时间：2023-11-23 22:00:20
人教版四年级《教学》下册第80～82页。
二、教学过程
学生阅读课本第80 ～82页，然后提出问题：
1．在课本第80页情境图中，哪些物体上有三角形？（建筑框架上、吊车上发现三角形）
2．生活中有哪些物体上有三角形？（通讯接收塔、交通标志牌、高压电杆、晾衣架等）
3．三角形有什么特点？（学生可根据学习的体会进行合理猜测）
4．课本82页例3情境图中，小明同学去上学，他可以怎样走？在这n条路线中哪条最近？为什么？
学生互评：谁展示的问题最棒？为什么？
探究活动：每组4～6名同学自由组合，围绕以下活示动选题展开活动，并按活动报告单格式做好活动记录：
(1)发现三角形的特征。
步骤：①画，画出一个三角形； ②想，三角形有几条边？几个角？几个顶点？③小组交流，三角形有什么特点？④标示，让学生在自己画的三角形上尝试标出边、角、顶点；⑤概括，三角形的定义。（用自己的话说一说，你认为三角形的定义中哪些词最重要？）
(2)认识三角形的底和高。
步骤：①说，什么叫三角形的高？什么叫三角形的底？怎样表示三角形？（从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。）②画，三角形的一组底和高③小组讨论，三角形的一组底和高有什么关系？④量，量出三角形的一组底和高的长度分别是多少？⑤猜，你还能在这个三角形中画出其他底和对应的高吗？
(3)三角形的特性。
学生操作，然后评议交流。步骤：①准备学具，木条(或硬纸条)钉成的三角形、四边形；②小组实验，分别拉一拉学具，有什么发现？[三角形不容易变形，具有稳定性]③合作，把四边形怎样改动才不容易变形？④举例，生活中哪些地方应用了三角形稳定性的特性？
(4)三角形三条边的规律步骤：
①随意选取三根小棒摆一个三角形；②讨论，能摆成吗？满足什么条件才可以摆成？③发现规律；④验证。
教师评价： ( )小组在活动中( )，因为( )。分组汇报的形式对知识进行梳理。
(1)由三条线段围成的图形叫三角形。三角形有三个角、三条边、三个顶点。用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，这个三角形可以表示成ABC。
(2)三角形的一条底和其所对应的高互相垂直。
(3)三角形具有稳定性。
(4)三角形任意两边的和大于第三边。
打擂挑战赛：
(1)教师出题，学生抢答，积分多者为擂主。
①“有三条边、三个角、三个顶点的图形叫三角形。”这句话对吗？②房子的人字架为什么做成三角形？它利用了三角形的什么特性？③以下哪组中的三根小棒可以摆成三角形？为什么？④我们是否要把三条线段中的每两条线段都相加后才能作出判断？有没有快捷的方法？（用较小的两条线段的和与第三条线段的关系来检验。）
(2)学生发问，出题攻擂，挑战擂主。
1．评一评。
(1)自主评价，学生谈谈感受和收获，对自己在研究过程中的行为进行评价；
(2)多元评价，学生对自己组的表现进行评价，并说说理由；
(3)评价老师，老师在活动中哪些方面做得好，哪些地方还可以做得更好，为什么？
(4)老师的评价，鼓励为主，并有针对性地引导学生评价要客观。
2.练一练。
请学生独立完成课本第86页练习十四的第1～4题。
课后反思：
1．重视学生的感受，尊重学生的劳动，鼓励学生的自信心，让学生充分体验课堂的美、数学的美，把建立民主平等的新型师生关系化为实际行动；
2．课堂是师生智慧的发源地，既是教师创造奇迹、实现生命价值的主阵地，又是学生体验成功、形成创新精神和实践能力的主战场。要时刻注重学生已有的基础水平，因材施教，要留给学生思考的空间，形成积极参与、快乐体验、合作学习、正确评价、思维活跃的良好氛围；
3．高效的课堂源于师生、生生之间的和谐交流，只有让爱心充满课堂，教师才会用心去引导学生品味数学，用兴趣去唤起学生的求知欲，用责任去促进学生全面、和谐、健康发展。
