三角函数范文

三角函数范文第1篇

三角函数与函数交汇的试题是近两年常考题型，主要以选择题形式呈现，用来考查转化能力、运算求解能力、推理论证能力，难度较大.

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解答三角函数与函数交汇的试题时，需要充分运用三角函数的奇偶性、周期性和对称性，并结合函数性质的定义进行讨论；要尽量作出所要求函数的示意图，从数形结合的角度考虑问题会更直观.

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■ 函数y=■的图象大致为（ ）

■

A B

■

C D

破解思路 本题应从奇偶函数图象的对称性和极限思想的角度来排除选项. 由于函数y=■为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A，利用极限思想（如当x0+时，y +∞）可排除B，C，从而得到答案D.

经典答案 令y=f（x）=■，因为f（-x）=■=-■=-f（x），所以函数y=■为奇函数，所以其图象关于原点对称，可排除A；又当x0+时，y+∞，故可排除B；当x +∞时，y0，故可排除C；而D均满足以上分析. 故选D.

■ 设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3. 又已知函数g（x）=xcos（πx），则函数h（x）=g（x）-f（x）在-■，■上的零点个数为（ ）

？摇A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

破解思路 利用函数的奇偶性与函数的解析式，求出x∈0，■，x∈■，■时，g（x）的解析式，推导出f（0）=g（0）， f（1）=g（1），g■=g■=0，画出函数的草图，判断零点的个数即可.

经典答案 因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又当x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，所以f（x）= f（2-x）=（2-x）3.当x∈0，■时，g（x）=xcos（πx）；当x∈■，■时，g（x）=-xcos（πx）. 注意到函数f（x），g（x）都是偶函数，且f（0）=g（0）， f（1）=g（1）=1，g■=g■=0，作出函数f（x）和g（x）的草图（如图1），函数h（x）除了0，1这两个零点之外，分别在区间-■，0，0，■，■，1，1，■上各有一个零点，共有6个零点，故选B.

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图1

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已知函数f（x）=4x3-3x2sinθ+■的极小值大于零，其中x∈R，θ∈[0，π].

（1）求θ的取值范围；

三角函数范文第2篇

三角函数的值域及其周期性有它的独特之处，针对这一特点每年都设置有不同的高考试题，常见的考查形式是直接考查，在2012年的高考试题中则以数列为背景考查了这两个性质，难度比较大.

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一般地，解答三角函数与数列交汇的试题的思路是根据三角函数的周期性确定数列的特点，进而利用数列的相关知识求解.

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■ 数列{an}的通项公式an=ncos■+1，前n项和为Sn，则S2012=_____.

破解思路 本题的设问启发考生，这个数列必定是一个特殊的数列，于是要集中精力发现这个特殊性，为此必须列出一定数量的项，通过观察发现其特点. 根据通项公式计算得到：a1=1，a2=2×（-1）+1，a3=1，a4=4×1+1=5…. 根据三角函数的周期性可知该数列中奇数项都等于1，偶数项a2n=2n×（-1）n+1. 进一步求和发现a1+a2+a3+a4=6，a5+a6+a7+a8=6，…. 根据通项公式的特点，可以判断这个特性可以推广，得到a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6. 进而求出S2012.

经典答案 由已知，a4n+1=（4n+1）×cos■+1=（4n+1）×cos■+1=0+1，a4n+2=（4n+2）×cos■+1=（4n+2）×cosπ+1=-（4n+2）+1，a4n+3=（4n+3）×cos■+1=（4n+3）×cos■+1=0+1，a4n+4=（4n+4）×cos■+1=（4n+4）×cos2π+1=（4n+4）+1，所以a4n+1+a4n+2+a4n+3+a4n+4=6，即S2012=■×6=3018.

■ 设an=■sin■，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（ ）

A. 25 B. 50 C. 75 D. 100

破解思路 根据正弦函数值的特点，可知当0

■

图1

经典答案 对于1≤k≤25，ak≥0（唯a25=0），所以Sk>0（1≤k≤25）都为正数. 当26≤k≤49时，令■=α，则■=kα，其终边两两关于x轴对称，即有sinkα=-sin（50-k）α，所以Sk=■sinα+■sin2α+…+■sin23α+■sin24α+0+■sin26α+■sin27α+…+■sinkα=■sinα+■sin2α+…+■-■sin24α+■-■sin23α+…+■-■・sin（50-k）α，其中k=26，27，…，49，此时0

■

已知数列{an}（n∈N？鄢）满足：a1=1，an+1-sin2θ・an=cos2θ・cos2nθ，其中θ∈0，■.

（1）当θ=■时，求{an}的通项公式；

三角函数范文第3篇

例1 已知 < β

难度系数 0.80

分析 有些三角函数问题往往要进行角之间的变换，将角进行合理的组合，根据解题的需要“化异为同”，这是解答三角函数问题的一种解题技巧.掌握了这一技巧，可给一些三角函数问题带来比较简捷的解答.

解 由于2α=（α+ β）+（α- β），所以sin 2α=sin（α+ β）cos（α- β）+cos（α+ β）sin（α- β）.

又 < β

由sin（α+ β）=- ，cos（α- β）= ，可以知道cos（α+ β）=- ，sin（α- β）= .

故sin 2α=（- ）× +（- ）× =- .

小结 三角函数式的化简与求值问题主要集中在：已知一个三角函数式的值，求另一个三角函数式的值.解答的思路主要有两种：一是由已知条件求出相关的角，再代式求值；二是解题过程中不求出角，而是寻求已知和结论之间的角的联系，然后借助三角公式求解.

技巧2：三角函数的图像与性质问题――恒等变形转化为y =Asin（ωx+φ）型

例2 设函数 f（x）=sin x+sin（x+ ）.

（1）求函数 f（x）的最小值，并求使 f（x）取得最小值的x的集合；

（2）不画图，说明函数y= f（x）的图像可由y=sin x的图像经过怎样的变化得到.

难度系数 0.60

分析 利用降幂公式、倍角公式或辅助角公式，先合并为同一个角的正弦函数或余弦函数后，再分析其图像和性质.

解 （1）据题意有f（x）=sin x+sin xcos +cos x・sin =sin x+ sin x+ cos x= sin x+ cos x =

sin（x+ ）= sin（x+ ）.当sin（x+ ）=-1时，fmin（x）=- ，此时x+ = +2kπ，k∈Z，解得x= +2kπ，k∈Z.

所以，函数f（x）的最小值为- ，此时x 的集合为{x|x= +2kπ，k∈Z}.

