高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用

【摘要】边际与弹性是高等数学中的重要概念， 是微分学在经济分析中的有效应用。本文从经济理论中的“边际”和“弹性”出发 ，对目前经济学中几个常见问题进行了数学化探讨，阐述了高等数学在经济学中的相关应用。

【关键词】边际 弹性 应用

边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是高数微分法的重要应用之一。在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于自变量变化的函数关系，还要进一步了解这个函数值随自变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，而且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进一步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应用的目的。

一、边际概念及其在经济学中的应用

（一）边际概念

边际作为一个数学概念， 是指函数y=f（x）中变量x的某一值的“边缘”上y的变化。它是瞬时变化率， 也就是y对x的导数。用数学语言表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导， 则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。

（1）边际成本。在经济学中，把产量增加（或减少）一个单位时所增加（或减少）的生产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。

（2）边际收益。是指销售量增加（或减少）一个单位时所增加（或减少）的销售产品总收入，是总收入函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。

（3）边际利润。对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）一个单位销售量时所增加（或减少）的利润。

（二）边际理论在经济学中的应用

边际分析理论可用来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部生产资料同劳动数量之间最合理的配置。我们主要探讨如何利用边际理论决策最低成本、最优利润，以提高企业经营管理水平。

由于平均成本包括有产量的增加而始终递减的固定成本，同时它又是按全部产量平均计算的，所以它的曲线由递减转为递增较边际成本曲线迟。

当平均成本与边际成本相等时，MC=AC，平均成本为最低，也就是说，边际成本曲线MC与平均成本曲线AC相交于平均成本曲线的最低点处F处。这一点就是通常所谓的“经济能量点”或“经济有效点”，也就是成本最低的一点。企业家应该把生产规模调整到平均成本的最低点（即F点），才能使生产资源得到最有效的利用，以增加盈利。

二、需求价格弹性及其应用

（一）需求价格弹性

弹性作为一个数学概念是指相对变化率， 即相互依存的一个变量对另一个变量变化的反应程度。用比例来说， 是自变量每变化1%所引起因变量变化的百分点。

需求价格弹性是是经济数学弹性中应用最广泛的概念之一。它是指物品的需求量对价格变化的反应程度即需求弹性=需求变化百分比/ 价格变化百分比。设需求函数为Q=Q（P） ，其中P为价格，Q为需求量。利用极限思想研究需求弹性，则在P点“近旁”变化率可定义为，它表示当某商品的价格下降（或上升）1%时，其需求量将增加（或减少）|Ep| %。

需求价格弹性可分五类：

（1）低弹性。当-1

（2）高弹性。当Ep

（3）单位弹性。当Ep=-1时，这时需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等，即商品的涨价或降价对商品的销售基本无大的影响。

（4）完全弹性。当Ep=+∞时，表示价格的任何变动都引起需求量无限的变动。如国家对棉、油、木材以及某些战略物资的定价收购，需求量可为无限制的

（5）完全无弹性。当Ep=0时，表示不管价格如何变动，需求量固定不变。

（二）需求价格弹性的应用

需求价格弹性应用很多，我这里主要谈谈价格变动如何影响销售收入。

在商品经济中经营者经常关心的问题是提价或降价对总收入的影响，利用需求弹性的概念可以使经营者认识到：涨价未必增收，降价未必减收，这要视具体情况而定。

设某商品的需求函数为Q=f（P），商品的价格有改变量P，这时需求量相应的改变量为Q，销售收入R=QP的改变量记为R，由需求弹性的求解公式：

因此，由价格P的微小变化（┃P┃很小时）而引起的销售收入R的改变量

由此可知，当┃Ep┃>1（高弹性）时，若P0；若P>0则F

当┃Ep┃

当┃Ep┃=1（单位弹性）时，我们可以证明总收入的改变量R是较价格改变量P高价的无穷小量，提价或降价对总收入没有明显的影响。

总之，边际分析与弹性分析，是高等数学微分分析的重要应用，对经济活动起着重要作用，为企业经营管理提供有效信息，为企业经济决策提供技术性的有力的帮助。