数学教学中比较法的应用

摘要：通过易混概念比较、相反概念比较、新旧知识比较、同类事物比较，从而提高知识的认识水平，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。

关键词；比较 概念 知识

【中图分类号】G420

比较是认识事物的一种方法。是把具有某些联系的两种及两种以上相似易混淆的东西加以对照，找出差异，形成对事物的认识。在教学中，把某些有一定相关性的知识点或练习题放在一起对照讲授或练习，找出它们的共同点和不同点，可以使学生加深对知识的理解，准确把握题意，通过比较，可以辨别真伪、正误，提高知识的认识水平；可以举一反三，激发学生兴趣，进而培养学生分析问题、解决问题的能力。

一、 易混概念比较，防止混淆

如线性代数里面有两个重要的知识点――行列式、矩阵。对于初学者来说

这两个知识点极易混淆。表现在概念上混淆，做题时思路混淆，不知该用什么知识解决它。所以有必要指导学生进行比较，找出差异，加深对两个概念的认识。

1、概念上的区别：行列式是一个数或代数式，可展开计算其值，行数与列数相

等；矩阵是一个数表，无值可言，行数与列数可以不等。

2、书写形式不同：行列式用两竖线表示，即 ；矩阵用小括号和中括号表示，

即 、 。

3、数乘的区别：不为零的常数K乘以行列式时，只乘以其中的一行或一列；而

不为零的常数K乘以矩阵时，必须乘以其中每一个元素。

4、行列式的性质与矩阵的初等变换的区别：行列式的简化是利用五个基本性质

进行简化的，其中四个是等值变换，一个是变号变换。简化后用等号连接，矩阵

只有三个初等变换，变换后其秩不变，且用“ ”连接。

通过引导学生动手、动脑的分析、比较，使学生变被动为主动，从而有助于提高听课质量，提高学生分析问题的能力。

二、 相反概念比较，找出关联

如：在讲新课“对数函数的定义及性质”时，由于指数函数前面已经讲过，因此，可由指数式、指数函数导入，① ；② ，则 为 的反函数，并称为对数函数；③对 和 在定义域、值域、图像、性质等方面进行比较，从而使新旧知识在头脑中清晰地联系起来，对新知识更容易掌握和记忆。再如三角函数与反三角函数的比较等，提高知识的认识水平。

三、 新旧知识比较，以旧带新

新旧知识的比较，对于学生消除旧知识的负迁移，顺利完成新知识的学习，

对于学生巩固旧知识，突出新知识的特点，使新旧知识在头脑中清晰地联系起来起着积极作用。

如：讲新课“一元二次不等式”时，可从一元二次方程讲到一元二次函数，再讲一元二次不等式。可请学生比较下列式子及解法异同： ， ，使学生从根本上摆脱思维定势的负作用。再如：讲新课“空间向量”时，从平面向量入手，因为两个空间向量的和、差、数乘、内积、模、垂直、平行、夹角等计算公式与平面向量的公式非常相似，将这两个概念进行比较，对新知识更容易掌握和记忆。

四、 同类事物比较，提高能力

1、同类型题，解题方法的比较

解决上述问题的方法有两种。伴随矩阵法和初等变换法。引导学生对题进行分析，A矩阵有三角函数和较多的零，用伴随矩阵法比较直观，计算简单；若学生对三角知识较熟悉，则用初等变换法比较简捷，快速。对于B矩阵，不难发现，第一行与第三行只有一个不为零的元素，且两元素不同列，而第二行有两个不为零的元素。这些不为零的元素数字简单，用高斯消元法解决它比较简捷。

对解题方法的比较，有助于解题时，灵活选择解题方法。

再如：求下列函数定义域（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）

请学生解题完后，归纳求定义域的基本方法，总结求定义域步骤。因为，数学基本方法是数学思想的体现，具有模式化与可操作性的特征。

2、一题多解，解题方法的比较

一题多解是多角度地考虑同一个问题，找出各方法之间的关系和优劣。

如：化简： 。解法1： ；解法2： ；解法3： ；解法4： ；解法5：原式= =0；解法6： ；教师引导学生去探究、去寻求规律，比较解题方法的优劣，这过程，不仅熟悉了三角公式，而且增强了公式的灵活应用，学生自己也能总结出：解法1、2、4属于代换法，解法3、5、6属于组合法。

3、 一题误解，误解与正解的比较

如：从1、2、3、4、5中任取2个数可组成多少个加法、减法、乘法、除法

式子？错解：从1、2、3、4、5中任取2个数可组成 个加法式子； 个减法式子； 个乘法式子； 个除法式子。错因分析：造成这种错误的原因是学生对排列、组合的概念不清而致错。正确解答是：因加法、乘法满换率，与顺序无关，因此从1、2、3、4、5中任取2个数可组成 加法或乘法式子，而减法、除法不满换律，与顺序有关。因此，从1、2、3、4、5中任取2个数可组成 个减法或除法式子。进而通过两种解题方法的比较，消除学生头脑中的错误认识，学生更清楚地明白两个概念的本质区别，从而提高学生的认识水平。

4、 一题多变，进行多变中的比较

一题多变是指：通过题目的延伸、变化、发散，提供问题的背景，提示问题间的逻辑关系。在课堂中，以简单题入手由浅入深，逐渐地把题改成多变题目，让学生找到突破口。如：分别求函数 、 、 、 、 的递增区间，让学生主动去猜想、体验、尝试、比较、创造，寻找解题规律、归纳解题方法，更好地掌握数学知识的本质。再如：学生以求函数 的值域为基础，在老师的引导下对该题目进行变化和延伸，将题变换为求 、 的值域、延伸为确定实数a的取值范围，使 的值域为R。解完题后，思考解题步骤，就会发现解决同类型题时，既有相同性又有灵活性，使学生彻底弄清相应的知识点及数学方法。