（2）y = sin x的横坐标保持不变，将其纵坐标变为原来的 倍，得y= sin x.然后将y= sin x的图像向左平移 个单位，得f（x）= sin（x+ ）.

小结 这类问题通过三角函数式的化简，着重考查三角函数图像的五点作图法和图像变换法，并综合考查三角函数的周期、最值、单调性、奇偶性和对称性等.

技巧3：三角形中的解三角函数问题――正弦定理和余弦定理的正用与逆用

例3 如图，在平面四边形ABCD中，DAAB，DE=1，EC= ，EA=2，∠ADC= ，∠BEC= .

（1）求sin∠CED的值；

（2）求BE的长.

难度系数 0.65

解 设∠CED=α.

（1）在CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD・DE・cos∠EDC，于是由题设可知7=CD2+1+CD，即CD2+CD-6=0 ，解得CD=2（CD=-3舍去）.

在CDE中，由正弦定理得 = ，即sin α = = ，所以sin∠CED= .

（2）由0

在RtEAB中，cos∠AEB= = ，解得BE= = 4 .

小结 这类题型在考查解三角形的同时，又考查运用三角公式进行恒等变形的能力，历来备受命题者的青睐.这类问题的主要解法是充分运用三角形的内角和定理、正弦定理和余弦定理，同时结合三角公式进行三角变换，从而使问题得以解决.同学们在解题中要注意方程思想的运用.

技巧4：三角函数与向量的综合问题――向量的概念与运算需牢记

例4 已知向量a=（cos x，- ），b=（ sin x，cos 2x），x∈R ，设函数 f（x）= a・b.

（1）求 f（x）的最小正周期；

（2）求 f（x）在[0， ]上的最大值和最小值.

难度系数 0.65

解 （1）据题意有 f（x）= a・b=cos x・ sin x- cos 2x= sin 2x- cos 2x=sin（2x- ），于是可知 f（x）的最小正周期T= =π.

（2）当x∈[0， ]时，2x- ∈[- ， ]，由标准函数y=sin x在[- ， ]上的图像知， f（x）=sin（2x- ）∈[ f（0），f（ ）] =[- ，1].所以，f（x）在[0， ]上的最大值和最小值分别为1，- .

小结 这类题目常在三角函数与向量的交汇处命制，通过考查向量的概念与运算，同时考查三角恒等变形和求值等问题.同学们在解答这类题目时，一定要熟悉向量的数量积的定义和性质，注意运用方程思想，还要掌握函数图像平移公式的应用.

（作者单位：湖南岳阳市十五中）

三角函数范文第4篇

浙江省数学特级教师，嘉兴市数学会副会长.

推荐名言

一切自然科学，都是研究函数.

――H. H. 鲁金 （苏联数学家，现代实变函数论的开创者之一）

三角函数内容丰富，主要包括定义，图象与性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性），三角恒等变换，正余弦定理等．自主招生考试对三角函数的考查要求相对较高，除了高考要求的基本知识点与公式之外，还会考查一些拓展公式和结论. 现列举如下：

万能公式：sinα=■，cosα=■，tanα=■.

和差化积公式：sinα+sinβ=2sin■cos■，sinα-sinβ=2cos■・sin■，cosα+cosβ=2cos■cos■，cosα-cosβ=-2sin■sin■.

积化和差公式：sinαcosβ=■［sin（α+β）+sin（α-β）］，cosαsinβ=■［sin（α+β）-sin（α-β）］，sinαsinβ=-■［cos（α+β）-cos（α-β）］，cosαcosβ=■［cos（α+β）+cos（α-β）］．

三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin3α，cos3α=4cos3α-3cosα，sin■-αsinαsin■+α＝■sin3α，cos■-αcosαcos■+α＝■cos3α，tan■-αtanαtan■+α＝tan3α．

两个有用的三角不等式：若α是锐角，则sinα+cosα>1，sinα

三角形中的一些基本恒等式：在ABC中，cos（B+C）＝-cosA；若ABC不是直角三角形，则tanA+tanB+tanC=tanA・tanB・tanC．

在自主招生考试中，三角函数问题主要有三类：研究三角函数的图象与性质、三角恒等变换、三角形中的三角函数问题．

一、 研究三角函数的图象与性质

例1 （2007年上海交通大学自主招生考试第12题） 设函数f（x）＝sinx+cosx，试讨论f（x）的性质（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求出其极值，并作出其在［0，2π］内的图象．

解析：三角函数的重要特点之一是周期性. 一般而言，在讨论三角函数的性质时，我们常常先把含有正弦、余弦等不同三角函数的式子转化为关于一个角的一种三角函数式，求出函数的周期．只要讨论该函数在一个周期内的性质，就能判断函数在整个定义域上的性质． 但例1中的函数解析式比较简单，我们可以先求出函数的周期，再对函数解析式进行转化．

由f（-x）=f（x）得：f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称.又由f■-x=f（x）可知，函数图象关于x=■对称. 我们还发现， f■+x=f（x）， f（x）的最小正周期为T＝■．由此，我们可以讨论函数f（x）=sinx+cosx在一个周期0，■内的单调性和最值，再推出一般性结论．

当x∈0，■时， f（x）=sinx+cosx=■sinx+■. 当x∈0，■时， f（x）单调递增；当x∈■，■时， f（x）单调递减. 对 f（x）=sinx+cosx而言，当x∈■，■+■（k∈Z）时，函数f（x）单调递增；当x∈■+■，■+■（k∈Z）时， f（x）单调递减．当x=■（k∈Z）时， f（x）min=1；当x=■+■（k∈Z）时，f（x）max=■． 函数f（x）在［0，2π］内的图象如图1所示．

当然，在解答例1时，我们也可以先画出函数图象，再根据图象讨论函数性质――这也是解决三角函数问题的一种有效方法．

二、 三角恒等变换

例2 （2010年清华大学自主招生考试第1题） 求sin410°+sin450°+sin470°的值．

解析：解答例2时，不仅要熟练掌握三角函数的相关公式，还要熟悉三角函数恒等变换的处理方法，如降幂、和差化积、积化和差等．我们先用降幂公式把所求解析式中的四次方转化为二次方，再进行化简：sin410°+sin450°+sin470°＝■2+■2+ ■2=■［3-2（cos20°+cos100°+cos140°）+（cos220°+cos2100°+cos2140°）］．

其中， cos20°+cos100°+cos140°＝2cos■cos■+cos140°=2cos60°cos（-40°）-cos40°＝cos（-40°）-cos40°＝0；

cos220°+cos2100°+cos2140°＝■+■+

■＝■［3+（cos40°+cos200°+cos280°）］．

又cos40°+cos200°+cos280°＝2cos■cos■+cos280°=2cos120°cos（-80°）+cos280°＝-cos（-80°）+cos（-80°）＝0， cos220°+cos2100°+cos2140°=■.

sin410°+sin450°+sin470°=■［3-2×0+■］＝■.

