三角函数范文

三角函数篇1

1．角函数的计算和证明问题

在解三角函数问题之前，除了熟知初三教材中的有关知识外，还应该掌握：

（1）三角函数的单调性当a为锐角时，sina与tga的值随a的值增大而增大；cosa与ctga随a的值增大而减小；当a为钝角时，利用诱导公式转化为锐角三角函数讨论.

注意到sin45°=cos45°=,由(1)可知,当时0＜a＜45°时,cosa＞sina;当45°＜a＜90°时,cosa＜sina.

(2)三角函数的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意实数值（这一点可直接利用三角函数定义导出）.

例1（1986年全国初中数学竞赛备用题）在ABC中，如果等式sinA+cosA=成立，那么角A是（）

（A）锐角（B）钝角（C）直角

分析对A分类，结合sinA和cosA的单调性用枚举法讨论.

解当A=90°时，sinA和cosA=1；

当45°＜A＜90°时sinA＞，cosA＞0，

sinA+cosA＞

当A=45°时，sinA+cosA=

当0＜A＜45°时，sinA＞0,cosA＞

sinA+cosA＞

1,都大于.

淘汰（A）、（C），选（B）.

例2（1982年上海初中数学竞赛题）ctg67°30′的值是（）

（A）-1（B）2-（C）-1

（D）（E）

分析构造一个有一锐角恰为67°30′的Rt，再用余切定义求之.

??表省级期刊，部级期刊face=Verdana>解如图36-1，作等腰RtABC，设∠B=90°，AB=BC=1.延长BA到D使AD=AC，连DC，则AD=AC=，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.这时，

ctg67°30′=ctg∠DCB=

选(A).

例3(1990年南昌市初中数学竞赛题)如图,在ABC中,∠A所对的BC边的边长等于a,旁切圆O的半径为R,且分别切BC及AB、AC的延长线于D，E，F.求证:

R≤a·

证明作ABC的内切圆O′,分别切三边于G,H,K.由对称性知GE=KF(如图36-2).设GB=a，BE=x，KC=y,CF=b.则

x+a=y+b,①

且BH=a,BD=x,HC=y,DC=b.于是,

x-a=y-b.②

①+②得,x=y.从而知a=b.

GE=BC=a.

设O′半径为r.显然R+r≤OO′(当AB=AC)时取等号.

作O′MEO于M,则O′M=GE=a,∠OO′M=

R+r≤

两式相加即得R≤.

例4（1985年武汉等四市初中联赛题）凸4n+2边形A1A2A3…A4n+2（n为自然数）各内角都是30°的整数倍，已知关于x的方程：

x2+2xsinA1+sinA2=0①

x2+2xsinA2+sinA3=0②

x2+2xsinA3+sinA1=0③

都有实根，求这凸4n+2边形各内角的度数.

解各内角只能是、、、，

正弦值只能取

当sinA1=时，sinA2≥sinA3≥

方程①的判别式

1=4（sin2A1-sinA2）≤440

??职称QQ:455265204Tface=Verdana>方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1≠.

当sinA1=时，sinA2≥，sinA3≥，

方程①的判别式

1=4（sin2A1-sinA2）=0.

方程①无实根，与已知矛盾，故sinA1=.

综上所述，可知sinA1=1，A1=.

同理，A2=A3=.

这样其余4n-1个内角之和为这些角均不大于

又n为自然数，n=1,凸n边形为6边形,且

A4+A5+A6=4×

2.解三角形和三角法

定理

推论设a、b、c、S与a′、b′、c′、S′.若

我们在正、余弦定理之前介绍上述定理和推论是为了在解三角形和用三角函数解几何题时有更大的自由.

（1）解三角形

例5（第37届美国中学生数学竞赛题）在图36-3中，AB是圆的直径，CD是平行于AB的弦，且AC和BD相交于E，∠AED=α,CDE和ABE的面积之比是().

(A)cosα(B)sinα(C)cos2α(D)sin2α(E)1-sinα

解如图，因为AB∥DC,AD=CB,且CDE∽ABE,BE=AE,因此连结AD，因为AB是直径，所以∠ADB=在直角三角形ADE中，DE=AEcosα.

应选(C).

例6(1982年上海初中数学竞赛题)如图36-4,已知Rt斜边AB=c,∠A=α,求内接正方形的边长.