1、等腰直角三角形的性质：
等腰直角三角形是特殊的等腰三角形（有一个角是直角），也是特殊的直角三角形（两条直角边等），因此等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质（如三线合一、勾股定理、直角三角形斜边中线定理等）。
当然，等腰直角三角形同样具有一般三角形的性质，如正弦定理、余弦定理、角平分线定理、中线定理等。等腰直角三角形三边比例为
2、等腰直角三角形是特殊的等腰三角形，有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质。
（来源：文章屋网 ）
[文献标识码]A
[文章编号]2095-3712（2014）30-0045-02[ZW（N]
[作者简介]李春荣（1972―），男，江西宁都人，本科，江西省赣州市宁都县田埠中心小学教师，小学特高级，江西省第一批中小学骨干教师。
2014年3月，在全县课堂教学改革的浪潮中，学校召开了课改动员大会，把四年级设为课改实验年级，要求教师把课堂还给学生，积极倡导自主、合作、探究的学习方式，使学生成为学习的主人，教师成为学生学习的组织者、引导者、合作者。因此，教师必须在课前做足功夫，认真钻研教材、设计教案、制作课件……这对教师的教学提出了更高的要求。在这种形势下，笔者不断努力学习教育教学理论，学习新课标内容，并在学校的安排下到武汉常青实验小学等学校学习参观，对新一轮课堂教学改革有了新的认识。笔者执教了一节学习汇报课（课改实验课、课题研究课）《三角形的特性》，下面是对这节课的反思。
一、根据需要，创造性地运用教材
我们在使用教材时，不但要遵循课本内容，还要在此基础上挖掘教材、整合教材，使课堂教学设计更适合自己的学生。四年级《三角性的特性》一课，教材先安排学生画三角形，说说三角形的特征，概括出三角形的定义，再学习三角形的高和底，以及怎么画三角形的高等。为了表达方便，我们用A、B、C分别表示三角形的三个顶点，可以表示成三角形ABC，最后学习三角形的特性。在教学设计时，笔者对教学内容的呈现进行了重新编排。笔者先让学生画自己喜欢的三角形，认识三角形的特征，在感性认识了三角形后，让学生概括出了三角形的定义。接着让学生动手操作，让一位学生拿着平行四边形框架，一位同学拿着三角形框架，到讲台展示：用手拉一拉，提问：“你发现了什么？”三角形的稳定性在对比中不言自明。这样有利于学生把三角形的特征和特性联系起来，更好地理解三角形的稳定性这一特性。在教学三角形的高和底及怎么画高时，笔者先教学三角形顶点用字母表示的方法，以更好地表述三角形每个顶点所对应的边及在画高时高和底的对应关系，学生较好地理解了三角形高和底的概念，掌握了三角形画高的方法，这便有效地突破了教学难点。
二、先学后导，引导学生自主学习
“以学生的发展为本”是新课程理念的最高境界。因此，在教学过程中，教师应始终把学生放在主体的位置上，在教学过程的设计、教学方法的选用等方面，都应从学生的实际出发，在课堂上最大限度地让学生动口、动手、动脑，调动学生的主动性和积极性，促进学生主动参与、主动探索、主动思考、主动实践。本节课笔者在课前安排了学生预习，设计了“课前问题生成单”，要求学生对本节课内容提出1～3个有价值的数学问题。教学时，在出示课题后，根据学生的汇报归纳出三个问题：1.什么是三角形；2.三角形有什么特性；3.什么是三角形的高和底及怎么画高。然后根据这三个问题设计了三个“自学指导”，学生先根据自学指导中的问题及要求进行自主学习、合作交流、展示汇报，教师给足学生思维的时间和空间，对于学生在探索过程中遇到的困难和出现的问题在小组中解决不了时，教师进行适时、有效的引导、点拨。这样，教师把学习的主动权交给学生，让学生主动尝试、观察、分析、操作，从而分享数学体验、发现、探究的乐趣。在这样的课堂里，学生牢固掌握了三角形的概念，深刻理解了三角形的特征，懂得了什么是三角形的高和底，轻松掌握了三角形高的画法，教师成为了学生学习的引导者、组织者和合作者。