例2的结论可以推广成：sin4α+sin4α+■+sin4α+■＝■． 利用例2的求证方法，我们还可以证得sinα+sinα+■+sinα+■＝0， sin2α+sin2α+■+sin2α+■＝■． 有兴趣的同学可以一试

三、 三角形中的三角函数问题

例3 （2011年“华约”自主招生考试第11题） A，B，C为ABC的内角，且ABC不是直角三角形．

1） 求证：tanA+tanB+tanC=tanA・tanB・tanC ；

（2） 若■tanC－1＝■，且sin2A，sin2B，sin2C的倒数成等差数列，求cos■的值．

解析：要解决例3，既要熟悉三角恒等变换的处理方法，又要充分利用三角形内角和为180°这一条件．

（1） A+B+C=π， tan（A+B）＝tan（π-C）=-tanC （①）． 又tan（A+B）=■，代入①式可得tanA＋tanB＋tanC＝tanA・tanB・tanC．

（2） 将（1）的结论代入■tanC－1＝■，得（■tanC－1）tanA＝tanA・tanB・tanC-tanA，解得tanB＝■. B∈（0，π）， B＝■．又■+■=■， 即■=■=■＝■，将A+C＝■代入，得：3cos（A-C）＝1+2cos（2A-2C）＝cos2（A-C）-1，解得cos（A-C）＝1或cos（A-C）＝

-■. A+C＝■π， ■∈-■，■，cos■∈■，1.由半角公式求得 cos■=1或cos■= ■．

例4 （2011年“北约”自主招生考试第4题） ABC的三边满足a+b≥2c，求证：C≤60°．

解析：正余弦定理是解决三角形边角关系问题的媒介. 运用正余弦定理时，一般有两种方法：一是把边的关系转化为角的关系，使之成为三角函数问题；二是把角的关系转化为边的关系，使之成为代数问题．

解法一（化边为角）：由a+b≥2c及正弦定理得：sinA+sinB≥2sinC，和差化积得2sin■・cos■=2cos■cos■≥2sinC=2・2sin■・cos■. C∈（0，π）， cos■>0， cos■≥2sin■，而cos■≤1， sin■≤■.由0＜■＜■可得C≤60°．

解法二（化角为边）：由a+b≥2c及余弦定理，可得cosC=■≥■=■-■≥■-■＝■. C∈（0，π）， C≤60°．

KEY to Killing One Owl Species to Save Another:

They mean shooting the barred owls.

KEY to It’s Your Choice That Makes It:

（1） C

（2） Because he/she wants to make his/her argument more persuasive.

看到这里，相信同学们对自主招生考试中三角函数知识的考查方式大致有数了． 其实三角函数题的难度并不大，但它涉及了大量的公式，需要同学们熟练掌握、灵活转化．正所谓“熟能生巧”，同学们在平时还需要适当的练习．

【下期预告】

三角函数范文第5篇

考点一、任意角和弧度制及任意角的三角函数【考点解读】 三角函数的概念在高考中单独命题较少，但几乎所有三角函数试题都离不开这部分内容，同时该内容也是研究三角函数的性质，解决三角问题的基础.理解任意角、终边相同的角及弧度制等概念，能够根据条件利用三角函数的定义求某些三角函数.在解三角不等式时，数形结合利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.

例1已知一扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.

（1）若α=60°，R=30cm，求扇形的弧长l及该弧所在的弓形面积.

（2）若扇形周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

（3）若将该扇形的圆心放在坐标原点，使角α的始边与x轴重合，已知角α的终边上一点P的坐标为（-3，y）（y≠0）且sinα=214y，求cosα，tanα.

（4）若α=60°，求θ，使θ与α的终边相同，且-720°≤θ

【思路点拨】 （1）可直接使用弧长公式计算，但注意在弧度制下角需用弧度制.（2）可用弧长或半径来表达出扇形的面积，弓形面积由扇形面积与三角形面积的差组成，然后确定其最大值.（3）利用三角函数的定义求解，注意对y的讨论.（4）利用终边相同的角的集合S={β|β=α+2kπ，k∈Z}.

【解析】 （1）α=60°=π13rad，R=30，l=|α|·R=π13×30=10πcm.

S弓=S扇-S三角形=112×10π×30-112×302×sinπ13=150π-2253（cm）2.

（2）由题意得l+2R=20，l=20-2R（0

S扇=112lR=112×（20-2R）×R=（10-R）·R=-R2+10R.

当且仅当R=5时，S有最大值25（cm）2.

此时l=20-2×5=10，α=l1R=1015=2rad.

当α=2rad时，扇形面积取最大值.

（3）r2=x2+y2=y2+3，由sinα=y1r=y1y2+3=214y，所以y=±5.

所以当y=5时，cosα=x1r=-614，tanα=y1x=-1513，

当y=-5时，cosα=-614，tanα=1513.

（4）令θ=60°+k·360°（k∈Z）.取k=-1，-2就得到适合-720°≤θ

60°+（-1）×360°=-300°，60°+（-2）×360°=-660°.

【归纳总结】 扇形的面积与弧长的计算在几何中应用较多，都可以用角度制与弧度制两种方式给出，应注意角度制与弧度制不能混用.合理利用圆心角所在的三角形，合理选择参数，运用函数思想、转化思想，解决扇形中的有关最值问题.利用定义法求三角函数值需要已知或设角α终边上一异于原点的点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角.

【变式训练1】

（1）已知角α的终边在直线y=-3x上，则10sinα+3×11cosα=.

（2）不借助计算器的情况下，证明：sin20°

考点二、三角函数的同角公式及诱导公式

【考点解读】 求值题主要考查同角三角函数的基本关系式、诱导公式的应用，利用三角公式进行恒等变形的技能.题型多为选择题或填空题.六组诱导公式可统一记为“奇变偶不变，符号看象限”.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角三角函数为锐角三角函数，其原则：负化正、大化小、化到锐角为终了.切弦互化的技巧必须灵活掌握.

例2（1）设θ为第二象限的角，若tan（θ+π14）=112，则sinθ+cosθ=.