解过C作AB的垂线CH，分别与GF、AB交于P、H，则由题意可得

又ABC∽GFC，，即

（2）三角法.利用三角知识（包括下一讲介绍的正、余弦定理）解几何问题的方法叫三角法.其特点是将几何图形中的线段，面积等用某些角的三角函数表示，通过三角变换来达到计算和证明的目的，思路简单，从而减少几何计算和证明中技巧性很强的作辅助线的困难

例7（1986年全国初中数学竞赛征集题）如图36-5，在ABC中，BE、CF是高，∠A=，则AFE和四边形FBCE的面积之比是（）

（A）1∶2（B）2∶3（C）1∶1（D）3∶4

解由BE、CF是高知F、B、C、E四点共圆，得AF·AB=AE·AC.

在RtABE中，∠ABE=，

SAFE∶SFBCE=1∶1.应选(C).

例8(1981年上海中学生数学竞赛题)在ABC中∠C为钝角,AB边上的高为h,求证:AB＞2h.

证明如图36-6,AB=AD+BD=h(ctgA+ctgB)①

∠C是钝角,∠A+∠B＜,ctgB＞ctg(-A)=tgA.②

由①、②和代数基本不等式，得

例9（第18届国际数学竞赛题）已知面积为32cm2的平面凸四边形中一组对边与一条对角线之长的和为16cm.试确定另一条对角线的所有可能的长度.

解如图36-7，设四边形ABCD面积S为32cm2，并设AD=y,AC=x,BC=z.则x+y+z=16(cm)由但S=32，sinθ=1,sin=1,且x-8=0.故θ==且x=8,y+z=8.这时易知另一条对角线BD的长为此处无图

例10(1964年福建中学数学竞赛题)设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，整数n≥3,求证:an+bn＜cn.

分析如图34-8,注意到RtABC的边角关系:a=csinα＞0,b=ccosα＞0,可将不等式转化为三角不等式sinnα+cosnα＜1来讨论.

三角函数篇2

一、深入理解锐角三角函数的概念

1.理解锐角三角函数的定义.

（1）正切、正弦和余弦的概念是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，没有单位，其大小只与角的大小有关，与其所在的直角三角形的大小无关；

（2）在RtABC中，∠C=90°，锐角三角函数值[ab]、[ac]和[bc]都随锐角A的大小变化而变化，也都随锐角A的确定而唯一确定，因此它的大小仅与角的大小有关，而与所在的直角三角形的边的长短无关；

（3）正切tanA、正弦sinA和余弦cosA是一个完整的符号，tanA不是tan与A的积，离开了∠A，“tan”就没有意义了，只有合起来，tanA才表示∠A的正切，sinA、cosA也是如此；

（4）符号tanA表示∠A的正切，在符号tanA中，习惯省去角的符号“∠”，当用希腊字母α、β等表示角时，其正切中角的符号习惯上也省去，但当用三个英文字母或阿拉伯数字表示角时，角的符号“∠”不能省略，sinA、cosA也是如此，如tanα、sin∠ABC、cos∠1等.

2.应用锐角三角函数的定义.

例1 （2016・甘肃兰州）在RtABC中，∠C=90°，sinA=[35]，BC=6，则AB=（ ）.

A.4 B.6 C.8 D.10

【分析】先画出图形，如图1，在RtABC中，由锐角三角函数定义表示出sinA，将sinA的值与BC的长代入即可求出AB的长.

【评注】熟练掌握锐角三角函数的基本概念是解好本题的关键，做题时边读题边画一个直角三角形，数形结合、看图说话，可避免主观出错.

二、理解记忆特殊角的三角函数值

任意角的三角函数值都可以由计算器获取，但由于特殊角的三角函数值常见常用，所以应当记忆，这样便于我们运用它们进行计算、求值和解直角三角形.

另外，观察表格，我们还有收获.横着看：正弦值、正切值，随着角度的增大而增大（其中tan30°?tan60°=1=tan45°）；余弦值，随着角度的增大而减小.这个规律是不是一般规律？对所有的锐角三角函数都成立吗？有兴趣的同学可借助于计算器验证一下自己的发现.竖着看：sin45°=cos45°；斜着看：sin30°=cos60°，sin60°=cos30°.学习数学，要善于观察、思考，这样才能不断提升自己.

例2 式子2cos30°-tan45°-[1-tan60°2]的值是（ ）.

A.[23]-2 B.0 C.[23] D.2

【分析】将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案.原式=2×[32]-1-[1-3]=0.