三、合作学习，培养学生合作意识
课堂教学改革是新课改的主渠道。“构建小组，合作学习”又是课堂教学改革的重要理念。这节课，笔者为了充分利用小组讨论、合作交流的学习方式，主要安排了三个合作学习环节。一是在概括三角形的定义时，先让学生“画一画”，画出一个自己喜欢的三角形；再让学生“说一说”，说说三角形有什么特征；接着让学生“认一认”，认识什么样的图形才是三角形；最后让学生“小组讨论，合作学习”：什么样的图形叫做三角形（怎样给三角形定义）？二是由两个学生分别拿着三角形和平行四边形构架上台拉一拉，在学生发现三角形具有稳定性的特性时，提出：要使这个平行四边形不易变形，你有什么办法？三是在三角形内怎样画高的。笔者先让学生学习了顶点和边、高和底的对应关系后，再由画平行四边形的高迁移到画三角形的高，由于学生通过前面的“操作、思考、比较、发现、迁移”等，以及教师的“引导、点拨”，学生的讨论有了基础，讨论过程民主有序，热烈有效。以上这些做法极大地调动了学生的参与性和积极性，而且也培养了学生的合作意识。
四、巧用课件，构建优质数学课堂
新课改中的课堂教学要求将大容量的知识呈现给学生，还要求把课堂还给学生，让学生成为学习的主人，学生的学习主要通过自主学习、合作交流、主动探索、展示汇报来完成，教师在关键时刻起引导、指导、点拨的作用。因此，教学中教师应留给学生足够的思考时间和空间，这样就为多媒体课件应用于课堂教学提供了广阔的舞台。在这节课中，不论是“学习目标”的出示，还是“自学指导”“巩固练习”的出示，还有学生的“思维过程”“重要概念”等，都是用多媒体课件呈现的。多媒体呈现不但有音响、动画、色彩的效果，还大大节约了时间，学生能够用更多的时间参与到新知识的探索、交流、汇报及展示中。特别是在教学重难点的突破中，多媒体课件发挥了特有的作用。这样，教师利用多媒体教学构建了优质数学课堂，学生牢固地掌握了三角形高的画法，课堂也变得轻松、活泼、有趣、高效。
五、学以致用，培养学生应用意识
单元总体目标：
1.认识三角形各部分的名称、三角形的底与高、三角形的两边之和大于第三边，三角形的内角和是 180 度等。
2.通过对比了解三角形的不同类型。
3.通过观察、探究、操作的过程，认识三角形的特征及分类。
4.培养学生乐于探究、乐于实验的科学精神，培养学生的合作交流和空间观念。
本单元共用 6 课时完成教学
第一课时：认识三角形 例1、例2及课堂活动，练习九1-4
第二课时：认识三角形 例3课堂活动1题及练习十1-3
第三课时：认识三角形例4 课堂活动2题及练习十4-8题
第四课时：三角形的分类例1及课堂活动1题及练习十一1-4
第五课时：三角形的分类例2、3及课堂活动2-4题及练习十一5-8
第六课时：整理与复习 及练习
单元教学重点：三角形的特征及三角形的底与高。这是探究三角形边的关系、三角形的内角和三角形面积计算等的基础，因此是教学的重点。
单元教学难点：发现和体会”三角形任意两边之和大于第 3 边“及”三角形的内角和是 180°。
第一课时
教学目标：1、通过观察、折、画认识三角形的特征和特性。
2、指出三角形边、角、定点、会辨认出三角形的底和高。
教学例1：认识三角形的特征，用自己的语言说出什么的三角形。认识三角形的特性：三角形不容易变形的这种性质就是三角形的稳定性。
教学例2：认识三角形的底和高
1、认识底和高：检查方法：拿一个锐角三角形。折痕的一端过三角形的顶点，另一端所指的边被分为两段，折后这两段要重合。
2、三角尺画三角形的高。
第二课时
教学目标：实验操作中探索三角形3条边之间的关系，通过操作了解“三角形两边之和大于第三边”。
教学例3：探索三角形三条边的关系。课前准备好不同长短的小棒或吸管，学生动手操作实验，并完成实验表格，在围成的三角形中，两边之和与第3边比较发现：三角形任意两边之和大于第三边。
