时间：2023-02-23 18:31:26
教学目的：
1、通过操作，引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用公式解答一些简单的实际问题。
2、激发学生参与整个课堂教学活动的学习兴趣，培养学生的分析、观察和概括力，发展学生的空间观念。
3、渗透转化的数学思想和极限思想。
教学重点：圆面积公式的推导。
教学难点：弄清圆与转化后的近似图形之间的关系。
学具：每四人小组一个彩色圆（教师分好8等分点）、两三个圆、固体胶、卡纸、剪刀。
教具：课件。
教学过程：
一、谈话揭题：
出示图：
你看到了什么？刚才同学们提到的圆的面积就是今天这节课我们要来研究的内容。（出示课题：圆的面积）那么圆的面积和什么有关？（半径、直径）
二、新课教学：
1、猜测：
现在请大家看，这儿有一张正方形的纸，（课件演示）用它剪一个最大的圆，（课件演示）如果圆的半径用r来表示，你知道原来正方形的面积怎么求吗？（2rx2r）整理一下（板书：2rx2r=4r的平方）（按虚线）我们再来看看图，你明白了什么？这样看来，正方形的面积是r的平方的4倍，那么，现在请你猜猜看，圆的面积大概会是多少？
2、验证：
（1）现在我们都认为圆的面积是r的平方的三倍多一点，那么，圆的面积与r的平方到底有怎样的关系呢？你们准备用怎样的方法来研究它呢？下面请四人小组讨论一下，可以动用桌子上的学具。（教师巡视）
（2）反馈：（三分钟后，低到高）
a：你们为什么不动？你们又是怎么想的？（平均分成若干份，拼成我们学过的图形来研究）同意吗？
b：这儿有一个圆，我们把它平均分成四份，可以吗？那么怎么拼呢？（学生拼，投影演示）看看象什么图形？（平行四边形）象吗？我看不象。怎样使它象呢？（分的份数多一点）刚才我们拼的图形象平行四边形，当然，可能还能拼成别的图形。
c：刚才我们讨论研究出来的方法第一步是等分，第二步是想一想拼成什么图形，再拼一拼，第三步是推导。（板书：等分想、拼推导）当然，也可以用别的方法。（板书箭头）
（3）操作：
你们想试一试吗？现在请组长拿出信封，倒出里面的圆片，我们以四人小组为单位动动手。（小组讨论操作，师巡回指导：表扬拼出与别组不一样图形的小组，提示拼好后可以用胶水粘住。）
3、小组汇报：（举起把圆等分成8份、16份所拼成的长方形或平行四边形给学生看一看，再请平均分成16份拼成长方形或平行四边形的同学汇报）
（1）学生汇报。
（2）有没有疑问？
拼成的长方形是真正的长方形吗？为什么？（边是曲线）
如果把一个圆等分成32份，拼成的长方形会怎样呢？（课件演示）等分成64份，又会怎么样呢？（课件演示）如果等分的份数更多，又会怎样呢？你能得出什么结论？（圆等分的份数越多，拼成的图形越接近于长方形）
（3）板书：
那么长方形的面积是怎么求的？（板书）它的长相当于圆的什么？怎么用字母表示？宽呢？（课件演示：在长方形或平行四边形64等分图的下面出示r，右边出示r，同时板书）那么圆的面积=rxr=r的平方。
（4）还有补充吗？
小组汇报：平行四边形、三角形、梯形面积转化为圆的面积公式。（实物投影仪下显示，最后写成r的平方，1\4bd的平方）
4、小结：通过刚才我们四人小组的活动，大家有什么结论？(不管拼成什么图形，都能推导出圆的面积是r的平方）那么知道什么可以求出圆的面积？（半径、直径、周长）
三、巩固练习：
1、出示：课本p1302（1）（3）（课件演示）会吗？（草稿本上算，投影反馈）
2、现在来看这个图形（猜测题）如果r=5厘米，你能求什么？（圆面积、正方形的面积、剩下的纸的面积）请你草稿本上算一算。（投影反馈）或口答。
四、机动练习：
教师准备一些实物，分发给四人小组：你们能求出它们的面积吗？（反馈）还可以测什么数据算面积？
五、全课小结：
教学内容：
人教版六年级教科书第十一册第95―96页中的例4和例5及“做一做”和练十四的第6―11题。
教学目的：
1、使学生根据圆的周长，计算圆的面积。
2、使学生认识环形，会计算环形的面积。
3、使学生会应用有关圆的周长和面积的知识解决简单的实际问题。
教具、学具准备：
教师准备几幅画有烟囱、柱子、街心圆形花坛、火锅圆桌和切割刀片的挂图或投影片。学生每人准备白纸、圆规和剪刀
教学过程：
一、复习引入
1、什么是圆的面积？如何计算圆的面积？
2、根据已知条件求圆的面积。（1）r=3分米（2）d=10厘米
3、看画有烟囱、柱子、街心圆形花坛挂图，要想知道这些物体占地多少平方米有哪些办法？
学生各自发表意见后教师指出：圆的周长与直径有关系，所以知道圆的周长也可以求圆的面积。这节课继续学习圆的面积。
二、教学新课
1、教学例4
（1）出示例4，全班读题
（2）师：要求圆的面积需要什么条件？题中告诉了什么条件？这道题应先求什么？
（3）学生看书上的解答过程，并把计算结果填出来。
（4）让学生交流计算结果，并说一说通过这道题的学习有什么体会？
（5）小结：在遇到要计算不能直接量出半径或直径的圆面积时，可以先量出圆的周长来计算它的半径，再求圆的面积。通过今天的学习，在生活中遇到类似的问题，自己能解决了吗？
2、完成第95页的“做一做”中的题目，教师巡回辅导，做完后集体订正。
3、教学例5（让学生做环形的实践操作）
（1）画圆，计算面积。（教师让学生在白纸上画半径是8厘米和6厘米的同心圆，并求出两个圆的面积。）
（2）剪圆，认识环形。（要求学生想办法，不剪破外面的圆，把里面的小圆剪下来。）
（3）展示学生的作品。想想你这个图形是怎样得到的？（从外圆中去掉一个同心圆。）
板书：环形（出示课件：环形）
（4）在日常生活中你见过环形或截面是环形的物体吗？请举例。
（出示课件：火锅圆桌和切割刀片投影片）
（5）探索环形面积的计算方法
小组讨论，根据你对环形的理解，你认为应如何计算环形的面积？再把各小组讨论的情况在全班交流，然后出示课件：从大圆里去掉一个同心小圆得到环形的动态过程，最后教师指出：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。
出示课件：求环形面积，要先求出外圆面积，再求出内圆面积，最后求出环形面积。
（6）学习例5
师：看课本上的解答过程，想想是分几步解答的，每步各求的是什么？
师：你能将这道题列出综合算式解答吗？试试看。
教师巡视，待多数学生列出综合算式后，再设问：这综合算式有简便算法吗？
教师演示简便算法过程：（略）
师；你从这个简便算法里想到了什么？
师；用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。
出示课件：用外圆半径的平方与内圆半径的平方的差，再乘以圆周率来计算环形的面积比较简便。
师：通过刚才对环形的学习，你知道求环形面积的关键应知道什么？
4、完成第96页中的“做一做”题目。（先让学生独立完成，再集体订正。）
三、课堂练习
1、判断
（1）圆的周长越长，圆的面积越大。（）
（2）周长相等的两个圆，面积也一定相等。（）
（3）在圆内剪去一个小圆就成为一个圆环。（）
（4）圆的半径扩大3倍，它的面积也扩大3倍。（）
2、完成练十四中第6―11题。（先让学生独立完成，再集体订正）
3、开放性练习。（课后思考）
在一块长方形铁皮上剪两个同样大小，并且尽可能大的圆，要想求剩下铁皮的面积。只允许测量一次，你认为测量哪里即可算出剩下铁皮的面积。（尽量想出不同的方法）
四、总结
这节课我们学习了什么？你有哪些收获？你还想到什么问题？
（教师指出：一是在不知道圆的半径时，如何求圆的面积？二是如何计算环形的面积？）
板书设计
圆的面积（二）
例4例5
18.84÷3.14÷23.14×152-3.14×102
=6÷2=3.14×（152-102）
=3（米）=3.14×（225-100）
πr2=3.14×32=3.14×125
=3.14×9=392.5（平方米）
=28.26（平方米）
1.使学生理解圆面积公式的推导过程，掌握求圆面积的方法并能正确计算;
2.培养学生动手操作的能力，启发思维，开阔思路;
3.渗透初步的辩证唯物主义思想。
教学重点和难点
圆面积公式的推导方法。
教学过程设计
(一)复习准备
我们已经学习了圆的认识和圆的周长，谁能说说圆周长、直径和半径三者之间的关系?