（2）是否存在α∈（-π12，π12），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=2cos（π12-β），3cos（-α）=-2cos（π+β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】 （1）利用两角和的正切公式，求出tanθ，然后切化弦，再联想平方关系式，解题突破口就是求解关于“sinθ，cosθ”的方程组.（2）要想求出α，β的值，必须知道α，β的某一个三角函数值，解决本题的关键是由两个等式，消去α或β得出关于β或α的同名三角函数值.

【解析】 （1）tan（θ+π14）=112，tanθ=-113，

即3sinθ=-cosθ

sin2θ+cos2θ=1，解得sinθ=10110，cosθ=-310110.

sinθ+cosθ=-1015.【答案】 -1015.

（2）假设存在α，β使得等式成立，即有

sin（3π-α）=2cos（π12-β）1①

3cos（-α）=-2cos（π+β）1②

由诱导公式得sinα=2sinβ1③

3cosα=2cosβ1④

③2+④2得

sin2α+3cos2α=2，cos2α=112，

又α∈（-π12，π12），α=π14或α=-π14，

将α=π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知符合.

将α=-π14代入④得cosβ=312.又β∈（0，π），β=π16代入③可知不符合.

综上可知，存在α=π14，β=π16满足条件.

【归纳总结】 （1）对于sinθ+cosθ，sinθcosθ，sinθ-cosθ这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为（sinθ±cosθ）2=1±2sinθcosθ；（2）关于sinθ，cosθ的齐次式，往往化为关于tanθ的式子.已知角α的三角函数值求角α的一般步骤是：①由三角函数值的符号确定角α所在的象限；②据角α所在的象限求出角α的最小正角；③最后利用终边相同的角写出角α的一般表达式.

【变式训练2】

若f（α）=sin[α+（2n+1）π]+2sin[α-（2n+1）π]1sin（α-2nπ）cos（2nπ-α）（n∈Z），求f（19π16）.

考点三、三角函数的图象和性质

【考点解读】 能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象，理解这三种函数的性质（如周期性、单调性、奇偶性、最大值和最小值、对称中心和对称轴等），函数的单调性是相对于某一区间而言的，研究其单调性必须在定义域内进行.

例3（1）求函数y=lg（2sinx-1）+-tanx-11cos（x12+π18）的定义域；

（2）求y=3tan（π16-x14）的周期及单调区间；

（3）求函数y=3cosx-3sinx的值域.

【思路点拨】 （1）求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式（组），常借助三角函数线或三角函数图象来求解.（2）先化为：y=-3tan（x14-π16），再求单调区间.（3）先将原函数式进行等价变形，利用|cosx|≤1，|sinx|≤1，但要注意自变量的取值变化.

【解析】 （1）要使函数有意义，则

2sinx-1>0

-tanx-1≥0

cos（x12+π18）≠0sinx>112

tanx≤-1

x12+π18≠kπ+π12（k∈Z），

如图利用单位圆得：

2kπ+π16

kπ+π12

x≠2kπ+3π14（k∈Z），

函数的定义域为：{x|2kπ+π12

（2）y=3tan（π16-x14）=-3tan（x14-π16），

T=π1|ω|=4π，y=3tan（π16-x14）的周期为4π.

由kπ-π12

3tan（x14-π16）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递增，

y=3tan（π16-x14）在（4kπ-4π13，4kπ+8π13）（k∈Z）内单调递减.

（3）y=3cosx-3sinx=23（312cosx-112sinx）=23cos（x+π16），

|cos（x+π16）|≤1，该函数值域为[-23，23].

【归纳总结】 （1）求三角函数的定义域，既要注意一般函数定义域的规律，又要注意三角函数的特性，如题中出现tanx，则一定有x≠kπ+π12，k∈Z.求三角函数的定义域通常使用三角函数线、三角函数图象和数轴.（2）对于y=Atan（ωx+φ）（A，ω，φ为常数），其周期T=π1|ω|，单调区间利用ωx+φ∈（kπ-π12，kπ+π12）（k∈Z），解出x的取值范围，即为其单调区间.（3）将原函数式化为一角一名的形式，如y=Asin（ωx+φ）+B，y=Acos（ωx+φ）+B或化为关于sinx（或cosx）的二次函数式，切忌忽视函数的定义域.

【变式训练3】

已知函数f（x）=cos（π13+x）cos（π13-x）-sinxcosx+114，

（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（2）求函数f（x）单调递增区间.

考点四、函数y=Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用【考点解读】 该考点是高考的必考点.理解函数y=Asin（ωx+φ）中A，ω，φ的意义及其对函数图象变化的影响.能根据所给三角函数的图象和性质确定其中的参数，并能由一个三角函数的图象通过平移变换、伸缩变换、振幅变换和对称变换得到另一个三角函数的图象.利用三角函数的解析式可研究三角函数的性质和图象.会用三角函数解决一些简单实际的问题.

例4已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，0

（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；

（2）是否存在x0∈（π16，π14），使得f（x0），g（x0），f（x0）g（x0）按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由.

【思路点拨】 （1）根据题目给出的周期和对称中心求得函数f（x）的解析式，利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步得到g（x）；（2）将等差数列问题转化为方程在指定区间内是否有解的问题，再构造函数，利用函数的单调性确定零点的个数.

【解析】 （1）由函数f（x）=sin（ωx+φ）的周期为π，ω>0，得ω=2，

又曲线y=f（x）的一个对称中心为（π14，0），φ∈（0，π），

故f（π14）=sin（2×π14+φ）=0，得φ=π12，所以f（x）=cos2x.

将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移π12个单位长度后得到函数g（x）=sinx.

（2）当x∈（π16，π14）时，112

所以sinx>cos2x>sinxcos2x，

问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（π16，π14）内是否有解.

设G（x）=sinx+sinxcos2x-2cos2x，x∈（π16，π14），

则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx）.

因为x∈（π16，π14），所以G′（x）>0，G（x）在（π16，π14）内单调递增，

又G（π16）=-1140，

且函数G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（π16，π14）内存在唯一零点x0，

即存在唯一的x0∈（π16，π14）满足题意.

【归纳总结】 探讨三角函数的性质，难点在于三角函数解析式的化简与整理，熟练掌握三角恒等变换的有关公式，灵活运用角之间的关系对角进行变换，将解析式转化为一角一函数的形式，然后通过换元法求解有关性质即可.根据y=Asin（ωx+φ）+k的图象求其解析式的问题，主要从A、k、ω及φ等四个方面来考虑.

