数学广角:学生体会和运用数学思想的支点

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出：通过义务教育阶段的数学学习，“使学生理解和掌握基本数学知识与技能，体会和运用数学思想与方法，获得基本的数学活动经验”。这里的数学思想，就是对数学知识和方法的本质及规律的理性认识，它是解决数学问题的灵魂和根本策略。

人教版教材从一年级下册开始，每册都安排一个“数学广角”单元，这部分内容，为《义务教育数学课程标准（2011年版）》由双基变四基起到了重要作用。目的就是渗透数学思想方法，满足不同学生的思维发展需求，在探究过程中将数学思想内化成学生的学习需求，从而转化为学生探究的方法。

那么怎样才能更好地对这部分内容进行教学，使数学思想的渗透能更好地帮助学生理解寻求解决问题的方法呢？下面，我结合“植树问题（两端都栽）”一课，谈谈化归思想的教学。

一、 渗透――铺垫数学思想形成

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教师教学应该以学生的认知发展水平和已有经验为基础。”因此，我们的教学设计也可以从学生最熟悉的东西入手，体现数学的应用性，使数学思想方法从课的伊始就开始渗透。

片段1：

师：两棵小树十个杈，不长叶子不开花，能写会算还会画，天天干活不说话。请你们猜一猜是什么。

生：手。

师：对了，我们每天都要用到手，那么，你对自己的手，了解吗？（伸出两个手指）请你观察，发现了什么？

生1：我看到了两个手指。

生2：我还发现两个手指中间有1个空。

师：你们的观察能力可真强。两个手指间有1个空。（伸出3个手指）这回你又发现了什么？

…………

师：现在呀，请你自己数一数，快速告诉老师，5根手指有几个空。

师：其实呀，生活中像这样的例子还有很多，下面，我们就一起走进数学广角来看一看吧！

这种激发学生兴趣的导入，既是学生最熟悉的，也是学生信手拈来的。这里手指和“空”之间所蕴涵的就是间隔数与棵树之间的关系。其实，这就是最简单的“植树问题”。从观察到动手数，学生自然得出手指数总比手指缝数多1，为“复杂问题简单化”作一些理解上的准备，潜移默化地起到了很好的铺垫作用。

二、 运用――经历问题解决过程

在教学过程中，我们教师要“处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流”。引导学生积极主动地运用数学思想去认识新知。

片段2：

出示例题：同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共需要多少棵树苗？

师：你获得了哪些数学信息？能解释一下什么是“两端都栽”吗？

生：就是头和尾都种。

师：那什么是“每隔5米”呢？

生：应该就是两棵树之间的距离是5米。

师：你说得真好。一般情况下，路边植树每两棵之间的距离都相等，两棵树之间的距离叫做“间距”。这道题的间距是多少？

生：5米。

师：现在你能根据自己的理解说说你都获得了哪些信息吗？

…………

师：现在请同学们结合条件猜一猜，一共要多少棵树苗呢？

生1：20棵。

生2：21棵。

生3：22棵。

师：你们的猜想好像都挺有道理，到底谁说的对呢？我们得要进行验证。你想怎样验证呢？

生：老师，咱们可以画一画，数一数。

师：那我们一起画图，好吗？请看屏幕。这就是那条长100米的小路，我们先在它的开头这儿种一棵，然后每隔5米种一棵（4棵）大家看，已经种了几米了？要种几米？哦，就是照这样一棵一棵地画下去，我得一直画到100米，你有什么感觉？

