数学建模思想在高等数学教学中的运用

摘要：数学建模是利用数学知识和方法解决生活中实际问题的一种重要方法，本文讨论了如何将数学建模的思想有效地引入高等数学教学，从而增强大学生的数学建模意识，促进他们对高等数学课程的学习兴趣和效率，对高校高等数学的教学有一定的启发作用。

关键词：数学建模；高等数学；教学方法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）52-0199-02

一、引言

21世纪是知识经济时代。这个时代的最主要特征是知识与科技将成为主要资源，知识的生产、科技的创新和应用是社会发展的核心，高素质的创新人才是知识经济发展的关键。同志曾在全国科学技术大会上提出：创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力，一个没有创新能力的民族难以屹立于世界先进民族之林。而教育是创新的生存之本，高等教育则是其发展之源[1]。在高校教育中，高等数学的教学被认为是其他各门学科教育的基础，它所提供的数学思想、数学方法、理论知识不仅是学生学习后继课程的重要工具，也是培养学生创造能力的重要途径。

二、大学高等数学教学中存在的问题及原因分析

高等数学是理工科其他专业构建专业知识体系的基础，高等数学传播的基本概念与方法、包含的数学思想以及数学文化，不仅是学生学习后继课程的重要工具，也对培养大学生的自学能力和创新能力具有重要的意义。然而目前大学里每年参加高数补考的学生人数却在不断增加，而且随着年级的增加与《高等数学》相关的学科补考率也逐渐提高，这些学生中不乏中学阶段数学成绩较为优秀的学生。为什么会出现这种现象呢？通过校内对学生进行问卷调查，发现进入大学后，由于各专业对《高等数学》的要求不一致，虽然大多数学生知道数学很重要，但对学习数学的兴趣却不大。“有很多题目，老师讲的时候觉得不难，当时听懂了，但到自己去做的时候却无从下手；老师没有讲的，那就完全不会做。”所以觉得数学学习起来特别枯燥、乏味，再加上大学教学中老师没有中学老师的监督力度，从而使得学生失去了学习数学的压力和动力。还有些学生，在学习过程中由于不清楚学数学到底有什么实际用处，在面对数学抽象理论时产生厌学情绪，想认真学的同学，无非是想在期末考试中或为将来考研时取得一个好的分数，其结果也仅仅是学了一堆的定义及理论知识却不知道其在实际问题中的作用，更不会用所学的知识去解决相关问题，缺乏利用数学知识解决实际问题的能力。我们对本校部分理工科学生进行了一个问卷调查，统计结果显示：真正对数学有浓厚兴趣，喜欢学习《高等数学》的人很少，不到四分之一；能够了解《高等数学》的应用价值的只有5%左右；而能够灵活运用数学知识解决实际问题的同学更少，不到3%；但同时在调查中发现高达80%的同学表示希望了解数学建模的思想与方法，并渴望学习如何使用《高等数学》知识来解决实际问题。

三、在教学中引入数学建模思想

1.数学建模定义及发展。数学模型（Mathematical Model）作为模型的一类，也是一种模拟，是以数学符号、数学表达式、程序、图形等为工具对现实问题或实际课题的本质属性的抽象而又简洁的刻画，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略等。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它们的建立常常既需要人们对现实问题有比较深入细微的观察和分析，又需要人们能灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用各种知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程被称为数学建模（Mathematical Modeling）。[2]数学建模最早在20世纪60～70年代进入一些西方国家大学，我国高校于20世纪80年代初由复旦大学将数学建模引入教学，1982年，朱尧辰、徐伟宣翻译出版了E.A.Bender的“数学模型引论”，正式将数学建模概念在国内规范化。而大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国举办的，我国于1989年起由北大、清华、北理工首次组织部分学生参加了美国的竞赛。1990年，上海市率先在本市举办了大学生数学建模竞赛，1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了国内10座城市的大学生数学模型联赛，70多所高校的300多支队伍参加。从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展，参赛队伍也已扩展到包括港澳在内的全国30多个省、市、自治区的上千所高校[3]。经过三十多年的发展，现在很多的本科院校甚至专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，不少学校成立了数学建模小组。这些都为提高学生对数学学习的兴趣，加强利用数学方法分析、解决实际问题的能力创建了一条有效的途径。