【评注】本题考查了特殊角的三角函数值，因此，一些特殊角的三角函数值需要我们在理解的基础上熟练记忆.

例3 已知tanA=[23]，∠A为锐角，则∠A的取值范围是（ ）.

A.0°

C.45°

【分析】要确定∠A的取值范围，只要确定[23]在哪两个特殊角的三角函数值之间即可.因为[33]

【评注】解答本题不仅要熟记特殊角的三角函数值，还要理解“锐角三角函数的正切值随着角度的增大而增大”这个规律.

三、解直角三角形及其应用

1.直角三角形各元素之间的关系.

如图2，在RtABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A的对边、∠B的对边和∠C的对边.除直角外的五个元素之间有如下的关系：

三边之间的关系：a2+b2=c2；

两个锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；

边角之间的关系：sinA=cosB=[ac]；cosA=sinB=[bc]；tanA=[1tanB]=[ab].

2.解直角三角形的基本类型及解法.

由此我们知道：在直角三角形的六个元素中，除直角外的五个元素，只要知道两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素.解直角三角形的知识广泛应用于生活，尤其在测量过程中用于计算距离、高度、长度和角度等.

例4 （2016・江苏苏州）如图3，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（ ）.

A.[23]m B.[26]m

C.（[23]-2）m D.（[26]-2）m

【分析】先在RtABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在RtACD中利用正弦的定义计算AC即可.

【解答】在RtABD中，sin∠ABD=[ADAB]，

AD=4sin60°=[23]m，

在RtΔACD中，sin∠ACD=[ADAC]，

AC=[23sin45°]=[26]m，故选B.

【点评】解直角三角形的关键是抓住已知条件，利用已知的边和角求出未知的边，进而解决问题.

例5 （2016・四川巴中）一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图4所示，则下列关系或说法正确的是（ ）.

A.斜坡AB的坡度是10°

B.斜坡AB的坡度是tan10°

C.AC=1.2tan10°米

D.AB=[1.2cos10°]米

【分析】坡度反映了斜坡的陡峭程度（这个度的意义不是角度），它是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，是一个比值，一般用i表示，常写成i=h∶l的形式.把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=tanα.

【解答】根据坡度是坡角的正切值得斜坡AB的坡度是i=[BCAC]=tan10°，选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形应用中的基本概念：坡度、坡角，理解坡度的含义是解题的关键.

例5 （2016・山东菏泽）南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，如图5，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20[（1+3）]海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我国A处的渔监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离.

[图5][图6]

【分析】本题属于解直角三角形的应用――方向角问题，认真审题，理解方向是解题的关键.如图6，过点A作ADBC，垂足为D，设CD=x，利用解直角三角形的方法，可得出AD，进而可得出BD，结合题意BC=CD+BD可列出方程，解出x的值后即可得出答案.

【解答】如图6，∠ACD=45°，∠ABD=30°.

设CD=x，在RtACD中，可得AD=x，

在RtABD中，可得BD=[3x]，

又BC=20[（1+3）]，CD+BD=BC，

即x+[3x]=20[（1+3）]，

解之得：x=20，

AC=[2x]=[202]（海里）.

答：A、C之间的距离为[202]海里.

【点评】此题考查了关于方向角方面的实际应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，将实际问题转化为数学模型运用方程求解.

三角函数篇3

目的：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

过程：一、提出课题：“三角函数”

回忆初中学过的“锐角三角函数”——它是利用直角三角形中两边的比值来定义的。相对于现在，我们研究的三角函数是“任意角的三角函数”，它对我们今后的学习和研究都起着十分重要的作用，并且在各门学科技术中都有广泛应用。

二、角的概念的推广

1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”

2．讲解：“旋转”形成角（P4）

突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”

“始边”往往合于轴正半轴

3．“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

记法：角或可以简记成

4．由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

1°角有正负之分如：a=210°b=-150°g=-660°

2°角可以任意大

实例：体操动作：旋转2周（360°×2=720°）3周（360°×3=1080°）

3°还有零角一条射线，没有旋转

三、关于“象限角”