第三课时
教学目标：探索三角形内角和等于180°的过程。通过猜想、验证了解“三角形内角和等于180°
教学例4：方法：1、通过量一量，加一加2、撕一撕，评一评等方法验证三角形的内角和都是180°。
思考：三角形的内角和与三角形的大小有关系吗？
第四课时
教学目标：知道三角形按内角的大小可分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。在操作中去认识各种类别的三角形及其特征。
教学过程：出示例1中的6个三角形。
提出要求：
（1）观察每个三角形中3个角分别是什么角？（不易观察的要用量角器度量）
（2）根据角的特点对这些三角形进行分类，并思考这样分的依据。
（3）给同桌同学讲一讲，你是怎样分的？为什么要这样分？
教师：为什么这里说“有1个角是直角的三角形叫做直角三角形”，想一想，在一个三角形里面能不能有2个直角呢？在一个三角形里面能不能有2个钝角呢？
第五课时
教学目标：了解等腰三角形、等边三角形的特征。
教学：
1、将红领巾或小彩旗对折，你有什么发现？
发现：（1）两条边相等。（2）两个角相等。（3）是轴对称图形。
教师：是不是所有的三角形对折后都是这样的呢？请拿出自己随意剪的三角形，进行对折，看有没有这些特征。
2、教学等腰三角形各部分的名称。
3、探索等边三角形的特征
出示例3 按要求剪三角形。
（1）将一张长方形纸对折。
（2）用量角器量30°的角。
（3）剪三角形。
（4）展开。
2、仔细观察手中的三角形的角和边，也可以动手折一折或用直尺和量角器量量，看有什么发现？
3、在小组里面交流自己的发现并说出你是怎样发现的。
4、反馈：
（1）3条边相等。
（2）3个角相等，都是60°。
（3）是轴对称图形。
（4）锐角三角形。
教师：像这种3条边相等的三角形，我们给它取个名字叫做等边三角形。
教师：闭上眼睛想一想，等边三角形是什么样子的,有什么特征？
1考查类型
1.1三角代数式求值。它主要依据基本关系式、诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、异名化同名公式进行化简，并应用三角函数定义及特殊三角函数值求解。如：
例1（2007年宁夏）若cas2asin（a-π4）=-22，求cosa+sina的值。
例2 （2011年宁夏）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，求cos2θ。
[评析]：例1、例2考查三角函数的定义，三角恒等变化，要注意识别公式。
1.2函数性质。主要考查定义域、值域、周期性、对称性、单调性及奇偶性。通常也是象求三角代数式的值一样要先进行化简。
例3（2010年宁夏）求函数f （x）=2sinxcosx的最小正周期并判断它的奇偶性。
例4（2012年宁夏）当函数y=sinx-3cosx，（0≤x
例5 （2011年宁夏理11）设函数
f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）（ω>0，|φ|
[评析]：例3～例5考查三角函数简单恒等变换和性质（周期性、奇偶性、周期性、对称性、最值）.
1.3y=Asin（ωx+φ）+k的图像。这类图象主要考查五点作图法及图象变换，解决此类问题的关键是理解A，ω，φ的意义，特别是ω对φ的影响（分先周期后相位、先相位后周期两种类型）。
例6（2010全国卷）为了得到函数y=sin（2x-π3的图象，只需把函数y=sin（2x+π6的图象向____平移____个长度单位 。
1.4解三角形。此类问题题主要考查三角函数在三角形中的利用. 解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理.