已知半径，圆周长的一半怎么求?
(出示一个整圆)哪部分是圆的面积?(指名用手指一指。)
这节课我们一起来学习圆的面积怎么计算。
(板书课题：圆的面积)
(二)学习新课
1.我们以前学过的三角形、平行四边形和梯形的面积公式，都是转化成已知学过的图形推导出来的，怎样计算圆的面积呢?我们也要把圆转化成已学过的图形，然后推导出圆面积的计算公式。
决定圆的大小的是什么?(半径)所以，分割圆时要保留这个数据，沿半径把圆分成若干等份。
展示“曲”变“直”的变化图。
2.动手操作学具，推导圆面积公式。
为了研究方便，我们把圆等分成16份。圆周部分近似看作线段，其
用自己的学具(等分成16份的圆)拼摆成一个你熟悉的、学过的平面图形。
思考：
(1)你摆的是什么图形?
(2)所摆的图形面积与圆面积有什么关系?
(3)图形的各部分相当于圆的什么?
(4)你如何推导出圆的面积?
(学生开始动手摆，小组讨论。)
指名发言。(在幻灯前边说边摆。)
①拼出长方形，学生叙述，老师板书：
②还能不能拼出其它图形?
学生可以拼出：
等等……
刚才，我们用不同思路都能推导出圆面积的公式是：S=πr2。这几种思路的共同特点都是将圆转化成已学过的图形，并根据转化后的图形与圆面积的关系推导出面积公式。
例1一个圆的半径是4厘米，它的面积是多少平方厘米?
S=πr2=3.14×42=3.14×16=50.24(平方厘米)
答：它的面积是50.24平方厘米。
想一想;求圆面积S应知道什么?如果给d和C，又怎样求圆面积?
(三)巩固反馈
1.求下面各圆的面积。
r=2(单位：分米)d=6(单位：分米)
2.选择题。
用2米长的绳子把小羊拴在草地上的木框上，羊吃到地上的草的最大面积是多少?
(1)3.14×22=12.56(米)
(2)3.14×22=12.56(平方米)
(3)3.14×32=28.26(平方米)
3.思考题：
已知正方形的面积是18平方米，求圆的面积。(如图)
课堂教学设计说明
1.使学生运用迁移的方法，把新知识转化为旧知识，把圆转化成已经学过的图形。
2.在面积公式推导过程中，老师介绍分割圆的方法，展示由“曲”变“直”的过程，然后引导学生动手操作，小组讨论，从各个角度推导出圆面积公式。培养学生动手操作，口头表达和逻辑思维的能力，渗透了极限和转化思想。
教学内容
教科书第89～90页，第91页的例1及例1下面的“做一做”，练十三的第1～6题．
教学目的
使学生知道圆的周长和圆周率的含义，掌握圆的周长的计算公式，能够正确地计算圆的周长．介绍祖冲之在圆周率研究上的成就，渗透爱国主义教育．
教具准备
一根40厘米长的线，直径是10厘米的圆形硬纸板，一把40厘米长的直尺，铁圈，圆形铁桶，杯子，投影片．
教学过程
一、复习
1．教师用投影片出示下面两个图形，让学生找出直径和半径．
教师：什么是直径？什么是半径？直径和半径的长度有什么关系？”
2．教师用投影片出示下面的图形．
教师：什么是长方形的周长？什么是正方形的周长？它们的计算结果用的是什么计量单位？然后让学生指出这两个图形的周长，并进行计算．然后引出新课．
二、新课
1．圆的周长和圆周率的含义．
教师拿出直径是10厘米的圆纸片，边演示边说明圆的周长的含义．指出：围成圆的曲线的长叫做圆的周长．然后让学生也拿出直径是10厘米的圆纸板，用手指出它的周长．
教师：我们知道了什么是圆的周长，那么怎样测量圆的周长呢？教师拿出一根线，用线绕圆纸板一周，剪去多余的部分，再量一量它的长度，量得的结果就是圆的周长．然后在圆纸板的直径的一端画上箭头，使箭头指着刻度尺的零刻度，把圆在直尺上滚动一周，这时箭头指着的刻度就是圆的周长．
教师：我刚才用两种方法分别量了直径是10厘米的圆的周长，量得的长度都是30厘米多一点，也就是说圆的周长是直径的3倍多一点．那么圆的周长和直径有什么关系呢？我们来做实验．
教师让学生拿出圆纸板、铁圈、圆形铁桶、杯子，并让学生用上面两种方法分别量出圆纸板和铁圈的周长、直径，圆形铁桶和杯子底面的周长、直径，并把量得的数据填在书上的表格里，观察、比较量得的结果．教师可以行间巡视，稍作指导．
教师：通过这些实验和统计的结果，你发现圆的周长和直径有什么关系？
指名说一说自己算出的的值是多少，教师把这些数据写在黑板上．引导学生进行讨论．使学生看到：圆的周长总是直径的3倍多一点．教师接着指出：任何圆的周长和直径的比值都是3.14多一点，它们的比值是一个固定不变的数．我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，圆周率用字母π（读pài）表示．
教师还要告诉学生：数学家们逐渐发现圆周率是一个无限不循环小数，人们在计算时，一般只取它的近似值如“3.14”．
教师让学生看教科书第6页下面方框内的话，渗透爱国主义教育．
2．理解并掌握圆的周长的计算公式．
教师：我们刚才学习了圆周率，谁能说一说圆的周长、直径和圆周率是什么关系？
指名说，教师板书：圆的周长÷直径＝圆周率
教师：如果用直径和圆周率来表示周长，怎样表示呢？
得出：圆的周长＝圆周率×直径．
教师：如果用C表示周长，π表示圆周率，d表示直径，那么圆的周长的字母公式怎样表示？
学生说，教师板书：C＝πd
教师：因为圆周率π的值是固定的，只要知道了圆的直径就可以求出圆的周长；如果知道了圆的半径，能不能求出圆的周长？用r表示圆的半径，圆的周长的字母公式怎样表示？
引导学生说出：因为直径是半径的2倍，所以用2r代替公式中的d就可以求出圆的周长；因为数目一般要写在字母的前面，所以用圆周率和半径来表示圆的周长的公式是：C＝2πr．
教师：我们刚才提到的圆周率π是个无限不循环小数，谁能说一说小数可以分成哪几种？
引导学生归纳如下：
3．计算圆的周长．
教师出示例1，指名读题．教师可以向学生指出：
（1）不必写出公式，直接用公式计算就可以．
（2）π取两位小数为3.14；
（3）计算结果要求保留两位小数，因此最后一步要用约等号．
然后让学生在练习本上做题，指名学生板演，集体订正．
4．做例1下面“做一做”中的练习．
教师指名读题后，可以让学生说一说题中要求的问题实际上是求什么？然后让学生独立做题，订正时注意算式写得对不对，脱式的最后一步写没写约等号，答题是否正确．
三、巩固练习
做练十三的第1～6题．
1．第1题，指定4名学生在黑板上各做一道题，其余学生在练习本上做．订正时注意列式及单位名称是否正确．
2．第2、3题，让学生直接列式计算，不必写答．
