高等代数中的几个等价关系中“等”的涵义

摘要： 本文分别具体讨论了高等代数课程中的几个等价关系：矩阵等价，向量组等价，矩阵相似，矩阵合同中的“等”字背后的涵义.

关键词： 等价关系矩阵向量组相似矩阵合同矩阵

一个给定的集合中的元素之间的一个关系如果满足下面三个性质：（1）自反性，（2）对称性，（3）传递性，我们称该关系为等价关系（equivalence relation［1］）。在高等代数课程中有几个重要的等价关系，就是矩阵的等价，向量组的等价，矩阵的相似，矩阵的合同这四个等价关系。既然称之为等价关系，那么这里的“等”字是否意味着什么相等呢？本文主要探讨这些等价关系中“等”字的涵义。希望通过讨论，丰富对等价关系的感性认识，加深对代数学中这一基础概念——等价关系的理解。

一、矩阵的等价

对于矩阵A、B，如果A经过有限步初等变换成为B，则称矩阵A与B等价［2］。根据矩阵初等变换的定义，可以验证矩阵之间的这样的关系满足等价关系的三个性质，因此称之为矩阵的等价。

矩阵等价，这个“等”字之后意味着什么相等呢？如果矩阵A和B等价，也就是A经过有限次的初等变换可以变成B，可见A与B首先得同型，即有相同的行数和列数；否则，A无论如何都不能变换成B。其次，A和B应该有相同的秩，即r（A）=r（B）；因为初等变换不改变矩阵的秩。反之，如果矩阵A和B同型且有相同的秩，是不是A与B等价呢？答案是肯定的。一个矩阵通过初等变换总会变换成它的标准型，其标准型中左上角的单位子矩阵的阶等于该矩阵的秩。如果矩阵A和B同型且有相同的秩，则A和B有相同的标准型，即A和B与同一个标准型等价，因此矩阵A和B等价。可见矩阵等价中的“等”字，实际是指它们同型且有相同的秩。我们把上面的讨论归结为下面的定理。

定理1：矩阵A和B等价的充要条件是它们的行数、列数和秩都对应相等。

二、向量组的等价

设向量组A：α■，α■，…，α■；B：β■，β■，…，β■，若向量组B中的向量都能由A中的向量线性表示；反之亦然。那么称向量组A和B等价［2］。可以证明在该定义下这是一个等价关系。这个“等”字背后意味着什么相等呢？我们不妨把目光集中在实数域R上的向量和向量空间上。

对于向量组A，其中的向量可以以实数为系数线性生成一个实数域上的线性空间，简称为A生成的空间，记作span（A）；同样也有span（B）。如果向量组A和B等价，则B中的向量都能由A中的向量线性表示，因此span（B）中的任意向量也可以由A中的向量线性表示，则有span（B）?哿span（A）；反之亦有span（A）?哿span（B）。因此span（A）=span（B）。另一方面，如果span（A）=span（B），由于B?哿span（B），故B?哿span（A）。因此B中的向量都能由A中的向量线性表示；同理，A中的向量也可以由B中的向量线性表示，则向量组A和B等价。由上面讨论可见向量组A和B等价，这个“等”字意味着它们的生成空间相等。即有下面的结论。

定理2：向量组A和B等价的充要条件是span（A）=span（B）。

三、矩阵的相似

设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，那么称矩阵A和B相似［4］。矩阵的相似关系是一个等价关系，那么这个“等”字背后意味着什么相等呢？

我们考虑一个n维线性空间上的线性变换（如果矩阵A和B是数域F上的矩阵，那么就考虑F上的一个n维线性空间）。对于一个线性变换σ，取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，如果我们描述清楚了该基中向量在σ下的像，那么就描述清楚了该线性变换σ；这是因为σ是一个线性变换。设联系基的像σ（ε■，ε■，…，ε■）与基ε■，ε■，…，ε■之间的过渡矩阵为A，σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A。即，我们用矩阵A来表述了基的像，因此用矩阵A完全刻画线性变换σ；换言之，线性变换表示成为一个方阵。

问题是：同一个线性变换σ，如果选定该n维空间的另外一个基β■，β■，…，β■，那么刻画σ的矩阵就会是另一个矩阵B。但是此时我们会发现矩阵A和B相似，即存在n阶可逆矩阵P，使得A=P■BP，其中恰有（ε■，ε■，…，ε■）=（β■，β■，…，β■）P。

另一方面，设矩阵A和B相似，A=P■BP。取该n维空间的一个基ε■，ε■，…，ε■，则由（ε■，ε■，…，ε■）A决定了一个线性变换σ，即σ（ε■，ε■，…，ε■）=（ε■，ε■，…，ε■）A；换言之，一个方阵实际在描述着一个线性变换。令（β■，β■，…，β■）=（ε■，ε■，…，ε■）P■，则β■，β■，…，β■也是一个基，那么矩阵B在基β■，β■，…，β■下也在描述着一个线性变换σ■，即σ■（β■，β■，…，β■）=（β■，β■，…，β■）B。实际上，σ■=σ，因为σ（ε■，ε■，…，εn）=σ■（ε■，ε■，…，ε■）。

在上面的讨论之下，可以笼统说，n维空间的线性变换表示为一个方阵，一个方阵实际在表达一个线性变换。矩阵A和B相似等价，这个“等”字实是指它们在表达着同一个线性变换。准确地说有如下定理。

定理3：n阶矩阵A和B相似充要条件是它们是n维线性空间的同一个线性变换在不同基下所对应的矩阵。

四、矩阵的合同

设A和B是两个n阶矩阵，若存在n阶非退化矩阵P，使得A=P■BP，其中P■是P的转置矩阵，那么称矩阵A和B合同■。合同关系是一个等价关系，这个“等”字指的是什么相等呢？对称矩阵只能和对称矩阵合同，我们只在对称矩阵之中讨论合同关系。

一个n阶对称方阵A对应着一个n元二次型X■AX，此时称该二次型为A的二次型，矩阵A称为二次型X■AX的矩阵。如果A和B是数域F上的两个n阶矩阵，那么它们对应着数域F上的二次型。任何一个二次型通过非退化的线性变换可以化为规范型形式的二次型。如果对称矩阵A和B合同，A=P■BP，那么X■AX通过非退化的线性变换Y=PX可以化为B的二次型Y■BY。因此A和B的二次型有相同的规范型。反之，如果A和B的二次型有相同的规范型，则A和B合同于同一个规范型的矩阵，故A和B合同。所以对称矩阵A和B合同等价，这一“等”字是指它们的二次型的规范型等同。从几何直观来看，二次型是n维空间F■的曲线，不同的规范型代表不同的曲线类型。矩阵A和B合同等价，是指它们对应的曲线类型相同。例如在R■（R为实数域）中，x■+y■代表的是椭圆类二次曲线，而x■-y■代表的是双曲线类二次曲线。

定理4：对称矩阵A和B合同充要条件是它们的二次型的规范型相同。

参考文献：

［1］J.J.Rotman.Advanced Modern Algebra（抽象代数，影印版）［M］.北京：高等教育出版社，2004.

［2］北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编.王萼芳，石生明修订.高等代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［3］刘仲奎等.高等代数［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［4］吴赣昌.线性代数（经管类，第四版）［M］.北京：中国人民大学出版社，2011.