为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角

角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限）

例如：30°390°-330°是第Ⅰ象限角300°-60°是第Ⅳ象限角

585°1180°是第Ⅲ象限角-2000°是第Ⅱ象限角等

四、关于终边相同的角

1．观察：390°，-330°角，它们的终边都与30°角的终边相同

2．终边相同的角都可以表示成一个0°到360°的角与个周角的和

390°=30°+360°

-330°=30°-360°30°=30°+0×360°

1470°=30°+4×360°

-1770°=30°-5×360°

3．所有与a终边相同的角连同a在内可以构成一个集合

即：任何一个与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和

4．例一（P5略）

五、小结：1°角的概念的推广

用“旋转”定义角角的范围的扩大

2°“象限角”与“终边相同的角”

六、作业：P7练习1、2、3、4

三角函数篇4

关键词：三角函数；单位圆；周期

1.任意角的三角函数的概念和教材分析

1.1内容分析

1.1.1背景分析。三角函数作为拥有与对数数和指数函数同等重要的地位，应该在构建基本的知识体系过程中将基本概念与基本认知相结合的方式作为学生教学的重点。认识三角函数的的本质属性石函数中的一个特例，具有函数的下一级的概念。通过在概念的进一步精化过程中，加深学生对三角函数基本概念即正切、余弦和正弦的进一步理解，同时掌握单位圆的作用。

1.1.2教学的目标。作为三角函数概念在教材分析中的重要学习目标之一，对于任意角的三角函数的定义的学习不可忽视。掌握三角函数的诱导公式，并记住三角函数的定义域与值域也相当重要。同时，学生还应该在已知∠a终边上的一点，会求解角的正弦，余弦和正切值。另外，培养学生各方面的能力目标也是三角教学中的重要目标之一。梳理三角函数的基本概念和内容，树立正确的映射观，理解其实以实数为自变量的函数。同时通过对诱导公式，定值域的进一步教学加深理解三角函数的实质。教育教学改革中明确提出对学生德育教育的要求，在进一步的教学过程中，严谨自学的科学学习精神会在转化思想的学习过程中会得到培养。养成教育也会培养学生的自主学习理念，树立正确的价值观念，让学生深刻的认识到事物之间是有一定的联系的观念。提高学生分析问题、解决问题的能力。

1.1.3教学的难重点。三角教学中的难点是如何利用与单位圆有关的一些基本概念例如有向线段、任意角的三角函数值等用集合的形式表现出来。这些都是教学中的难点。那么什么是教学中的重点呢？在教学中如何有效的帮助学生理解任意角的三角函数的正弦、正切和余弦的定义并在这个过程中突出单位圆的重要作用，则是三角函数教学的重点。

1.1.4知识结构图析

1.1.5其中包含的数学思想、类比联想的思想、数形结合的思想、化归转化的思想。

1.2教材分析的方法和原则

教材分析的方法是教与学相结合的方法，实践与理论相结合的方法。教材教学的原则是突出数学思想的原则、以学生为中心的原则、课表与课标相结合的原则以及教师为主导的原则等。

2.三角函数的宏观整体把握

2.1内容分析

2.1.1背景介绍。在高中阶段的学习中，三角函数是一项重要的学习知识点。它涉及到的不仅仅是数学，还有生物、物理等其他学科。在高考中也占据相当一部分的分值比例。另外，作为学习过程中的工具性，它的应用也是十分广泛的，可以对生活中大量的周期性现象进行描绘，也是数学建模的重要重要基础工具之一。通过学习和研究三角函数的基本内容和概念性质从而对周期性变化规律中的问题的解决打下基础。

2.1.2 教学目标。（1）过程与方法：通过对本章内容的学习，从而使学生在解决函数概念的问题上的能力得到提高，也能更加加深学生对相关概念、内容的理解。（2）知识与技能的培养：学习中对知识的技能与知识的培养是极其重要的，它是学生高效学习的保障，也是学生在处理复杂的数学问题时必须必备的技能之一。学生通过任意角内容和基本概念的认识和了解，从而借助单位圆更加形象直观的体会三角函数的美学价值，加深对三角函数概念的进一步掌握。

2.1.3知识架构

2.1.4重难点。三角函数知识在解决集合、代数和实际问题上的解决时重点。图像和性质以及诱导公式是难点。

2.1.5蕴含的数学思想方法。数学思想方法大致分为如下八类。（1）化归转化思想；（2）方程思想；（3）分类讨论思想；（4）换元法；（5）整体的方法；（6）类比联想的方法；（7）数形结合的思想；（8）分类讨论的思想。