3．第4题，让学生自己做，集体订正．
4．第5题，指名读题，然后让学生说一说这道题和前面做过的题有什么不同，使学生明确：题中要求把牛栏围上3圈，实际上就是求3个周长的和．学生做题时，教师巡视，发现问题进行辅导．
5．第6题，指名读题，说一说题意，然后让学生独立做，指名板演．订正时让做错的学生说一说自己错在什么地方，教师加以纠正，还要检查学生算出的得数有没有保留整米数．
课题二：圆的面积（一）
教学内容
教科书第94页圆面积公式的推导，第95页的例3，练十四的第1～5题．
教学目的
使学生知道圆的面积的含义，理解和掌握圆的面积的计算公式，能够正确地计算圆的面积．
教具、学具准备
教师仿照教科书第94页上的图用木板制作教具，准备长方形、平行四边形、梯形和圆形纸片各一个；学生把教科书第187页上面的图剪下来贴在纸板上，作为操作用的学具．
教学过程
一、复习
1．教师：什么叫做面积？长方形的面积计算公式是什么？
2．教师：请同学们回忆一下平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的推导过程．想一想这些推导过程有什么共同点？
二、新课
1．教学圆面积的含义及计算公式．
教师依次拿出长方形、平行四边形、三角形和梯形图，边演示（然后贴在黑板上）边说：“我们已经学过这些图形的面积，请同学们说一说这些图形的面积有什么共同的地方？”使学生明确：这些图形的面积都是由边所围成的平面的大小．
教师再出示圆，提问：这是一个圆，谁能联系前面这些图形的面积说一说圆的面积是什么？让大家讨论．最后教师归纳出：圆所围平面的大小叫做圆的面积．
教师：我们已经知道了什么是圆的面积，请同学们联系前面一些图形的面积公式的推导过程想一想，怎样能计算圆的面积呢？使学生初步领会到可以把圆转化成一个已学过的图形来推导圆面积的计算公式．
教师出示把圆平均分成16份的教具，让学生想一想，能不能把这个圆拼成一个近似什么形状的图形．如果学生回答有困难，可提示学生看教科书第10页上面的图，并让学生拿出学具，试着拼一拼，然后让拼得正确的同学到前面演示一下拼的过程，再让不会拼的同学拼一遍．
然后教师直接拿出把圆平均分成32份的教具拼成一个近似长方形，提问：“我们刚才把这个圆拼成了近似什么形状的图形？”（长方形．）请同学们观察一下，把这个圆平均分的份数越多，这个图形越怎么样？（引导学生看出平均分的份数越多，这个图形越近似于长方形．）拼成的近似长方形与原来的圆相比，什么变了？什么没变？（使学生看出形状变了，但面积没有变，圆的面积等于近似长方形的面积．）
教师在拼成的近似长方形的右边画一个长方形，指出：如果平均分的份数越多，拼成的近似长方形就越接近长方形．提问：“请同学们观察一下，这个长方形的长与宽和原来的圆的周长与半径之间有什么关系？”使学生在教师的引导下看出：这个近似长方形的长相当于圆的周长的一半，如果圆的半径是r，即＝＝πr；长方形的宽就是圆的半径．接着提问：这个长方形的面积是多少？这个圆的面积呢？
学生说，教师板书：圆的面积＝πr×r＝πr2
教师：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：S＝πr2．
教师：我们现在已经知道了圆面积的计算公式，我们现在只要知道圆的什么就可以求出圆的面积？然后再让学生说一说圆面积计算公式的推导过程．
2．教学例3．
教师出示例3，指名读题，让学生试着做，提醒学生不用写公式，直接列算式就可以．
然后让学生对照书上的解题过程，看自己做得对不对；如果错了，错在什么地方．教师要强调指出：列出算式后，要先算平方，再与π相乘．最后小结一下解题过程．
三、课堂练习
做练十四的第1～5题．
1．第1题，让学生直接列式计算，指名板演，教师巡视，检查学生有没有把圆的面积公式写成圆的周长公式来计算，书写格式对不对，写没写单位名称．订正时了解学生还存在什么问题，及时纠正．
2．第2题，让学生独立做，教师巡视，除了注意学生在做第1题时易犯的错误外，还要检查学生有没有把第（2）小题的直径当半径直接计算的，订正时提醒学生做题时要认真审题．
3．第3题，让学生自己做，集体订正．
4．第4题，指名读题，让学生说一说这道题与第3题有什么不同的地方，能不能直接计算．使学生明确要先算出半径，再计算．
5．第5题，让学生读题，看着右面的示意图说一说题意，再让学生做，集体订正．
课题三：圆的面积（二）
教学内容
教科书第95～96页的例4、例5及“做一做”中的题目，练十四的第6～11题．
教学目的
通过练习，使学生能够比较熟练地计算圆的面积．
教具准备
教学例5用的教具．
教学过程
一、复习
1．教师：什么是圆的面积？圆的面积计算公式是什么？
2．求下面各圆的面积．
二、新课
1．教学例4．
教师出示例4，指名读题，说题意，提问：“计算圆的面积时需要什么条件？题中给了什么条件？能直接计算圆的面积吗？那么怎样将题中的已知条件转化成计算圆面积所需的条件呢？”
使学生明确：要先通过给出的周长算出圆的半径，再计算圆的面积．
然后让学生分两步计算圆的面积，提醒学生注意每一步应该用什么单位名称．最后让学生把自己的解题过程和书上的对照一下，并把书上的解题过程填完整，教师再进行小结．
2．例4的巩固练习．
做例4下面“做一做”中的题目．第1题，让学生分别计算圆的面积和周长，订正时注意引导学生区别圆的面积和周长．使学生明确：（1）圆的面积是指圆所围成的平面部分的大小，而圆的周长是指圆一周的长度；（2）圆面积的计算公式是：S＝πr2，圆的周长的计算公式是C＝πd或C＝2πr；（3）计算圆面积用面积单位，计算圆周长用长度单位．
第2题，让学生读题，说题意，然后让学生独立做，集体订正．
3．教学例5．
教师出示例5及示意图．指名读题，说题意．提问：“题中的问题求的是什么的面积？”
教师拿出教具，提问：“外圆的半径是多少？能求出外圆的面积吗？内圆的半径是多少？能求出内圆的面积吗？”这时教师把内圆拿出来，提问：“请同学们观察，取出的是什么？剩下的是什么？”使学生明确从大圆的面积中减去小圆的面积就得到环形的面积．然后让学生说计算过程，教师板演．求出外圆的面积后，可以让学生在书上把后面的计算做完．订正时教师提问：“第（3）步求环形的面积是怎样算的？”让做错的学生再写一遍．