【变式训练4】

（1）函数y=2sin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是.

（2）如图，正五边形ABCDE的边长为2，甲同学在图中用余弦定理解得AC=8-8cos108°，乙同学在RtACH中解得AC=11cos72°，据此可得cos72°的值所在区间为.

考点五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式及简单的三角恒等变换【考点解读】 该考点是高考的必考点.研究不同三角函数值之间的关系时，常以角为切入点，并以此为依据进行公式的选择，同时还要关注式子的结构特征，通过对式子进行恒等变形，使问题得到简化.在进行三角运算时必知的几个技巧：“1”的代换，正切化弦，异角化同角，异次化同次，变角，变名，变结构等化简技巧.

例5已知函数f（x）=2cos（x-π112），x∈R.

（1）求f（-π16）的值；

（2）若cosθ=315，θ∈（3π12，2π），求f（2θ+π13）.

【思路点拨】 （1）直接代入，根据诱导公式和特殊角的三角函数值得出结果；（2）先求出sinθ，利用倍角公式得出sin2θ，cos2θ的值，使用三角变换公式求解.

【解析】 （1）f（-π16）=2cos（-π16-π112）

=2cos（-π14）=2cosπ14=1；

（2）f（2θ+π13）=2cos（2θ+π13-π112）

=2cos（2θ+π14）=cos2θ-sin2θ，

因为cosθ=315，θ∈（3π12，2π），所以sinθ=-415，所以sin2θ=2sinθcosθ=-24125，cos2θ=cos2θ-sin2θ=-7125，所以f（2θ+π13）=cos2θ-sin2θ=-7125-（-24125）=17125.

【归纳总结】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.公式的逆用，变形十分重要，常通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数.

【变式训练5】

31cos10°-11sin170°=.

【变式训练答案】

1.解析：（1）设α终边上任一点为P（k，-3k）.则r=x2+y2=k2+（-3k）2=10|k|.

当k>0时，r=10k，sinα=-3k110k=-3110，11cosα=10k1k=10.

10sinα+3×11cosα=-310+310=0.

当k

sinα=-3k1-10k=3110，11cosα=-10k1k=-10.

三角函数范文第6篇

关键词：三角函数；单位圆；周期

1.任意角的三角函数的概念和教材分析

1.1内容分析

1.1.1背景分析。三角函数作为拥有与对数数和指数函数同等重要的地位，应该在构建基本的知识体系过程中将基本概念与基本认知相结合的方式作为学生教学的重点。认识三角函数的的本质属性石函数中的一个特例，具有函数的下一级的概念。通过在概念的进一步精化过程中，加深学生对三角函数基本概念即正切、余弦和正弦的进一步理解，同时掌握单位圆的作用。

1.1.2教学的目标。作为三角函数概念在教材分析中的重要学习目标之一，对于任意角的三角函数的定义的学习不可忽视。掌握三角函数的诱导公式，并记住三角函数的定义域与值域也相当重要。同时，学生还应该在已知∠a终边上的一点，会求解角的正弦，余弦和正切值。另外，培养学生各方面的能力目标也是三角教学中的重要目标之一。梳理三角函数的基本概念和内容，树立正确的映射观，理解其实以实数为自变量的函数。同时通过对诱导公式，定值域的进一步教学加深理解三角函数的实质。教育教学改革中明确提出对学生德育教育的要求，在进一步的教学过程中，严谨自学的科学学习精神会在转化思想的学习过程中会得到培养。养成教育也会培养学生的自主学习理念，树立正确的价值观念，让学生深刻的认识到事物之间是有一定的联系的观念。提高学生分析问题、解决问题的能力。

1.1.3教学的难重点。三角教学中的难点是如何利用与单位圆有关的一些基本概念例如有向线段、任意角的三角函数值等用集合的形式表现出来。这些都是教学中的难点。那么什么是教学中的重点呢？在教学中如何有效的帮助学生理解任意角的三角函数的正弦、正切和余弦的定义并在这个过程中突出单位圆的重要作用，则是三角函数教学的重点。

1.1.4知识结构图析

1.1.5其中包含的数学思想、类比联想的思想、数形结合的思想、化归转化的思想。

1.2教材分析的方法和原则

教材分析的方法是教与学相结合的方法，实践与理论相结合的方法。教材教学的原则是突出数学思想的原则、以学生为中心的原则、课表与课标相结合的原则以及教师为主导的原则等。

2.三角函数的宏观整体把握

2.1内容分析

2.1.1背景介绍。在高中阶段的学习中，三角函数是一项重要的学习知识点。它涉及到的不仅仅是数学，还有生物、物理等其他学科。在高考中也占据相当一部分的分值比例。另外，作为学习过程中的工具性，它的应用也是十分广泛的，可以对生活中大量的周期性现象进行描绘，也是数学建模的重要重要基础工具之一。通过学习和研究三角函数的基本内容和概念性质从而对周期性变化规律中的问题的解决打下基础。

2.1.2 教学目标。（1）过程与方法：通过对本章内容的学习，从而使学生在解决函数概念的问题上的能力得到提高，也能更加加深学生对相关概念、内容的理解。（2）知识与技能的培养：学习中对知识的技能与知识的培养是极其重要的，它是学生高效学习的保障，也是学生在处理复杂的数学问题时必须必备的技能之一。学生通过任意角内容和基本概念的认识和了解，从而借助单位圆更加形象直观的体会三角函数的美学价值，加深对三角函数概念的进一步掌握。

2.1.3知识架构

2.1.4重难点。三角函数知识在解决集合、代数和实际问题上的解决时重点。图像和性质以及诱导公式是难点。

2.1.5蕴含的数学思想方法。数学思想方法大致分为如下八类。（1）化归转化思想；（2）方程思想；（3）分类讨论思想；（4）换元法；（5）整体的方法；（6）类比联想的方法；（7）数形结合的思想；（8）分类讨论的思想。

2.16 教育学习的价值。三角函数宏观把握不仅可以有助于学生加深对数学各内容之间的理解和联系，而且还可以更好的体验发现和学习的创造过程。是学生解决世界生活中的问题以及体会实际生活与数学联系的重要桥梁。从而有助于学生的推理能力与运算能力的提高。