2.16 教育学习的价值。三角函数宏观把握不仅可以有助于学生加深对数学各内容之间的理解和联系，而且还可以更好的体验发现和学习的创造过程。是学生解决世界生活中的问题以及体会实际生活与数学联系的重要桥梁。从而有助于学生的推理能力与运算能力的提高。

2.2 教材分析的原则与方法

原则；以教师主导为主要原则，引导学生为辅助原则，并构建数学思想方法的原则，同时加深理论与实际相结合的原则。方法；学与教相结合的方法；理论与实践相结合的方法。

3.三角函数的特定内容的分析

作为本章学习的重要角色，单位圆在本章中扮演的是更加直观明晰的解决三角函数中的一些复杂棘手的问题。那么如何运用单位圆来有效的解决三角函数的问题呢？这要从如下的五个方面来说明这个问题。其一、三角函数，作为一个很有自身特点的函数，本身具有的多层次的性质。在利用单位圆的良好几何特性的优势来克服三角函数中只有数的劣势，它为同学们掌握同角三角函数的基本特点关系时，为更有效的理解诱导公式及三角函数的性质和图像提供了更大的便利。其二、以单位圆为基础，诱导出三角函数单位圆定义，这是数学中数形结合的重要典范之一。是学生掌握数学思想方法的有利手段。其三、单位圆定义正弦、正切和余弦这三个三角值是数向图转换的一个典范。运用平面坐标系统建立三个角度的弧度数到终边角与单位圆的交叉结合让学生在学习过程中更加形象明了的掌握三个角的深层次的内涵。其四、单位圆为学生在学习三角函数如何刻画周期现象的过程并以此建立正确的数学模型。数学建模是大学的一个重要学习课程，这也为学生的大学深造打下良好的基础。其五、过重的角它是通过一条射线绕着一个点来旋转出来的，它与初中角的概念的由来有很大的区别，运用单位圆可以作为三角函数基本角的定义即用圆的基本角来定义三角函数。

参考文献：

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[9]孙菊丽.试谈从函数的奇偶性到空间图形的运动不变性[J].数学教学通讯. 2010（12）

三角函数篇5

函数学习的第一个阶段是在初中，那时我们学习了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象，并具体地讨论了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数.通过计算函数值、用描点法绘制相应函数图象，研究上述函数的性质，理解函数的概念.

函数学习的第二个阶段是高中数学《必修1》，是我们对函数概念的再认识阶段，即用集合、映射的思想理解函数的一般定义，以一次函数、二次函数、反比例函数为载体，学习研究一般函数的方法，即学习函数要研究什么，怎样研究？就是要研究函数的定义域、值域、解析式、图象、单调性、奇偶性等.然后我们又回归到具体函数，即指数函数、对数函数、幂函数，用研究一般函数的方法来研究这三个具体函数，研究了指数函数、对数函数、幂函数等函数的概念、图象和性质，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，从而使我们在第二阶段函数的学习中获得较为系统的函数知识.

我们现在处于函数学习的第三个阶段，即《必修4》中的三角函数.仍然是利用研究一般函数的基本方法来研究三角函数，进一步提高我们研究函数的能力.

在函数学习的旅程中，教材设计了引导我们学习的两条线：一是明线，即基本初等函数的具体知识的理解与掌握；另一是暗线，即研究函数的基本思路和方法——优先考虑函数定义域，再画出函数的图象，在画图象的过程中可采取描点法或图象变换法，再由函数图象观察函数的性质，同时也可利用函数的性质画函数的图象，其过程如图1所示：图1

循着明暗两条线索，我们就可以把函数的知识和思想联系、贯通起来.

从表面上看，我们的教材是按照明线步步深入的，但从本质上看，对于函数研究的一般方法，这条暗线的探究更为重要：一方面，它推动了明线的发生和发展，另一方面，它将研究函数的方法内化为我们的学习能力，在探究过程中锻炼思维，为今后的学习打下基础.正如有的记叙文也有明暗两条线索：事件的发生发展、人物的性格或思想形成.

现在，我们一起来看看教材是怎样按这条暗线来研究具体函数的.

先说指数函数吧，教材先分析指数函数的定义域，再采用描点法绘出特殊的指数函数的图象，从而归纳出指数函数的图象特征，由图象总结归纳出指数函数的性质，即值域、单调性、奇偶性等.对于对数函数，同样是先分析对数函数的定义域，再采用图象变换（对称性）的方法画出对数函数的图象，从而归纳出对数函数的图象特征，由图象归纳出对数函数的性质.