教师：这道题能不能列综合算式解答？让学生试做．教师巡视，了解学生列算式情况．可能大部分学生能够列出：3.14×152－3.14×102，这时教师可以提示学生联系以前学习四则混合运算时的简便算法想一想，能不能列出更简便的算式．使学生想出简便算法：3.14×（152－102），并算出得数，再看计算的结果与前面是否相同．
4．例5的巩固练习．
做例5下面“做一做”中的题目，让学生独立做，教师巡视，检查学生还存在什么问题．订正时了解学生用的是分步计算还是简便算法，只要列式和计算正确，两种方法都可以，但要表扬用简便算法的同学，还要检查学生算出的得数有没有保留两位小数．
三、课堂练习
做练十四的第6～11题．
1．第6题，让学生按顺序口答，注意检查有没有学生把一个数的平方算成这个数乘2的情况．
2．第7、8题，让学生独立做，集体订正．
3．第9题，教师可在课余时间带领学生到校园内进行实地测量．
4．第10题，让学生自己做，指名板演．检查学生在计算圆的面积时，有没有把直径当半径直接计算的，提醒学生在计算时要认真审题．
一、给学生以知情权
一篇好的教案，往往是教育者辛苦的见证，智慧的结晶，它的根本是教予学生知识，让学生更多、更好地掌握各种学习方法，达到完成基础教育的目的。给学生以知情权，让学生了解教案中的目标、重点、难点，预习时有所偏重，注重重点，突破难点，做好读书笔记，画出不理解之处，既可培养学生自主学习的能力，又能有效地达到目标。如，“圆的面积”教学：
师：如果我们把一个圆形平均分成16份，其中的每一份（课件闪烁其中1份）都是这个样子的。（教师配合课件演示作适当说明）同学们，你们觉得它像一个什么图形呢？
生：其中的每一份都是一个近似三角形。
师：如果我们用这些近似三角形重新拼组，怎样才能把圆形转化为我们已学过的其他图形呢？同学们，老师为你们每个小组都准备了一个已经等分好了的圆形，请你们动手拼一拼，把这个圆形“转化”成我们已学过的其他图形，开始吧！
分组逐个展示，并将其中“转化”成长方形的一组的作品贴在黑板上。
师：好，各个小组都不错。现在请同学们思考一个问题：你们把一个圆形“转化”成了现在的图形之后，它们的面积有没有改变？请小组内讨论。
生：没有改变，这个近似的长方形的面积=圆的面积。
师：虽然我们现在拼成的是一个近似的长方形，但是如果把圆等分成32份、64份、128份、256份……一直这样下去分成很多很多份，拼成的图形就变为真正的长方形。现在我们就来看这个长方形。同学们，如果圆的半径为r，你们知道这个长方形的长和宽分别是多少吗？现在请以小组为单位进行讨论。
老师根据学生的回答进行相关的板书。
师：你们真了不起，学会了“转化”的方法推导出圆的面积计算公式。现在请大家读一读，记一记，写一写圆的面积计算公式。
上课前，他们了解了我的教学目标，及时阅读课本，从网上和课外书中查找了大量资料，共同研读探讨。上课时，他们侃侃而谈，我只需稍作引导，学生对知识的理解就非常深刻，教学目标轻松完成。
二、给学生以编撰权
如今的备课，备的是方法，备的是学生，在备课过程中，给学生编撰权，让学生自主设计流程，以同龄人的观点、自我的方式去判断该组织怎样的活动，选择怎样的学习方式，这样才能使课堂成为有趣之水，源源不断地让学生学到更多的知识。
如，在“鸡兔同笼”的教学中：课前我了解到我班的一位孩子国庆节时去了农家乐游玩，他亲身经历了一件事，发现了好大的一个笼子里装着鸡和兔，可数来数去也没有数清楚。于是我就将他的经历作为新授导入新课，编了这样一道题：淘气在农家乐里发现了好大的一个笼子，里面装着鸡和兔，淘气数来数去也没有数清楚，只得去问老板，可老板却故意卖关子，只告诉淘气共有20个头和54条腿。同学们，你们想知道笼子里各有几只鸡几只兔吗？（停顿）这节课我们就一起来研究“鸡兔同笼”的问题。（这样的引入既新奇又贴近学生的实际，孩子们将会乐学，想学，要学。）
三、给学生以修改权
“金无足赤，人无完人”，同样，一篇教案也不可能十全十美，它必定存在着些许瑕疵，找出它们并加以修改，对教师教学能力的提高是很有利的。那么该如何去发现、改正呢？学生最有发言权。把备课比做商品，他们就是消费者，当然有权利，也最有资格发表意见。他们只要根据自己在上课时的投入状态、学习效果作为评判标准，教案中各个环节的优劣就显而易见了。我们再让他们说说改进之方法，撷取其精华，一篇优秀的教案就成了。
如，在“比的意义”的教学中，我不遗余力地讲解比的意义，让学生经历理解比的意义的过程，比的各部分名称，比与除法、分数的联系与区别，掌握求比值的方法。时间长达30分钟。课一上完，立马就有学生指出：“老师，您教学的概念和意义，我们在预习时多已掌握，不应该讲得如此细。”我听后，顿觉愧然，当天的教学反思中，我写下这么一番话：“宝贵的一节课竟让我在教学中硬生生地虚耗了20分钟，我的‘包办’，我的‘不放心’却使学生失去体验自主学习、合作探究问题的乐趣。”引以为戒，从此以后，我在教学中，不再面面俱到，而是挑其重点，选取难点，教学效果立刻上升了一个台阶。■
在实施教学的过程中，我们要尊重学生的学习权和创造性,要正确面对学生的错误，因为错误也是一种学习资源。教师要成为学生学习活动的组织者以及课堂信息的重组者，不断地捕捉、判断、重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种各类信息，把有价值的新信息和新问题纳入教学过程，使之成为教学的亮点，成为学生智慧的火种；对价值不大的信息和问题，要及时地排除和处理，使课堂教学回到预设和有效的轨道上来，以保证教学的正确方向预设表现在课前，指的是教师对课堂教学的规划、设计、假设、安排，从这个角度说，它是备课的重要组成部分，预设可以体现在教案中，也可以不体现在教案中；预设表现在课堂上，指的是师生教学活动按照教师课前的设计和安排展开，课堂教学活动按计划有序地进行；预设表现在结果上，指的是学生获得了预设性的发展，或者说教师完成了预先设计的教学方案。
案例：梯形面积的计算
(我们已经学习了平行四边形、三角形面积计算公式的推导方法)
师：梯形面积应该怎样计算呢？今天我们就一起来研究研究。
生：老师，我知道梯形面积用（上底+下底）×高÷2计算。
师：（愣了一下）你已经知道了，很好，请坐下。
师：（继续着下面的教学程序）
从案例中，我们发现这位学生成了“半路上杀出来的程咬金”，给了老师一个“意外”。这位老师一带而过，继续按原来的教学预案组织教学，按部就班地完成了教学任务。这位学生的发言确实难为了老师：已经知道梯形面积的计算公式了，还学什么呢？原先精心设计的各个精妙的教学环节与预先精心设计好了的提问，不是一下子全泡了汤？像这样的例子还很多。