2.2 教材分析的原则与方法

原则；以教师主导为主要原则，引导学生为辅助原则，并构建数学思想方法的原则，同时加深理论与实际相结合的原则。方法；学与教相结合的方法；理论与实践相结合的方法。

3.三角函数的特定内容的分析

作为本章学习的重要角色，单位圆在本章中扮演的是更加直观明晰的解决三角函数中的一些复杂棘手的问题。那么如何运用单位圆来有效的解决三角函数的问题呢？这要从如下的五个方面来说明这个问题。其一、三角函数，作为一个很有自身特点的函数，本身具有的多层次的性质。在利用单位圆的良好几何特性的优势来克服三角函数中只有数的劣势，它为同学们掌握同角三角函数的基本特点关系时，为更有效的理解诱导公式及三角函数的性质和图像提供了更大的便利。其二、以单位圆为基础，诱导出三角函数单位圆定义，这是数学中数形结合的重要典范之一。是学生掌握数学思想方法的有利手段。其三、单位圆定义正弦、正切和余弦这三个三角值是数向图转换的一个典范。运用平面坐标系统建立三个角度的弧度数到终边角与单位圆的交叉结合让学生在学习过程中更加形象明了的掌握三个角的深层次的内涵。其四、单位圆为学生在学习三角函数如何刻画周期现象的过程并以此建立正确的数学模型。数学建模是大学的一个重要学习课程，这也为学生的大学深造打下良好的基础。其五、过重的角它是通过一条射线绕着一个点来旋转出来的，它与初中角的概念的由来有很大的区别，运用单位圆可以作为三角函数基本角的定义即用圆的基本角来定义三角函数。

参考文献：

[1]罗红.巧用对称法 轻松学语文[J].中学语文. 2009（33）

[2]但泉水.诱导公式的新概括[J]. 数学通讯.1998（03）

[3]赵春祥.高考中的三角函数知识点常考题型解析[J].考试（高考数学版）. 2007（Z3）

[4]张绍林，王江.浅谈函数奇偶性、周期性、对称性之联系[J].数学教学. 2008（04）

[5]周永福.勾股定理在三角函数及反三角函数计算中的应用[J].天津教育. 1982（09）

[6]任克温.有条件的三角函数求值问题[J]. 数学教学通讯.1986（01）

[7]赵明仁，焦伟红.关于诱导公式教学的探索[J].河北能源职业技术学院学报. 2008（02）

[8]成克利.在三角教学中引入对应锐角的尝试与体会[J].数学教学研究. 2004（02）

[9]孙菊丽.试谈从函数的奇偶性到空间图形的运动不变性[J].数学教学通讯. 2010（12）

三角函数范文第7篇

关键词：三角函数；解析式；实际；拟合函数

利用三角函数解决实际问题基本步骤是：（1）审题：读懂题目中的“文字、图形、符号”等语言，领悟其数学本质；（2）建立三角函数模型：根据审题所得到的信息，可把实际问题抽象成数学问题，建立三角函数式或三角函数方程或有关三角函数的不等式；（3）解决三角函数模型：可根据所学习的三角函数知识解决建立的模型问题；（4）作出结论：根据对模型问题的解答，将答案根据实际问题来作出相应的结论.我们这里一般常用函数y=Asin（ωx-φ）+b来刻画实际问题，在解决三角函数的实际问题时，要注意自变量x的取值范围；要数形结合，要能选择适当的三角函数模型.

品味一：依据实际问题的图像求解析式

知识点 根据函数图像，由函数图像确定解析式中的未知量，主要针对的是物理问题的考查.

例1 已知电流I（A）与时间t（s）的关系为I=Asin（ωt+φ），（1）图1是I=Asin（ωt+φ）ω>0，|φ|

分析 本题的函数模型是已知的，可利用待定系数法求出解析式中的未知参数，再确定函数解析式.

解 （1）由图1知道A=300，设t1=-1900，t2=1180，则周期T=2（t2-t1）=2×1180+1900=175.

则得到ω=2πT=150π.

又当t=1180时，I=0，即sin150π・1180+φ=0，而|φ|

（2）根据题意，周期T≤1150，即2πω≤1150（ω>0），因此ω≥300π>942.

又ω∈N*，则所求ω的最小正整数值是943.

评注 这类问题的关键是将图形语言转化为符号语言，抓住图像是解决问题的关键.

品味二：利用解析式求解实际问题

知识点 已知实际问题的解析式解决相关问题，则比较容易解决，只要根据函数表达式结合所提供的信息来求解.

例2 已知简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ |φ|

分析 本题可由周期公式求出周期T，而该函数图像过点（0，1），则可得到关于φ的关系式，再根据φ的范围求出φ的值.

解 简谐运动f（x）=2sinπ4x+φ|φ|

其图像过点（0，1），将点（0，1）代入函数解析式得到，2sinφ=1，也即sinφ=12.又|φ|

综上所述，这个简谐运动的最小正周期T和φ分别为8和π6.

评注 题中给出了简谐运动的函数模型，就可以直接运用三角函数的图像与性质解决简谐运动中的有关问题.

品味三：三角函数模型的实际应用

知识点 解决三角函数的实际应用问题时要按照一般应用题的解题步骤执行：（1）要审清题意，理清问题中的等量或不等关系；（2）建立函数模型（写出三角函数解析式或三角函数方程或有关三角函数的不等式等等），将实际问题数字化；（3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；（4）再回到实际问题中，可根据实际问题的意义，得出实际问题的解.

例3 如图2，游乐场的摩天轮匀速运转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面405米，摩天轮的半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，则你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答以下的问题：（1）求出你与地面的距离y与时间t的函数解析式；（2）当你第4次距离地面605米时，用了多少时间？

分析 根据题意可知道应建立余弦型函数模型解题，由摩天轮的旋转周期为12分钟，振幅是40，同时t=0时y=05，可求出函数解析式；将y=605代入函数解析式求出第一个周期所满足题意的周期，再加上周期就可得解.

解 （1）由已知可设y=405-40cosωt，t≥0，则由周期为12分钟可知道在第1个周期内当t=6分钟时到达最高点，即函数取得最大值，则805=405-40cos6ω，因此cos6ω=-1，即6ω=π，得到ω=π6，于是y=405-40cosπ6t（t≥0）.

（2）令y=405-40cosπ6t=605，则可得到cosπ6t=-12，因此在第一个周期内π6t=23π或者π6t=43π，得到t=4或t=8，也即第1次距离地面605米时用了4分钟，第2次用时8分钟，则第4次距离地面605米时，用了12+8=20分钟.

评注 在本题中抓住余弦型函数解析式，分析各个时间点，则结合解析式就可求解.

