2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟。所以P（X=0）=P（Y>2）=0.5；

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=P（Y=1）P（Y>1）+P（Y=2）=0.1×0.9+0.4=0.49；

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=P（Y=1）P（Y=1）=0.1×0.1=0.01.

所以X的分布列为：

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

感悟：本题主要考查概率分布列的性质、离散型随机变量的期望、互斥事件、相互独立事件以及二项分布模型的应用；分布列的性质待定参数和期望的计算容易得分，两月内共被投诉2次的事件合理分解成2类互斥事件，构建二项分布的模型简化求解。

二、概率的应用――模拟法（几何概型）

例2. （2012・辽宁卷）在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D.■

答案：C 本小题主要考查几何概型。解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比。令AC=x，CB=12-x，这时的面积为S=x（12-x），根据条件S=x（12-x）0 故0

感悟：把问题转化为几何概型求解，其方法为把基本事件转化为与之对应的区域D；把随机事件A转化为与之对应的区域d；利用几何概型概率公式计算，一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为：P（A）=■；本题考查了三角函数的值域和几何概型问题，由自变量x的取值范围，得到函数值的范围，再由长度型几何概型求得。

三、利用直方图进行总体估计

例3. （2012・辽宁卷）电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图.将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”。

（1）根据已知条件完成

如图2×2列联表，并据此资

料你是否认为“体育迷”与性

别有关？

（2）将上述调查所得到的频率视为概率。现在从该地区大量电视观众中。采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次。记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X.若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望E（X）和方差D（X）.

附：x2=■

解：（1）略

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得x2=■≈3.030.

因为3.030

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为■.

由题意X～B，从而X的分布列为：