传统教学把每节课的内容任务和进程都具体地甚至按时间顺序分解在教案里，就连课堂上要说些什么话，先说什么，后说什么，有几个环节，每个环节多少时间，每个问题抽多少学生起来回答等，都要精细地安排。课堂教学就像计算机输出规定程序一样，是教案的展开过程。从教师的角度说，按照教案里设定的教学目标，在课堂上“培养”、“引导”、“发展”了学生，教学任务就算完成了，教学目的就算达到了，至于学生是否改变了、进步了、提高了，则不重要。所以，以教案为本位实际上也就是以教师为本位，教案反映的是教师的教学过程（设计），而不是学生的学习过程（创造）。显然，这种教学不是以人为本，而是以本为本，它反映的是僵化封闭的课程观和教学观。这种教学使学生及其发展受到诸多的限制、支配、束缚、控制、压抑、规定，因而变得唯唯诺诺，亦步亦趋，俯首贴耳，盲从依附。从实践来看，过分强调预设和教案，必然使课堂教学变得机械、沉闷和程式化，缺乏生气和乐趣，缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，使师生的生命力在课堂中得不到充分发挥。
这么说来，是否意味着否定预设，非也。没有预设就没有教学，我们反对的是以教师教为本位的过度的预设，我们需要的是以学生学为重心的精心的预设，这种预设要遵循学生的认识规律，体现学生的学习特点，反映学生从旧知到新知、从已知到未知、从生活到科学、从经验到理论的有意义学习过程。为此，教师在预设时要认真考虑以下这些问题：①学生是否已经具备了学习新知识所必需的知识和技能；②通过预习，学生是否已经了解了课文中的有关内容，有多少人了解？了解了多少？达到什么程度？③哪些知识是重点、难点，需要教师在课堂上点拨和引导？④哪些内容会引发学生的兴趣和思维，成为课堂的兴奋点？唯其如此，才能使预设具有针对性、开放性，从而使教师的教有效地促进学生的学！
案例：《圆的周长》
公开课上，学生讨论了测量圆周长的方法后，教师给学生提供了直径不同的圆硬纸片。“我们知道正方形的周长是边长的4倍，那么圆的周长与直径是否也存在一定的倍数关系呢?请分组测量圆片，填好实验报告单。”这时，居然有很多学生小声说：“我知道，圆的周长是直径的3倍多一点。” “我知道圆的周长是直径的3.14倍。”……
学生的小声议论，使教师精心预设的各个精妙的教学环节落空了。上课的这位教师有些不自然了：是吗，有些同学真聪明!现在请同学们小组合作，测量圆的周长与直径，看看圆的周长与直径到底有怎样的关系，填好实验报告单，然后汇报交流。
而一位教师则是这样处理的，“请知道周长与直径关系的同学举一下手。”全班竟有半数学生举起了手。
“你们是怎么知道的呢?”
“从书上看来的。”
“那么大家知道书上的这个结论是怎么得出的吗?”
“不知道”。
这时教师及时肯定：“大家说的结论是正确的，你们能提前预习，非常好!可是却不知道这个规律是如何得出的，想不想自己动手设计几个方案，来验证结论?”“想!”同学们异口同声地大声回答。“接下来，可以几个人组成学习小组合作验证，看哪个小组能最先证明圆的周长是直径的3倍多一点。”教师适时地参与学生的讨论、交流、验证，在此基础上，组织学生逐步概括出圆周长的计算公式。
显然，前一教师的预设是缺乏针对性的封闭性预设，后一教师的预设则具有针对性、开放性。
案例：一次我在给学生教学 “鸡兔同笼”问题时，当讲到“鸡兔共有16个头，44只脚，问鸡兔各有多少只？”时，我就按照教材上的方法进行讲解，正当学生听得认真时，忽然听到一个“调皮鬼”在小声嘀咕着：“这样想太繁了，把每只兔子都砍掉两只脚，每只鸡都斩掉一只脚不就得了。”我听了开始一楞，马上心一动，立即让他走上讲台进行讲解：“鸡和兔共有44只脚，每只兔子砍去两只脚，每只鸡砍去一只脚，44只脚就少了一半即22只脚。这22由两部分组成，一部分是16，另一部分是兔子的只数：22—16=6（只）。”“多么有创意的见解呀！”我情不自禁地为他鼓掌，这样一来，其他学生也兴趣盎然。我顺水推舟，干脆来个小组讨论。随着讨论的进行，不时有同学举手，不时有新的想法产生。直至下课，共有三种方法在大家的赞叹声中被公认为“奇思妙想” ……
上述案例中，学生情绪高涨，思维活跃。“这样做太复杂了……？”这个教学片段虽然不是课前的预设，但庆幸的是，老师没有让精彩悄悄溜走，而是及时捕捉到了这一生成的细节，让它们成为课堂教学中的闪光点。对于学生的质疑，采取了“热处理”，而是将问题再度抛给学生，让学生去思考、去感悟，为学生思维的飞跃提供了一个广阔的空间。“一石激起千层浪”，学生在轻松和谐的氛围中互相探讨，不断闪现出思维的火花，发言一个比一个精彩，最终问题便在师生的共同互动中迎刃而解了。
集体备课的初衷是集教师智慧，备最精彩的课程。许多学校也曾尝试过集体备课，但由于思想认识不足和传统教学模式的影响等方面的原因，出现了许多盲点和误区。教师们将教案变成了“拿来教案”，为了追求所谓统一，直接从网络上下载名师教案，不深思，不修改，不研究，不探讨，不切合本班学生实际，不反思。集体备课的教案俨然成了一种摆设，甚而教师们宁愿回到过去，自己“抄”教案，至少在“抄”的过程中还会思考一下这节课怎么上，哪些地方更适合自己班级的学生，比拿来主义有点实效。
从本学期开始，为了减轻教师“抄”教案的负担，更是为了提高课堂实效和教育教学质量，我们六年级组率先开始实验实行集体备课活动。鉴于以往集体备课的不了了之，学校应对集体备课的弊端严格制定了相关制度，从方案制定、过程实施到评价检查，力求扬长避短，发挥集体备课的优势。虽然只实验了短短的两个月，但优势显而易见。
优势1：个人自备强教师自身备课功底
提倡集体备课并不是摈弃传统的个人自备，相反，精彩的集体教案必须以个人自备为前提。因此，学校要求在集体备课时，严格执行个人自备，集体研讨，修正教案，重点跟踪，课后交流，反思复备的基本程序。个人自备还是要备大纲、备教材、备学生、备教法、备学法。达到“五有”要求：脑中有“纲”，胸中有“本”，目中有“人”，心中有“数”，手中有“法”。通过深刻的自备，教师心中有底，才会在下一步的集体研讨中有目标、有说头、有学头。
优势2：集体研讨、修正教案利教师优势互补