有了这条暗线的引导，我们研究三角函数知识这条明线就轻车熟路了.首先分析三角函数的定义域为R，再利用三角函数线描绘出正弦函数图象（本质就是描点法），利用图象变换（平移变换）描绘出余弦函数的图象，从而由图象总结归纳出了正、余弦函数的值域（最值）、单调性、奇偶性、对称性、周期性.在解决函数y=Asin（ωx+φ）的作图问题时，教材采取了两种方法：一是五点法（本质是描点法）；二是图象变换法，这也是研究函数图象的最基本的两种方法.

我们可以发现，三角函数研究的过程与研究一般函数的过程相吻合，我们还可以发现，在研究函数的过程中图象发挥了最核心的作用，可以毫不夸张地说，“一切尽在图形中”，所以我们一定要树立利用图形解决问题的意识.

比如，研究二次函数y=ax2+bx+c，我们是进行配方，将其化成y=a（x-h）2+k的形式，此函数的图象可以通过简单的二次函数y=ax2的图象平移得到，进而探讨函数y=ax2+bx+c的图象和性质；类似地，在处理有关y=Asin（ωx+φ）的问题时，我们并不是直接画出y=Asin（ωx+φ）的图象来分析，而是回归到y=sinx的图象来解决.比如：

已知函数y=2sin2x-π3，求（1）若y≥1，求x的取值范围；（2）求函数的最值，并求此时x的取值；（3）求函数的单调区间；（4）求函数的对称轴；（5）求函数的对称中心.

处理这类问题的思想方法是一致的，即将2x-π3视为一个整体，那么y=2sin2x-π3的问题就转化为了y=sinx的问题，然后利用y=sinx的图象分析定义域、值域、单调区间、对称轴、对称中心等.

三角函数篇6

sin的反三角函数是arcsinx。反三角函数是一种基本初等函数。它是反正弦arcsinx，反余弦arccosx，反正切arctanx，反余切arccotx，反正割arcsecx，反余割arccscx这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切，正割，余割为x的角。

三角函数的反函数是个多值函数，因为它并不满足一个自变量对应一个函数值的要求，其图像与其原函数关于函数y=x对称。欧拉提出反三角函数的概念，并且首先使用了“arc+函数名”的形式表示反三角函数。

（来源：文章屋网 ）

三角函数篇7

三角函数的概念及公式是三角函数整章的基础，是三角函数图象和恒等变换的最终着落点.

重点：本部分的重点是三角函数的定义，同角三角函数的函数关系式、诱导公式，并能够灵活运用定义和公式解决有关求值和化简等问题.

难点：三角函数线及函数符号的确定，以及灵活选取诱导公式.

1. 角的分类

（1）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角.

（3）按照终边是否相同分类. 与α的终边相同的角的集合为{ββ=2kπ+α，k∈z}，与α的终边共线的角的集合为{ββ=kπ+α，k∈z}.

3. 根据三角函数的定义，求角α的三角函数值？摇

（1）已知角α的终边上一点p的坐标，则可先求此点p到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.

（2）已知角α的终边所在的直线方程，需分两种情况取点：先在终边上的两条射线上分别取点，再利用三角函数的定义去求解；根据直线方程直接求出tanα，然后再根据角的终边所在的象限求出其他的三角函数值.

 

4. 同角三角函数关系式的用途

（1）根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值.

（2）化简同角三角函数式.

（3）证明同角的三角恒等式.

（4）注意公式的逆用和变形用，如在解决齐次分式求值问题时，经常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.

 

5. 使用诱导公式的注意事项

（1）使用步骤：负化正，大化小，小化锐是终了.

“负化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα这组公式将负角转化为正角.