品味四：根据数据建立拟合函数

知识点 往往是由已知条件的数据进行整理，在直角坐标系中描写出相应的点（作出散点图），再观察这些点的位置关系，再用光滑曲线将这些点尽可能连接起来，然后利用图像选择适当的模型进行研究.

例4 受到日月引力，海水会发生涨落，在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口的深度y（m）是时间t（0≤t≤24，单位：h）的函数，记y=f（t），下面是该港口在某季节每天水深的数据：

通^长期观察，曲线f（t）可以近似地看作函数y=Asinωt+b的图像；（1）根据以上数据，求出函数y=f（t）的近似表达式；（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上是认为安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面距离）为65m，若该船在同一天内安全进出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港的时间）？

分析 可根据所给的数据在坐标系中作出散点图，再结合几个关键数据求出解析式，最后求解.

解 （1）根据函数图像画出散点图，如图3，则周期T=12，ω=2π12=π6，振幅A=3，b=100.

则y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）.

（2）根据题意，该船进出港时，水深应该不小于5+65=115（m），也即y=3sinπ6t+10≥115，因此sinπ6t≥12，2kπ+π6≤π6t≤2kπ+5π6（k∈z），0≤t≤24，12k+1≤t≤12k+5（k∈z）.

在同一天内取k=0或1，则1≤t≤5或13≤t≤17.

又函数y=3sinπ6t+10（0≤t≤24）的最小值为7>65所以该船在任何时候在港内都可以停靠，因此该船一天内在港内停留时间为17-1=16（小时）.

因此该船最早在凌晨1时进港，最晚下午17时出港，在港口最多停留16小时.

三角函数范文第8篇

【关键词】三角函数 中美题目 教学过程 教学设计

一、中美两道三角函数应用题现状

在研究中美三角函数应用题的差异时可选择一个相似的题目进行对比，这个问题如下：美国教材中提出，某个船舶装船长指挥船只进入港口，考虑到潮汐问题，水深会出现落差，当水深为10.6m时是早上五点，水深6.5m时为上午十一点，问题是建立一个模型描述午夜后的水深改变；利用模型设定船长进入港口的安全时间，船吃水9m；模型还可以回答其他类似问题。

中国教材中也有类似问题，如：海水受到潮汐影响，导致巷道内的水位发生改变，货船在涨潮时输入并卸货，在落潮时返回大海。按照某个港口的水深关系表，回答一下问题：建立函数描述港口水深与时间的关系精确到0.01m；设船只吃水4m，距离海底1.5m为安全，该船进入港口的时间与停留时间是多少；任意该船为例，如在两点卸货，水深每小时减少0.3m，则该船必须在几点返航。

二、对比两国三角函数应用题异同

（一）教学过程分析

美国应用题是以一种头脑风暴的形式对学生进行提问，并鼓励学生建立不同的数学模型对问题加以解决，鼓励学生对模型的有效程度进行分析，从涨潮落潮的周期变化来引申出三角函数模型，并利用三角函数的模型来解决问题，对于那些不熟悉三角函数的学生而言，鼓励其使用数学分析方式来让函数满足特定的条件，由此满足教学目标。如让学生利用在线的下程序来体验参数的改变对图形的趋势影响；其次，在确定好模型之后，对于模型的建立与计算等，美国版教材给出了详细的求解过程，因为振幅是曲线的总体高度的一半，这就意味着其是最大到最小值的一半，这就是函数系数，其对函数有调整作用。

我国的题目，在我国该应用题的教学是利用PPT课件，学生看到题目后就会开始绘图与描点，并明确了解这样的函数就是三角函数，甚至在没有作图的时候就明确了三角函数的定义与概念。所以我国的应用题教学，在解题中缺乏美国教学方式的实践性与差异认知的过程，对于认知水平低的学生而言，不能通过实践操作而获得知识内涵。对于技术的使用我国的教学知识对反三角函数进行求解，在美国则是利用实际问题的解决。在参数求解的时候，美国题目没有字母来表示振幅、周期等，而是文字表述，并说明对函数造成的影响是那些，说明我国学生对字母含义的理解能力较强。

（二）教学设计

在美国高中教材中，可以看出美国的参考案例有一个专门的模块，是对学生思维进行分析的，可以看出美国教学重视的是学生的思维模式与过程，而我国的教材中很少有这样的内容出现。虽然，两个国家在应用题中都重视引入模型的思路，但是美国的题目所重点阐述的是建立什么样的模型，可以很好地反映实际问题；因为题目中条件相对充足，我国的参考案例不需要多少时间就可以引入三角函数，即我国的大部分时间是在解决实际问题，而美国则是引导思维模式建立数学模型。而美国题目中仅仅给出了高差范围，我国则是给出一个落差，规律性较强，但是实际中水位是不会按照明显规律改变的。

三、对新出题方式的思考和建议

通过对中美教学中两道三角函数的应用题的具体分析，在情景设置、教学过程、教学设计等方面可以看出，美国的问题更加的贴近与实际，重视的学生的发散性思维，而我国的题目相对理性，更重视的是学生的解题能力训练，所以综合二者的优势可以对题目进行改进，如：在某海港，货运的船长在进入到某个港口的时候都会考虑潮汐问题，因为每一天的一个时间到另一个时间港口内的水深存在差异，某港口内在早上五点的时候，水深最深达到10.6m，而在中午十一点则会出现最低水位6.5。在此条件下建立一个预测水位深度数学模型，这个函数可以描述午夜后的水深改变情况；并分析一条吃水深度4米，而安全间距为1.5m的货运船只，在何时进入港口最安全并可以停留多久；如果仍是该船，在两点开始卸货，水深每小时减少0.3m，则该船应在几点停止卸货并驶入安全水域。

结束语

中美两国对于三角函数类的教学问题所持有的态度是不同的，所出现的应用题目也就会存在差异，上述所介绍的是一道相似的潮汐问题，其最终的教学目标就是让学生学会引入三角函数的数学模型，并利用函数方式来解决实际问题，而在题目条件和教学解答中，中美教学的差异也随之体系，二者都有优势，而最佳的方式就是利用二者的优势融合来结合教学中侧重不同的问题，进而到达思维、计算能力共同开发的目的。

【参考文献】

[1]刘燕.浅谈学习三角函数的实际应用[J].新课程学习（基础教育），2010（12）.

[2]洪清直，徐明杰.基于应用的三角函数的考查研究[J].福建中学数学，2011（05） .

三角函数范文第9篇

一、规律探索启迪智慧

则sin260°+ cos260°=____；③

……

观察上述等式，猜想：对任意锐角A都有sin2A+cos2A=_________.④

（1）如图1，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对∠A证明你的猜想；

（2）已知：∠A为锐角（cosA>0）且sinA= 3，求cosA.