为了减轻教师负担，每一单元、每一节课我们都设有主备人。集体备课前首先由主备人说出自己对新课的看法、教法、重点难点，其他教师各抒己见，讨论补充。同事们进行教研交流，了解他人的教学思路和方法，相互取长补短，推陈出新，有些重点知识的处理，有些难题的讲解通过组内同仁的讨论会让人醍醐灌顶、茅塞顿开，收到意想不到的效果。我就有切身体验：在教学圆的面积时，我让学生多次快速计算3.14×1、4、9、16…等的结果，以期达到熟能生巧的地步。在集体备课中，另一位教师提出，这些数值确实有用，但是在解决有关题目时计算量还是过大，不够方便，她根据多年经验尝试让学生熟算∏值，如：6.28=2∏， 28.26=9∏等，碰到求大圆周长（面积）是小圆的几倍等填空、选择题时学生不必代入3.14，直接约分，而且对将要学习的比的知识、六年级第二学期的圆柱、圆锥的知识都减轻了计算量。简单的转化了一下思维，可以解决这么多问题，正是一举多得。
优势3：跟踪听试讲课实现课堂教学高效化
通过集体研究、讨论形成的教案是集体智慧的结晶，它与个人备课相比，对教材把握更加透彻，对学情的分析更加细致，对重点难点的处理更合理，对练习题目的设计更精妙，学生更易接受、易掌握。为了验证这样的教案是否真的可以提高课堂实效，学校组织开展了“青蓝工程”，配合集体备课，让骨干教师听，青年教师讲，课堂效率明显提高。
优势4：课后交流促教师教的风格百花齐放
集体备课时形成的案，并不是完美的终极教案，在跟踪听课之后，授课教师就本课说课，其他参与教师评课，讨论成功与失误，寻找哪些方法、思路、练习题目、活动形式更适合自己的班级，进而在自己的班级实践，教师们结合自身风格和班级学生的独特之处，创造性地加以设计、补充、改造，在案的基础上，形成生动活泼的个案。案并不代表整齐划一，上课上的一模一样，紧抓重点，各有特色，百花齐放才是集体备课需要的结果。
优势5：反思复备助青年教师快速成长
课后反思是教师对自身教学活动的回顾和梳理，是教师对教学价值进行沉淀、过滤、剔除、保留的过程，是对自己的教学行为和教学态度不断修正和完善的过程，是从感性认识上升到理性认识，从经验上升到理论的过程。集体备课已经帮助我们完成了一节相对完整的课，但这不代表这节课很完美，因此，在集体备课的过程中，必须对前面教学过程中的问题进行反思复备，在反思中改进，在改进中成长。
一、有效预设,激发生成
前苏联教育家苏霍姆林斯基曾说过:“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节,在于根据当时的具体情况在学生不知不觉中做出相应的变动。”
新课程理念提倡创造性地使用教材。也就是要求教师在进行教学设计时,根据学情和教材安排特点来灵活地使用教材,对教材的内容及安排顺序可做一定的取舍和调整,不能把教学内容定得太窄、太死,不可用老师的思维代替学生的思维,包办学生的学习内容。在教学过程中教师要做到心中有案,行中无案,寓有形的预设于无形的、动态的教学中,不断判断。重组课堂教学中从学生那里涌现出来的各种信息,随时把握课堂教学中闪动的亮点,捕捉促使课堂教学动态生成的契机,例如我在教学“认识人民币”时,当按照课前精心设计的教学环节进行教学时,发现学生已经积累了相当丰富的有关人民币的知识。于是,我就及时调整预案,将原先设计的小步子的提问调整为开放性的问题:“关于人民币,你们知道些什么?说给大家听听。”学生你一言我一语,不仅大致覆盖了教科书中的知识点,而且还生成了许多新的课程内容。有的学生说:我知道10元人民币上画的是;有的说:人民币上还画有桂林山水、三峡风光等很美的风景;有的说:5角、1元人民币上画有少数民族人物像;有的说:拿一张人民币对着光可看到藏在里面的图案,那是防止坯人造假A。民币用的,等等。教学这样一调整,不仅学生的直接经验在教师的引导下得到了系统化。而且还通过课堂的小舞台,展示了学生在社会的大课堂里获得的其它知识,他们学得既轻轻松松,又丰富多彩。动态生成的课堂需要多维的、灵活的、开放的、动态的教学设计。只有有效的预设,才会为动态生成的多样化、深层次提供广阔的舞台。
二、设计不同层次性练习,多角度、多方面发挥学生学习主动性
为满足学生的不同学习要求,使全体学生都能得到相应的发展,教学中强调生成的动态性。意味着上课不是执行教案,而是教案的再创造过程;不是把心思放在教材、教参和教案上。而是放在观察学生、倾听学生、发现学生并与学生积极互动上。因此,这就要求教师要根据实际情况,随时对设计作业有把握地调整和变更,充分运用学生感兴趣的实例,设计每个同学都有参与机会的开放性练习题,来激发学生的求知欲。例如,教学“圆的面积公式”时,教师发现有的学生已经知道了圆的面积公式,怎么办?如果按照原来的教案进行教学,这部分学生势必不感兴趣,思维得不到发展,因此,教师略改了原有的预设思路。引导这部分学生怎样验证出圆的面积公式。又如,教学“统计初步知识”时,教师根据不同层次学生的需求,设计这样的开放式练习题:“请同学们根据自己所熟悉的情况,设计一张统计表。”这样,从预设教案到动态生成,学生在“猜想感知一练习验证”的学习过程中,就能充分发挥学习的积极性和主动性,多角度、多方面地探索新知。并在思维能力、情感态度与价值观等方面得到相应的发展。
三、应用发展。开放延伸
不论课堂如何展开,如何推进。它总要有结束。这一环节。重要的是让学生敢于和善于去思考、去联想、去猜测。至于结论如何,是否正确已然不是那么重要。让学生带着问题走出课堂至少可以把学生的学习延伸到课后的思考和探索。而且可以延伸到下节课或以后的学习中,其目的是形成学生主动学习的能力和科学的思维方式。如在学习了《立体图形的认识》后,我布置学生回去观察自己身边哪些物体的形状是长方体、正方体、圆柱体和球状的,并想想这些物体可不可以做成其它形状。为什么?学生完成这个作业的热情很高,并且得到了多种不同的答案。有的学生说:硬币是矮圆柱容易存放,如果做成长方体或正方体会损坏衣服的口袋;有的学生说:汽车的轮胎是圆的。如果做成方的,汽车不但开不快,还有翻转的可能;还有的学生说:我想设计一个球形的电视。使坐在任何一个方向的人都能清楚地看到。这个作业不但使学生了解数学在现实生活中的作用,更体会到了学习数学的重要性。制定“圆柱的体积”一课教学计划时,教师应考虑到学生可能已经知道圆柱体的体积计算公式,起码要预设两种教学方案:对计算公式未知的学生,该如何引导自主探索;对计算公式已知的学生,又将如何引导进一步确认并追溯公式的来源。同样,当学生把圆柱转化为近似的长方体后,由于各人的视角不同,推导公式的过程也会有所不同。学生可能将其视作底为3.14r・、高为r的长方体;也可能视作底为3.14rh(侧面积的一半)、高为r的长方体;还可能视作底为hr(纵截面的一半)、高为3.14r(圆周长的一半)的长方体。教师只有尽可能地预设各种可能,才能做到心中有数,临阵不乱。