例7（2010年宁夏）在ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长.
[评析]：第一步，在ADC中，利用余弦定理求出得∠ADC；第二步，在ABD中，直接应用正弦定理，求出AB的长。
例8 （2012年宁夏）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+3sinC-b-c=0。
（1）求A；（2）若a=2，ABC的面积为3；求b，c。
【解析】：（1）由正弦定理将边换成角，化简三角式即可求出A；（2）由正弦、余弦定理列方程组，求出b，c.
例9（2007年宁夏）要测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB。
【解析】：第一步，在BCD中，利用正弦定理求出BC的长；
第二步，在RtABC中，|AB|=|BC|tanθ。
2三角函数高考试题特点
2.1三角函数的化简和求值是常考题型。它往往出现在小题中，或者是作为解答题中的一小问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质.着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法。
2.2三角函数的图象和性质是考查的重点也是难点。近年来高考降低了对三角变换的考查要求，会加大对三角函数图象与性质的考查力度，从而使三角函数的图象和性质成为高考的一个热点，是三角解答题的主要题型，具有一定的灵活性和综合性.同时，周期及对称问题以及三角函数单调性仍是高考的重点。
2.3考查三角函数的性质的灵活运用能力。 由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处设计三角题。综合考查学生对三角函数恒等变换，三角函数图象和性质的灵活运用能力，学习和复习时应引起高度重视。
纵观六年来三角函数高考的命题趋于稳定，命题的背景虽有变化，但总的来说仍属常规题，难度为基础题、中档题.三角函数解答题在复习时应着重备考向量与三角的整合以及解三角形与三角公式整合的题型。
3三角函数复习建议
高中数学三角函数内容由于公式多，性质多，且考题变换灵活等特点，建议同学们复习本章时应注意以下几点：
3.1加强对公式的记忆。对教材所列公式自己推导一遍，通过公式推导了解它们的内在联系从而培养逻辑推理能力。并抓住公式特点进行记忆。着重理解实记：三角函数定义及特殊三角函数值、基本关系式、诱导公式、两角和与差公式、倍角公式、异名化同名公式。
[摘要]利用电教媒体的直观，形象的感性特点，对学生进行发散性思维训练和变式思维训练，培养学生思维的求异性、敏捷性和灵活性，鼓励学生从多方面思考问题，提出多种设想，从而找到最好的解决问题的新方法。并且促进学生的创造性思维能力的发展，扩大学生视野，发展学生发散性思维。
[关键词]电教媒体 发散思维 求异性 变式思维
发散思维指人根据当前课题条件和已有经验，沿着不同的方向去思考，产生大量的设想，进而提出独特的见解。发散思维能产生新的独特的思想，因而是创造性思维的重要成分。当前我国儿童定势思维特别严重，他们往往以比较固定的方式去认知事物或作出行为反应，这是令广大教师头痛的问题，也是正在努力攻克的一个“堡垒”。因而发展儿童发散思维对培养创造性思维，使其成长具有重要意义，在解决问题时，教师若运用电教媒体的直观、形象的感性特点，鼓励儿童从多方面思考问题，提出多种设想，从而找到最好的解决问题的新方法。
一、利用电教媒体，进行发散性思维训练，培养学生思维的求异性。
利用电教媒体进行发散性教学是培养求异思维有效途径，对同一思维对象不拘泥于唯一方案，可以从不同角度，以不同分式求解，特别是一题多解的训练，对培养几种思维的敏捷性和变通性更有深刻意义。例如：在推导三角形面积公式的教学时，教师运用多媒体直观的优势，让学生将自己所拼合的图形在投影仅上演示出来，从而帮助学生形成概念。