生1：老师，太麻烦了！

生2：这得种到什么时候呀！

师：是呀，那你们有没有什么好办法，可以把问题变得简单些呢？

（学生独立思考，然后组内交流。）

生1：老师，我觉得可以先画画20米要栽多少棵树，找到规律后，我们就可以算出100米要栽多少棵树了！

生2：还可以用10米来试一试。

生3：老师，我觉得用5米也行。

师：你们的想法真好，一下子呀，这么复杂的问题就变得简单了，下面，就请同学们在你认为合适的短距离路上画一画，验证你的猜想。

和学生共同分析完各数量后，请同学结合条件猜一猜，一共要栽多少棵树苗。由于学生的思维角度不同，答案不一，为了更好地确定答案，教师提议和同学们一起来进行验证。接下来，通过课件，一步一步地和学生一起“栽种”。学生很自然地会觉得照这样画100米实在是太麻烦了。这时，学生的认识水平和实际应用就发生了矛盾，这就是教育的最佳时机。学生依据课伊始的铺垫，很自然地就采取不同的短距离进行探究。虽然所选的距离不同，但最终目的就是将大的数据转化为方便我们进行验证的数据，从而发现规律。这里，学生就主动地运用了“复杂问题简单化”的数学思想。

三、 概括――理解数学思想精髓

化归是基本而典型的数学思想。我们实施教学时，也经常用到它，包括化生为熟、化难为易、化繁为简、化曲为直等。在教学过程中，我们要及时对数学思想方法进行提炼、概括，帮助学生初步地学会数学的思维，引导学生用数学思想方法来解决问题。

片段3：

师：刚才，大家用不同数据对我们的猜想进行了验证，得出了间隔数、棵数、总长、间距之间的规律。现在，我们一起来回忆一下，刚才虽然我们所有的数据不同，但是我们的方法有没有什么相同的地方？

生1：老师，我们都把大数变成小数然后进行研究。

生2：都是把复杂的问题转化成简单的问题，再研究的。

师：对了，同学们，老师告诉大家，在数学上，遇到比较复杂的问题，我们可以从简单的问题入手来研究。比如这道题中100米实在是太长了，我们可以先在短距离的路上种一种来验证你的猜想，然后总结规律，最后再应用这个规律来解决问题。这种解决问题的方法就是化归的思想方法。

本课的教学，并非只是让学生会熟练解决与植树问题相类似的实际问题，而是把解决植树问题作为渗透数学思想方法的一个学习支点。我们的目的就是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。而这一基本数学思想的学习，比我们总结出的“两端都栽：棵数=间隔数+1”更加重要。我们的数学知识是数学思想教学的载体，我们的目的是通过这一过程，提高学生的思维能力。

四、 挖掘――进行知识有效迁移

《义务教育数学课程标准（2011年版）》倡导“人人学有用的数学”“不同的人在数学上得到不同的发展”。这里的“有用”“发展”更指让人受用一生的数学思想。数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中。我们在运用和概括的基础上，也要引导学生与日常生活再次联系在一起，这样，才会让学生觉得我们的数学思想有“用武之地”。

片段4：

师：现在你能解决这个问题了吗？（课件例1）100米是什么？5米？求？

（学生在练习本上计算。）

师：通过把复杂问题简单化，我们发现了植树问题的规律。生活中有这样的例子吗？

生1：联欢会花和气球。

生2：冬天我们扫雪，每个班三棵树，其实就是扫两个间隔。

生3：还有坐车，公共汽车站……

有很多老师，把本节课的重点放在了抽取数学模型上。试想一下，我们的这一公式，许久之后，学生可能会遗忘。但是，“复杂问题简单化”这种数学思想学生学会了，就可以通过简单的推理得出来。而这一过程，才是数学的本质，也是学生真正受益终身的。

“植树问题”在以前的教材中是没有的，学生们在奥数课上才能接触到。安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复杂问题从简单入手的思想。通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际的问题。

这里，学生经历了比较、观察、思考，就可以很自然地构建知识体系。通过以上教学，深化了学生对“化归”思想的理解，拓展了数学思维，数学思想方法作为数学认知结构形成的核心起到了重要的组织作用。

有人说小学生学的数学初级，很简单。尽管简单，里面却蕴涵了一些深刻的数学思想。我们要利用好数学广角这块“阵地”，做教学有心人，有意渗透，有意点拨，让学生在学数学、做数学、用数学的过程中，感悟数学思想。同时也让学生的数学思维能力得到切实、有效的发展。

（作者单位：哈尔滨市河松小学）