笔者结合教学经验和理论探索，从“备课”入手，总结出一些行之有效的应对途径，与大家分享。
一、“改进备课”的当前共识
数学课堂不应是由教师自编自导自演的独幕剧，而应当是由师生交往互动、携手共创的多幕剧。
随着“学生是课堂主人”“课堂应从执行教案走向互动生成”观念深入人心，教案在课堂教学中的“模板地位”确已动摇。但并不代表“写教案”没有必要。“动摇”的现状传递给我们新的理念：只有改进备课方式，让备课服务于生成性的课堂教学，才是对新课标指导下教学工作发展路径的正确阐释。
二、“改进备课”的实施策略
1.过程单线型变成过程多线型
学习个体由于家庭背景、知识经验、思维方式的不同呈现出多样性的差异。面对同一个问题，他们会进行个性思维和个性解答。若是把具有个体多样性的学生看成设想中的理想个体，希望化整为一，课堂上就会把多数孩子的思路框住了，让大多数学生来适应少数学生的方法。这种被“求同”的潜意识所支配的教学行为相信很多老师都采用过。
课程生成的主体是学生。不同的学生只有通过各自主体的活动、对已有经验的筛选、对新体验的理解，才能使自己的经验不断更新，使新经验生成。因而备课时要考虑不同的学生会有哪些不同的思考，可能会出现哪些解决方法，各种方法展现后怎样促进学生与课程各种因素（不同学生、教师）的交互作用，帮助学生生成新经验，即我们要把单线型备课变成多线型备课。
2.目标速成型变成目标递进生成型
教师预设时要考虑怎样让学生走在过程中，学生够不着目标时要考虑过程的再展开，设定过程性目标，当然这种过程性目标是暂时的、变化的，在教师和学生的相互作用、经验交流中随时变化和修正，过程性目标的设定、调整、删除、增加都是为了课程的进行。
鉴于本观点理论比较抽象，下面结合具体教学案例阐释。
[案例] 《圆的面积》
为有效促进学生“用S=πr2计算圆面积方法的生成，将例题“把一个圆平均分成若干份，剪拼成一个近似长方形……”改为“平行四边形面积推导过程”的动态情景，以此启发学生想到用“转化”的思想来解决新出现的“圆的面积计算问题”。
探索圆面积的计算方法。
师：出示一个圆，设问这个圆的面积怎么求呢？
（1）产生“有没有其它计算方法”的需要（目标之一）
让学生独立思考一段时间，然后说说这个圆的面积怎样计算。
估计学生会受到前面情景和书本插图的牵引，转化成长方形来计算。
师：就这样一种算法够准确吗？
让学生发表各自的观点。
（2）用各自的方法计算（目标之二）
学生谈了自己的想法后，部分后进生也会有一定的感悟，进而会凭借自身的生活经验和知识背景展开探索。
（3）更新、完善计算方法（目标之三）
在学生凭借自己的生活经验和知识能力探索后，组织学生展示、交流（尤其关注后进生的一些做法和想法），让学生认识到计算圆的面积方法很多，但大都太繁琐。经过每个方法的演示比较，师生就可以共同归纳出圆面积计算的统一方法：S=πr2。这样不但理解了那些平面图形与圆的各部分关系，还从深层次上体验了这个计算公式的优越性。
以上过程性目标的设定，并不是固定不变、非去实施的，而要根据学生的进程状态，作删除、调整与修改，也可增加过程性目标。关键要把“学生自己生成S=πr2圆面积计算方法”这一目标放在心里，并为这一目标的实现提供必要的过程性目标及相应的情境。
从其它平面图形的面积公式圆面积计算公式，对于缺乏相关经验的学生们来说，这中间有一个跃进的过程。课程作为过程，需要进程、运动和变化，而不是作为客观的目标或学习内容摆在学习者的面前，由学生自己去“内化”；课程需要已有经验与新信息的不断作用才可能逐渐生成，而不是速成的。
3.知识浓缩型变成知识展开型
学生面对的知识大部分是“浓缩型”的，展现在眼前的只有结果，理论和公式的推导过程被压缩了。经验是感受的结果，感受越深经验生成越好。浓缩的知识对学生来说，感受少而浅，他们只能在知识的表面上感觉一下，只能识记知识，留下的是浅印迹。而展开的知识对学生来说，是深入到知识的里面，亲身感受知识的来龙去脉，经历知识演进的变化过程，并用自身的经验、智慧来思索变化、创造变化，也才能收获深刻的认识。
小结：
一、运用教学机智灵活利用“意外”，打造精彩课堂
课堂教学是一个动态生成的过程，就算是预设得再充分也不可能把课堂的每个“意外”都预设到位，如何处理这些非预设中出现的“意外”呢？对这些“意外”处理的好坏可能会直接影响整堂课的教学效果，本人结合课堂案例谈谈自己的几点策略。
1.顺水推舟，生成课堂亮点
在平时的课堂教学中，学生带着已有的知识、经验、情感等参与了课堂活动，因此有时会根据自己的想法提出一些教师预料之外的问题，而有些“意外”是非常有价值的，教师在课堂中要抓住这些有价值的“意外”资源，顺水推舟引领学生去探索，去研究，让它成为课堂的亮点。
[案例1]“图形的周长与面积“教学片段
在教学时，教师设计了以下三个问题让学生讨论：
（1）计算周长是31.4厘米的正方形和圆的面积并比较面积大小；
（2）猜想周长相等的正方形和圆，谁的面积大？
（3）能否用数学方法验证上述猜想？
（大约5分钟后，教师按照设计好的几个环节，由易到难的顺序逐个让学生反馈）
生1：周长是31.4厘米的正方形边长是31.4÷4=7.85厘米，面积是7.85×7.85=61.6225平方厘米；周长是31.4厘米的圆半径是31.4÷3.14÷2=5厘米，面积是3.14×5×5=78.5平方厘米。所以圆面积大。
生2：从第（1）题的比较结果看，我猜想周长相等的正方形和圆，圆的面积大。
师：其他同学的猜想呢？
生（齐答）：和生2一样。
师：能用什么方法来验证这个猜想呢？
生2：假设周长为C，正方形的边长是C / 4，面积就是C的平方 除以 16；圆的半径为C / 2π，圆的面积是C的平方除以 4π，很明显圆面积大，所以周长相等的正方形和圆，圆的面积大。
（正当学生对揭开这数学奥秘而高兴，教师也打算继续往下讲授的时候，突然有一学生高高举起手，满脸疑惑地看着教师）
生3：我想，如果用同样长的铁丝围成正五边形、正六边形……它们的面积会比正方形大吗？
（教室一下安静下来）
师（顺势推波助澜）：多有价值的问题啊u谁有办法帮他弄清楚？