1、有的同学利用割补法，将映出的两个完全重叠的三角形其中的一个沿它的“高”剪开旋转，拼成一个长方形。拼成的长方形面积是底×高（ah），只计算其中的一个三角形面积，所以是底×高/2（ah/2），即是三角形的面积计算公式。
2、有的同学会映出所画的另一张图片，也是两个完全重叠的三角形，将其中的一个旋转，让两个三角形拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形面积是：底×高（ah），只计算其中一个三角形的面积，所以三角形面积计算公式是：底×高/2（ah/2）。
3、还可以引导学生从旋转拼合角度去想，映出学生的图片，如先映出一个三角形，用直尺找到底边的中点，从这点作三角形另一边的平行线，割下原三角形的一部分，再将这部分向上旋转，与原三角形拼成一个平行四边形，这个平行四边形底边是原三角底边长的一半，高是原三角形的高，面积也是原三角形的面积，所以三角形面积是底/2×高（a/2×h，即ah/2）。
4、也可以映出另一张图片,从三角形高的中点作底边的平行线,割下原三角形上面的一部分,旋转下来与原三角形下面那部分拼成一个平行四边形,从而也可以得出: 底×（高/2）、[即a×(h/2)，即ah/2]。
总之，虽然有四种迥然不同的拼合方法，但得出的计算三角形面积的公式是底×高/2（ah/2）。通过学生自己的演示,自然反馈出学生不同的积极思维过程.不仅帮助学生理解了为什么用底×高/2来计算三角形的面积而且形成了概念,发展了学生的实际动手操作能力,更重要的是还对学生进行了一题多解的创造性思维训练.
二、利用电教媒体，采用变式思维训练,培养学生思维敏捷性、灵活性。
在教学中有目的地运用电教媒体进行变式训练，对培养学生思维的灵活性，会起到更好的作用。变式思维训练方式很多，其中一题多变就是数学中常用方式，如利用多媒体直观教学那种新颖、快捷、多变的特点，在计算图形面积时（如图）直接在原图上进行割、补、拼并进行诱导，使学生对同一道找出多种解题思路，产生愉快积极的情绪体验，引起学生充分注意，从而锻炼和培养了思维灵活性。
(1) (2) (3) (4) (5)
所谓旋转是将一个图形绕一个定点（旋转中心）沿某一个方向转动一个度数（旋转角度），这样的图形运动称为旋转。旋转的基本性质是不改变图形的形状和大小，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连结所成的角都等于旋转角度。下面是本人在平时教学中的点滴积累，与大家一起探讨。
一、正三角形的旋转应用
例1：如图，ABC是边长为1的等边三角形，BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°以D为顶点作∠MDN=60°，角的两边分别交AB、AC于M、N，连结MN，求AMN的周长。
分析：从已知可以看到，M、N分别是AB、AC上的动点，即AM、AN、MN长并不是固定不变的，所以要解决AMN的周长无法从AM、AN、MN长着手，只能把它转化到等边三角形的边长上。从等边ABC和顶角为120°的等腰BDC中可发现，把MBD绕点D按顺时针方向旋转120°后，DB与DC重合，可以证出点MN对称点E在AC的延长线上，从而得出DMN≌DEN，得出MN=EN，这样即可把AMN的周长转化到了AB+AC的值。本题的解答中也体现了转化思想和整体思想。
解：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形且∠BDC=120°
把MBD绕点D按顺时针方向旋转120°，点B与点C重合，记点M的对应点为点E，由旋转可知：∠MBD=∠ECD，在正ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，在等腰BDC中，∠BDC=120°，DB=DC ，∠DBC=∠DCB=30°，∠MBD=∠NCD=∠ECD=90°，点E在AC的延长线上，即N、C、E三点在一直线上，由旋转性质可知：DM=DE，CE=BM，∠BDM=∠CDE，∠MDN=60°，∠BDC=120°，∠BDM+∠NDC=60°，∠NDE=∠NDC+∠CDE=∠NDC+∠BDM=60°=∠MDN，
