高等数学极限部分教学实践探讨

【摘要】 高等数学教学质量的提高一直是教育者关注的热点.极限是高等数学最重要的概念，是整微积分的基础.本文结合自身教学经验，对极限概念的教学进行了一些探讨.

【关键词】 高等数学；极限；教学

【基金项目】 国家自然科学基金青年基金（项目号：11501416）.

高等数学是大学非数学类专业的一门核心课程，一般在大学一年级开设.从内容上讲，高等数学既是中学数学内容的推广和扩展，又为后续各专业课程提供必要的基础；从教学要求上讲，高等数学通过介绍微积分学的理论与方法，力求培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，以期提高学生的数学素养和应用能力.鉴于高等数学的重要性，它一直是绝大多数专业研究生入学考试的必考科目.然而，教学实践表明，学生对这门课的掌握程度完全没有达到预期目标.很多学生“谈高数而色变”，戏称“从前有一棵高高的树，上面挂了很多人”.因此，高等数学教学内容改革和教学方法研究逐渐成了大家的研究热点.本文结合自身经验，对极限概念的教学方面做了一些探讨.

一、极限概念的重要性与教学要求

极限是微积分的主要理论基础，高等数学中的后续概念如导数、积分、级数等都要以极限概念为基础来建立，后续的诸多计算性质也是由极限性质来直接推出的.因此，如果极限概念掌握不好，后续学习将相当困难.由于当下高数课程的课时较为紧张，很多教师要么完全摒弃严格的极限概念，要么直接讲严格的ε-N极限表达，这使得学生云里雾里，对后续内容的学习十分不利.

另一方面，按照高等数学的课程标准，教学中须遵循“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，注重理论联系实际，强调对学生基本运算能力和分析问题、解决问题能力的培养，以努力提高学生的数学修养和素质.因此，极限概念不宜讲得过难，关键是要让学生建立起极限思维和认识到极限是一个变化过程.

二、极限概念的引入与建立

结合自身教学经验，笔者在教学中一般采取如下教学步骤：

（一）还原极限发展过程，引发学生兴趣

自公元前三四世纪产生极限思想的萌芽到德国数学家魏尔斯特拉斯给出课本上的严格定义，前后跨越两千三百余年，极限理解之难可见一斑.在教学中，首先，我们粗略介绍极限概念的发展历程，使学生不感枯燥且能体会极限的基本思想.比如，《九章算术》中用割圆术计算圆的面积时，提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.在教学中，我们介绍阿基里斯悖论后，很多学生就已产生兴趣，觉得这是“不可能的”，但细想之下又觉得有一定道理，迫切想知道正确解释.

（二）采用“导―学―研”模式，从感性到理性，逐步引导学生探索

《庄子》中记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，将其用数列来描述，即每日的截取量为 1 2 ， 1 4 ， 1 8 ，…， 1 2n .第n天的截取量即为通项an= 1 2n .学生们可以很直观地认识到，随着天数增加，所剩长度越来越小，会无限地接近于零但又不为零，即“万世不竭”.由此，即可得到极限的描述性概念：给定一个数列{an}，随着n越来越大时，若通项an无限地接近一个常数A，则称该数列的极限为A，记作 lim n∞ an=A.此时，给出 lim n∞ 1 n =？学生立刻会答：“等于零.”这表明已经建立了感性认识.

为了给出严格定义，可以提出问题：如何定量地表达“接近”？什么叫“无限接近”？一般的，学生很容易想到利用距离的大小来衡量接近程度，部分学生也能想到“无限接近”指的是“要多近就有多近”.这就可以理解为给定一个规定的接近程度（用正数ε来刻画接近程度），只要n很大，就一定可以达到该程度.对上例而言，若取ε=0.1，要想|an-A|= 1 n 10.换言之，只有从第十项开始（我们用N=10来刻画这个开始下标），才能达到该接近程度.于是，为了表达无限接近，只需要对给定的任意一个正数ε，都能找到这样一个开始下标N，从第N项开始，都有|an-A|= 1 n

至此，教师可以与学生一起将极限的描述性概念用严格的数学语言表达出来：若对任给的ε>0，总存在一个正整数N，对任意的n>N，都有|an-A|

（三）用定义证明数列极限，强化理解

在公共数学的研究生入学考试中，一般不会考查严格的极限定义.虽然如此，我们还是认为，应当适时地让学生练习一下如何利用极限定 义来证明极限.如下的例1是今后计算极限时常用的结论，例2则是从小学时代就困惑的循环小数问题.

例1 对给定的|q|

例2 记an= 0.99 … 9 n个 ，有 lim n∞ an=1.

（四）趁热打铁，将数列极限概念推广到函数极限

建构主义学习理论认为，知识不是通过教师传授得到，而是学习者凭借原有的知识和经验，在他人的帮助和引导下，通过意义建构的方式而获得的.在完成数列极限的概念后，我们发现数列极限包含两个变化过程，一是自变量n的变换，一是函数值an的变化.这样，我们很容易引导学生自己给出函数极限lim x+∞ f（x）=A的概念：就是随着自变量x趋于正无穷大时，函数值f（x）无限接近于A.在此基础上，逐步引导学生建立其他极限概念（包括x-∞，xa，xa+，xa-）.讲解时可以利用图形的直观性来展示，此外还要特别注意引导学生了解本质：就是随着自变量x越来越接近某一值时，函数值无限趋近于某个常数.

三、结 语

对极限是高等数学的基础，对这一概念掌握的好坏将直接影响后续内容的学习和理解，也将决定学生大学数学功底的修炼水平.本文通过极限部分教学中的一些具体问题来探索教学方法.当然，教无成法.要提高教学质量，还要从多方面入手.笔者将不断努力，积累教学经验，探索教学方法，以期从根本上提高教学效果，让学生们真正热爱数学！

【参考文献】

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