生4（激动）：可用同样的图来证明。正五边形由5个这样的三角形组成，三角形的底是C / 5，设它的高为h，那么面积就是Ch / 2，由此类推，正多边形的面积都是Ch / 2。可以想象，当多边形的边数无限多时，此时正多边形的周长近似于圆的周长，正多边形的高越来越接近于圆的半径，所以正多边形的面积起来越接近于圆的面积。因此，我们可以知道，周长相等的正多边形的面积，边数多的面积比边数少的面积要大。
（这个想法很多在座听课的教师都始料未及，更重要的是大家被该生精彩、严密的回答惊呆了，不由自主地鼓起掌来）
当学生通过推算得出“周长相等的正方形和圆，圆的面积比正方形的面积大”这个结论时，教师已经完成了教学目标，而当一位学生想出“用同样长的铁丝围正五边形、正六边形……它们的面积会比正方形大吗？”这个“意外”的问题是教师预设外的，如果这位教师为了下面的内容而把这个资源放过就不会有后面精彩的课堂。所以对于这些意料外的有研究价值的问题教师要做到善于捕捉，让它成为这节课的亮点。
2.化误为悟，成为新知起点
学生出现错误是成长过程中必然的经历，在数学课堂中学生会常常出现意料之外的错误。而这些意外的错误大都是极有价值的教学资源。如何让这些“意外”成为学生学习新知的起点呢？教师要善于捕捉课堂中这些有价值的资源，巧妙地修正、辨析错误，引发学生参与的热情，让学生的真知灼见在“纠错”的过程中绽放，更好地促进学生的认知发展。
【案例2】“化简比”教学片断
师：这道题你们是怎么想的？
生1：我发现前项和后项的分子都是3，所以比就是前项和后项的分母比了。
（听到学生这样的回答，我愣了一下，备课时根本没考虑到会有这样的错误，但这样的题目有没有什么规律呢？在经过短暂的考虑后我决定改变自己的教学设计，给出时间让学生去验证）
师：通过观察我们发现这位同学的结果是不正确的，但前、后项分子相同时，这两个分数的最简整数比有没有规律呢？大家自己去试一试、找一找。
当学生出现错误时，我很庆幸自己没有只是判断对错就进入下一步骤了，而是抓住这个“意外”所带来的契机，给时间让学生自己去尝试、归纳、总结，才会有后来那么精彩的生成，而这一切都是由一例错误引起的。因此在课堂中教师要抓住这些“意外”资源，使其形成课堂上新的精彩。
3.以变制变，突破知识疑点
在平时的课堂中，在实施教学预案的过程中，常常会出现学生的活动偏离我们的“预设”，出现意外的学习通道。这时教师应以变制变，灵活展开教学，不能拘泥于预设的教案不放，应及时抓住这个意外的通道，根据需要调整预设目标，重新设置适应学生需要的教学流程，从而创造出更加精彩而互动的课堂。
【案例3】“一个数除以分数”教学片断
最后，教师和学生又对所有的计算方法进行了比较，发现当被除数的分子、分母能被除数的分子、分母分别整除时，用分子除以分子的商作分子，分母除以分母的商作分母这种计算方法比较简单；而一般的分数除法计算题，还是把除法变成乘法计算比较简便。这样就让学生进一步体会到更具有一般性的算法。
在课堂中学生提出自己的疑问时，教师并没有按照自己预设的教案进行下去，而是放弃原来的预设教案，重新调整预设目标，为学生搭建个体经验交流的平台，并在学生学习活动中加以指导和培养，收到了较好的课堂效果。
4.以幽代批，创造课堂乐点
课堂教学中并不是所有的“意外”都是有价值的，有时出现的“意外”不但和教学无关的，还会干扰正常的教学过程。例如某个学生的文具盒掉了，某个学生凳子没坐好摔到了，等等，这些“意外”会打断正常的教学秩序。但是如果教师能善待这种“意外”，利用幽默的语言把“意外”转化成课堂的“调节器”，让学生在连续的学习中得到放松，有时也是一次教育良机。
有一次，上课已经十几分钟了，正当学生聚精会神地听课时，有一个迟到的学生在门外喊“报告”。打开门的一刹那，我看到那个学生低着头，显出一副很窘迫的样子。为了打破僵局，我笑容可掬地对她说：“你来迟了，这是不对的。但有一点我们应该感谢你，因为你的到来，给我们带来了新鲜的空气，也让我们看到了门外的阳光！”她笑了，所有的学生也都笑了。
这样既避免了迟到学生的尴尬，又活跃了课堂气氛，而且下课后再对迟到的学生进行一些思想教育，既不会打乱原来的课堂秩序，又保护了迟到学生的尊严，达到教学与教育两不误的效果。
二、提高课堂“意外”的处理能力，保证精彩课堂
苏霍姆林斯基说：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而在于根据当时的具体情况，巧妙地在学生不知不觉中做出相应的变动。”数学课堂是千变万化的，面对课堂上的意外，我们要处乱不惊，善于运用自己的智慧，调动平时所积累的知识，灵活机智地处理偶发事件，幽默含蓄地扭转尴尬局面。而这种课堂的调控能力不是教师一下子就能学会、掌握的，不是一朝一夕就能培养的，需要在平时教学中不断地积累。我认为可以从以下几点加强自身对课堂“意外”的处理能力。
1.对课堂“意外”教师要有正确的态度
在当前的教学中，教师对课堂教学追求的效果跟课前预设一致，也要学生的回答要一样，稍有闪失，便自责不已，甚至对学生有所抱怨。还有很多教师对课堂“意外”唯恐避之不及，特别是一些新教师最怕课堂出现“意外”，一旦出现偏离教学预设的“意外”就手忙脚乱，不知所措。面对“意外”我们是在举措茫然中维护自身权威，错失一个个教学良机，还是捕捉住学生的“灵光一现”，拥有一份意外的惊喜？那将取决于如何看待这些“意外”。显然，面对课堂意外，寻找意外之处的惊喜，是我们应该追求的。
2.教师不断地实践、反思、总结，积累经验
如何让一次次的“意外”生成一次次的“精彩”呢？有人说这需要教师具备较强的课堂控制能力和教学应变能力。而这些能力不是一朝一夕就能培养的，都需要在平时的课堂中一点一滴累积起来。因此，在平时的教学中教师要时时关注课堂中的“意外”，在每次处理过程中做好反思，总结经验。只有不断地反思、总结，才能应付下一次的“意外”，让“意外”成为“精彩”。
3.教师要不断学习，加强自身水平
只有“肚”里有“货”，才能应对瞬息万变的课堂教学，才能把“意外”变成“精彩”。一方面教师要博闻强识，加强文化底蕴，苦练基本功，全方位提高自身的修养，提升自身的综合能力。一方面要不断探索教育理念和教学方式，不断加强自身的学习，提升知识和人文的素养，做一个学习型、研究型的教师。
我们的教学应该是真实自然的，不必刻意去求顺、求纯、求完美。在新课程理念下“意外”出现是必然的，一旦出现意外，我们应该以坦然的心态去对待，积极思考对策，合理解决和利用，而不应该想着如何去逃避、去责怪。课堂中的信息千变万化，稍纵即逝，如何抓住学生思维创新的火花，如何灵活把握、掌控课堂便是新时代教师必须掌握的本领，因为“自然”才是课堂的真正美。