DMN≌DEN，MN=NE，AMN的周长=AM+MN+AN
=AM+NE+AN=AM+CE+CN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC在正
ABC中，AB=AC=1，AMN的周长=AB+AC=2。
例2：已知如图，点P是正ABC内一点，且PB∶PC∶PA=3∶4∶5，求∠BPC的度数。
分析：从PB∶PC∶PA=3∶4∶5 让我们很快联想到直角三角形的勾三股四弦五，而这三条线段并没有组成一个三角形，因此我们将其中两条线段所在的三角形旋转一个特殊角度，使得这三条线段组成三角形，而等边三角形又为旋转提供了很好的条件。
解：由PB∶PC∶PA=3∶4∶5可设PB、PC、PA长分别为3a、4a、5a，把ABP绕点B按顺时针旋转60°可得BDC，连结PD，由旋转可知：ABP≌CBD，DC=PA=5a，BP=BD=3a，∠PBD=60°。
BPD为等边三角形
PD=PB=BD=3a，∠BPD=60°
又DC=PA=5a，PC=4a
DC2=PD2+PC2
∠DPC=90°
∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+90°=150°
以上两个例题充分利用了等边三角形边角的特殊性质和旋转不变性，将分散的已知条件通过旋转进行转化，从而将问题简单化。对于等边三角形较难的计算题，我们可以用旋转方法来解决。
二、正方形中的旋转应用
例3:已知，点P是正方形ABCD内一点，且PA=1、PB=2、PC=3 ，求∠APB的度数。
分析：在特殊的正方形中告诉我们三条线段长，要求出角的度数，无非是利用特殊三角形的内角，而这三条线段没有在同一个三角形中，因此可将ABP绕点B按顺时针旋转90°到CBE，连结PE，就可以构造两个特殊的三角形，来求出∠BEC，从而就可以求出∠APB的度数。
解把ABP绕点B按顺时针旋转90°到CBE，连结PE。由旋转可知：ABP≌CBE，∠PBE=90°，BP=BE=2，AP=CE=1，∠APB=∠CEB，
PBE是等腰直角三角形，且∠PEB=45°，PE=2√2 在PEC中，PE=
2√2，EC=1，PC=3，
PC2=PE2+EC2，∠PEC=90°
∠BEC=∠BEP+∠PEC=45°+90°=135°
∠APB=∠CEB=135°。
例4：在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD，若BC+CD=8，求四边形ABCD的面积。
分析：本题要求四边形ABCD的面积无法直接求出，也无法把四边形的面积转化为三角形的面积之和。从已知AB=AD，∠BAD=∠C=90°，可得∠B+∠ADC=
180°，如果过点A作AEBC于E，利用已知条件再把ABE绕点A旋转按逆时针旋转90°，利用∠B+∠ADC=180°，就可以把四边形ABCD的面积转化到四边形AECF的面积，而从已知条件和旋转又可以证出四边形AECF是正方形，这样求正方形AECF的面积就容易了。
解：过点A作AEBC于E，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，∠B+∠ADC=180°，又AB=AD，把ABE绕点A旋转按逆时针旋转90°得ADF，由旋转可知：ABE≌ADF，∠B=∠ADF，∠AEB=∠F=90°AE=AF，BE
=DF。
∠B+∠ADC=180°
∠ADF+∠ADC=180°
C、D、F在一直线上
S四边形ABCD=S四边形AECD+SABE=S四边形AECD+ SADF =S四边形AECF，在四边形AECF中，∠AEC=∠C=∠F=90°且AE=
AF。
四边形AECF是正方形
CF=CE
BC+CD=8
BE+EC+CD=DF+EC+CD=EC+CF
=8
CE=CF
CE=CF=4
S正方形AECF=CE2=16
S四边形ABCD =16
以上两题抓住了正方形角的特殊性，为旋转提供了很好条件，当然把所求的问题也简单化。