分析：先将特殊角的三角函数值代入sin2A+ cos2A，然后再进行猜想、归纳出结论；在证明猜想时，如图2，需要过点B作BDAC，将∠A放在直角三角形中，然后利用锐角三角函数进行证明；在求cosA时，可以直接利用归纳出的结论求解.

观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A+cos2A=1.

点评：中考命题者以锐角三角函数为载体，让考生先从特例入手，然后再进行观察、归纳、猜想、证明、应用，既符合科学发现的一般过程，又符合新课程的理念.

二、渗透高中知识未雨绸缪

（2）在RtBDE中，∠BED=90°，∠BDE=75°，DE=AC=7，

BE=DE・tan∠BDE=DE・tan75°.

tan15°=tan（45°+30°）

=1.62+14+7×1.732≈27.7（米）.

点评：本例以三角函数为载体，将高中两数和、差的三角函数公式渗透其中，开阔了学生的视野，同时为学生进入高中作好铺垫.需要说明的是，在求tan75°的值时，除了可以把75°化为（45°+30°），由于tan15°的值已知，所以也可把75°化为（60°+15°）.

三、关注社会热点关注实事

例3 （2013年山东济宁）及其附属岛屿是中国固有领土（如图5），A、B、C分别是、南小岛、黄尾屿上的点（如图6），点C在点A的北偏东47°方向，点B在点A的南偏东79°方向，且A、B两点的距离约为5.5km；同时，点B在点C的南偏西36°方向.若一艘中国渔船以30km/h的速度从点A驶向点C捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）

分析：过点B作BDAC于点D，根据方向角分别求出∠DAB和∠DCB的度数，然后在RtABD和RtBCD中，分别解直角三角形求出AD、CD的长度，然后根据时间=路程÷速度即可求出需要的时间.

三角函数范文第10篇

为此我根据本校学生的实际情况特地安排了一节关于三角函数性质综合应用的复习课，让学生通过积极参与，在讨论中达到对此类型题总结方法的目的．

一、引入：有关函数y=Asin（x+）的单调性和最值等问题

在求解形如y=Asin（x+）或y＝Acos（x+）（其中A≠0，ω＞0）的函数的单调区间，我们常把ωx+视为一个整体t．当A＞0时y=Asin（x+）或y=Acos（x+）的单调区间所列不等式的方向与y=sint，y=cost对应的单调区间不等式方向一致；当A＜0时则相反．

例1：已知函数f（x）=sin（2x+）+1，x∈R. （1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值及取得最大值时x的值.

分析：我们设2x+=t，即把2x+=t看作一个整体，转化为求我们非常熟悉的函数y=sint的性质，这个过程我们称之为整体代换．它可以实现将复杂的问题简单化．

解：（1）设2x+=t.

函数y=sint的单调递增区间是[2k-，2k+]，k∈Z即2k－≤t≤2k+，k∈Z（整体代换），

2k-≤2x+≤2k+，k∈Z.

解得k-≤x≤k＋，k∈Z（还原），

故函数y=sin（2x+）+1，x∈R的单调递增区间为[k-，k+]，k∈Z.

注意：整体代换之后要再还原成原函数的性质.

（2）当t=+2k，k∈Z时，函数y=sint取得最大值1.

当2x+=+2k，k∈Z，即x=+k，k∈Z时（还原），函数y=sin（2x+）＋1，x∈R取得最大值+1.

注：整个过程自变量的变化为xtx.

变式：已知函数y=-sin（2x+）+1，x∈R，（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数的最大值及取得最大值时x的值.

分析：我们发现这道题目与例1相差仅一个符号，但解题方向刚好与例1相反．这是因为y=-sin（2x+）+1的图像与y=sin（2x+）+1的图像刚好相反，而y=sin（2x+）+1的单调性、最值方向又与y=sint一致，即y=－sin（2x+）+1与y=sint的单调性、最值方向相反．

解：（1）设2x+=t.

函数y=sint的单调递减区间是[2k＋，2k+]，k∈Z，

即2k＋≤t≤2k+，k∈Z（整体代换），

2k+≤2x+≤2k+，k∈Z，

解得k＋≤x≤k+，k∈Z（还原），

故函数y=-sin（2x+）+1，x∈R的单调递增区间为［kx＋，k＋］，k∈Z.

（2）当t=-+2k，k∈Z时，函数y=sint取得最小值-1.

当2x+=-+2k，k∈Z?圯x=-+k，k∈Z时（还原），函数y=-sin（2x+）+1，x∈R取得最大值+1.

二、化简后仍是有关函数y=Asin（x+）的单调性和最值等问题

回顾复习辅助角公式：asinx+bcosx=sin（x+），其中tan=，终点与点（a，b）同象限.

一般涉及三角函数的最小正周期、最大最小值、单调递增递减区间、对称轴、对称中心等，要通过三角恒等变形（采用倍角公式、平方降幂扩角公式或两角和与差的公式）将函数化归为单一的并且次数为一次的函数再进行求解．即通过三角变换化为形如y=asin+bcos型的三角函数来解决，通过引入辅助角化为y=Asin（x+）.

例2：已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R，＞0）的最小正周期是．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的值；（Ⅳ）求函数f（x）的对称轴、对称中心；（Ⅴ）求函数f（x）的奇偶性.

解：（Ⅰ）f（x）=2・＋sin2x=sin2x+cos2x+1

=（sin2xcos+cos2xsin）+1

=sin（2x+）+1.

由题设，函数f（x）的最小正周期是，可得=.

=1． f（x）=sin（2x+）+1

（Ⅱ）（Ⅲ） 的解答回归例1.

（Ⅳ）令2x+=k+，k∈Z，有x=+，k∈Z，

函数 f（x）的对称轴为x=+，k∈Z.

令2x+=k，k∈Z，有x=－＋，k∈Z.

函数 f（x）的对称中心为（-＋，0），k∈Z.

（Ⅴ）经学生讨论总结有以下三种解法：

方法1：作出 f（x）的图像可知 f（x）为非奇非偶函数.

方法2：f（-x）＝sin（－2x＋）＋1＝-sin（2x－）＋1，x∈R.

f（-x）≠f（x），f（－x）≠－f（x）.

f（x）为非奇非偶函数.

方法3： f（-）=1，f（）=+1，

f（-）≠f（），f（-）≠f（）.

f（x）为非奇非偶函数.