“大化小”是指当角较大时可以使用sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（kπ+α）=tanα这组公式将已知角转化为0～360°的角（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？

 

三角函数篇8

【关键词】三角函数 中美题目 教学过程 教学设计

一、中美两道三角函数应用题现状

在研究中美三角函数应用题的差异时可选择一个相似的题目进行对比，这个问题如下：美国教材中提出，某个船舶装船长指挥船只进入港口，考虑到潮汐问题，水深会出现落差，当水深为10.6m时是早上五点，水深6.5m时为上午十一点，问题是建立一个模型描述午夜后的水深改变；利用模型设定船长进入港口的安全时间，船吃水9m；模型还可以回答其他类似问题。

中国教材中也有类似问题，如：海水受到潮汐影响，导致巷道内的水位发生改变，货船在涨潮时输入并卸货，在落潮时返回大海。按照某个港口的水深关系表，回答一下问题：建立函数描述港口水深与时间的关系精确到0.01m；设船只吃水4m，距离海底1.5m为安全，该船进入港口的时间与停留时间是多少；任意该船为例，如在两点卸货，水深每小时减少0.3m，则该船必须在几点返航。

二、对比两国三角函数应用题异同

（一）教学过程分析

美国应用题是以一种头脑风暴的形式对学生进行提问，并鼓励学生建立不同的数学模型对问题加以解决，鼓励学生对模型的有效程度进行分析，从涨潮落潮的周期变化来引申出三角函数模型，并利用三角函数的模型来解决问题，对于那些不熟悉三角函数的学生而言，鼓励其使用数学分析方式来让函数满足特定的条件，由此满足教学目标。如让学生利用在线的下程序来体验参数的改变对图形的趋势影响；其次，在确定好模型之后，对于模型的建立与计算等，美国版教材给出了详细的求解过程，因为振幅是曲线的总体高度的一半，这就意味着其是最大到最小值的一半，这就是函数系数，其对函数有调整作用。

我国的题目，在我国该应用题的教学是利用PPT课件，学生看到题目后就会开始绘图与描点，并明确了解这样的函数就是三角函数，甚至在没有作图的时候就明确了三角函数的定义与概念。所以我国的应用题教学，在解题中缺乏美国教学方式的实践性与差异认知的过程，对于认知水平低的学生而言，不能通过实践操作而获得知识内涵。对于技术的使用我国的教学知识对反三角函数进行求解，在美国则是利用实际问题的解决。在参数求解的时候，美国题目没有字母来表示振幅、周期等，而是文字表述，并说明对函数造成的影响是那些，说明我国学生对字母含义的理解能力较强。

（二）教学设计

在美国高中教材中，可以看出美国的参考案例有一个专门的模块，是对学生思维进行分析的，可以看出美国教学重视的是学生的思维模式与过程，而我国的教材中很少有这样的内容出现。虽然，两个国家在应用题中都重视引入模型的思路，但是美国的题目所重点阐述的是建立什么样的模型，可以很好地反映实际问题；因为题目中条件相对充足，我国的参考案例不需要多少时间就可以引入三角函数，即我国的大部分时间是在解决实际问题，而美国则是引导思维模式建立数学模型。而美国题目中仅仅给出了高差范围，我国则是给出一个落差，规律性较强，但是实际中水位是不会按照明显规律改变的。

三、对新出题方式的思考和建议

通过对中美教学中两道三角函数的应用题的具体分析，在情景设置、教学过程、教学设计等方面可以看出，美国的问题更加的贴近与实际，重视的学生的发散性思维，而我国的题目相对理性，更重视的是学生的解题能力训练，所以综合二者的优势可以对题目进行改进，如：在某海港，货运的船长在进入到某个港口的时候都会考虑潮汐问题，因为每一天的一个时间到另一个时间港口内的水深存在差异，某港口内在早上五点的时候，水深最深达到10.6m，而在中午十一点则会出现最低水位6.5。在此条件下建立一个预测水位深度数学模型，这个函数可以描述午夜后的水深改变情况；并分析一条吃水深度4米，而安全间距为1.5m的货运船只，在何时进入港口最安全并可以停留多久；如果仍是该船，在两点开始卸货，水深每小时减少0.3m，则该船应在几点停止卸货并驶入安全水域。

结束语

中美两国对于三角函数类的教学问题所持有的态度是不同的，所出现的应用题目也就会存在差异，上述所介绍的是一道相似的潮汐问题，其最终的教学目标就是让学生学会引入三角函数的数学模型，并利用函数方式来解决实际问题，而在题目条件和教学解答中，中美教学的差异也随之体系，二者都有优势，而最佳的方式就是利用二者的优势融合来结合教学中侧重不同的问题，进而到达思维、计算能力共同开发的目的。

【参考文献】

[1]刘燕.浅谈学习三角函数的实际应用[J].新课程学习（基础教育），2010（12）.

[2]洪清直，徐明杰.基于应用的三角函数的考查研究[J].福建中学数学，2011（05） .