本文以“三角形三边关系”教学片段为例,说明数学概括能力培养的过程性,以及对数学对象进行概括所要经历的几个阶段。
一、观察阶段
同桌两名同学合作,一个拿小棒,一个摆三角形。要求学生从长3 cm、3 cm、5 cm、7 cm、8 cm小棒中任意选出三根小棒围三角形,将可能想到的选法都整理到一张表格中。
学生活动整理表格(如下)
■
全班交流,得出(2)(3)(5)这三组小棒都围不成三角形,其余组可以围成。
为了对三角形三边关系进行数学概括,首先应该观察若干实例。观察就是从所给数学材料的形式和结构中,辨认出对解决问题有效的成分,找到事物的主要特征和关键之处,从而把握事物的本质和内在联系。在上面的环节中,通过选小棒围三角形的情境,学生在合作摆三角形、整理数据的过程中,发现不同的数据组合影响了围三角形的结果。而围成或围不成都与三角形的三条边长度有关。
二、抽取阶段
引导学生对比分析(2)(3)(5)不能围成的情况,用课件演示第(2)种情况3、3、7,学生观察小结:“3+3=6,比7还少1厘米”。类比第(3)种情况3、3、8,学生推理“3+3=6,离得更远了,更不能围成。”第(5)种情况3、5、8,学生演示、争论、辅助课件动态演示、引导想象,发现两短边之和小于或等于第三边都不能围成三角形。进一步引导学生将(2)(3)(5)与另四种能围成三角形的情况对比,思考:三根小棒在什么情况下才能首尾相连围成三角形?学生概括如下:1.第三条边的长度一定要小于另外两条边的和;2.最短的两条边加起来要比另一条边长;3.两条边加起来的和要大于第三条边。
在上述教学中,通过分析、比较等手段,找到事物的本质特征。在本例中,抽取需要回答的问题是:表中的(1)(4)(6)(7)这四种能围成三角形的情况,相应的三边的长度有什么共同特征?我们可以直接研究这四种情况,也可以通过将这几种情况与(2)(3)(5)比较研究,从而把能围成三角形的三边长度的共同特征抽取出来。在研究(2)和(3)两种情况的过程中,让学生将两条短边之和与长边进行比较。在上面过程中,学生经历动手操作、列表整理、观察比较,发现三角形的三边关系即“两短边之和与长边的关系”。这是在类比中形成的初步概括。
三、推广阶段
教师先引导学生思考:是不是所有的三角形都具有这样的性质?如何研究这个问题?学生想到要举更多的例子来证明。在进一步举例验证的过程中,引导学生注意所举例要有广泛的代表性,比如按锐角三角形、钝角三角形和直角三角形分类举例,分组验证。接着教师出示三边长度(单位为cm)分别为:10、13、15的三角形。得出三道算式10+13>15,10+15> 13,13+15>10引导学生发现“两边之和大于第三边”指的是任意两边。
推广阶段要解决的是如何将特殊推广到一般,要让学生感受到本例中所有三角形都符合“任意两边之和大于第三边”这一结论,而不仅限于我们在观察与抽取阶段研究过的那些三角形。从小棒围三角形的数据观察——特殊三角形的三边关系发现——一般情况三角形的特征推理,学生经历了以上三个阶段的概括过程。学生的概括也由特殊到一般,从不完整到逐渐完善。
四、确认阶段
通过将三边关系的结论与三角形图形进行比较,让学生认识到,这个结论能确认三角形三边关系。
出示一些数据,判断以每组中的三个数据为长度的线段,能否围成三角形,进一步提问:有些同学判断的速度非常快,有什么窍门和大家分享吗?进而引导学生发现:只要最短两条边的和大于长边就可以围成三角形。
在前面的观察、抽取、推广等阶段所使用的方法大都是合情推理,带有假设的成分,所以概括出的数学对象的本质属性及共同特征,仍需要在符合学生认识水平的前提下,尽可能用科学的方法进行检验或证明。在本环节中,首先通过对一个一般三角形图形的分析,让学生把“三角形任意两边大于第三边”与“连接两点的折线长度大于线段长度”联系起来,从而进一步确认三角形三边关系。再通过一组判断题的练习及进一步讨论,抓住问题本质属性,引导学生进一步优化出两条短边之和大于第三边。
由此可见,让学生经历观察——抽取——推广——确认的四个阶段,是让概括能力成长的有效途径。(作者单位:江苏省泰兴市鼓楼小学)■