2.数学建模在教学中的应用。①数学建模思想在高等数学教学中的应用。许多数学概念都是在现实需要的基础上产生的，是其他理论和实际应用的基础。因此，在高等数学的教学过程中，应从实际问题出发，从数学概念的产生背景和产生原因说起，使学生从较为抽象的数学模型中认识到数学概念在解决实际问题中的作用，由此增强他们的数学建模意识，培养其利用高等数学原理解决实际问题的能力。魏晋时期的刘徽将“割圆术”理论描述为：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这就是“化整为零取近似，聚整为零求极限”的思想，可以说古人已经开始使用数学建模的思想解决实际问题了。在实际教学过程中，针对各专业对学生的不同要求，选取合适的数学建模内容，将其融入教学过程。特别是在数学应用性例题解答时，可利用数学建模方法，教学过程中应当注意尽可能精简计算和推导过程，强化模型的建立。对于多数计算问题而言，如极限、导数、积分的求解时，可使用Matlab、Spss、Lingo等计算软件进行运算，不仅简化了推导过程，还提高了学生的动手能力，实现了学生数学建模意识及方法的逐步养成。②开设数学建模课程。在高等数学课堂引入相关数学建模思想的基础上，可以适当开设数学建模及建模实验课等选修课，进一步提高学生对于数学建模的认识。数学建模选修课一方面可以提高了学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，另一方面可以为学校参加数学建模竞赛打基础并提供选拔人才。建模实验课的开设不仅可以使学生受到高等数学式的思维训练，而且可以激发学生的自主意识，提高其自我思考能力，从而激发学生学习高等数学的兴趣和热情，增强学生的自学能力和创新能力。在数学建模和实验课程中，除了引导学生全面掌握课程知识及方法以外，还需要掌握现代数学工具及相关计算软件的操作，如Matlab、Mathematics、Spss、Lingo等，以便解决实际问题及求解数学模型时使用。例如，在高等数学课程中可以利用Mathematics软件解决极限、导数和积分的运算；概率统计中可利用Matlab软件处理概率分布、统计回归等问题；线性代数课中使用Matlab软件进行矩阵运算。因此，在课堂上需要加强对学生计算软件使用的培养，并结合教学内容和习题进行讲解。③改革传统教学方法。数学建模存在以下特点：问题的多样性、解决方法的灵活性以及知识需求的广泛性等。因此在教学过程中，教师应该放弃以往的填鸭式教学方法，积极实施启发式、探究式、问题驱动式的新式教学方法。这样，可以更加有效地激发学生的求知欲，促使学生将被动学习转化为主动学习、自主学习，改变传统教学中学生只能被动接受的情况，让他们参与到教学过程中，有助于学生了解所学的数学知识该如何用于实际问题。④把数学建模能力的考察放入考试。习题课是高等数学教学中必不可少的关键手段，也是培养学生数学建模能力的重要方法。因此，教师在上习题课时应该在解题的过程中注意培养学生的建模意识，循序渐进地选择一些难度适宜且递进的问题作为例子，尽量让学生自己发现问题，并利用已经掌握的数学知识加以解决。另外，教师应针对正在学习的课程内容，选择一些简化了的数学建模题当作课外作业，进一步提高学生理论分析及解决问题的能力，这样可以让学生有更多机会接触数学建模方法，巩固课堂所学知识。此外，在高数考试中，也可适当增设一些较为开放性的试题，尝试多种考查形式，如让学生写小论文作为平时分评定标准等方法，对学生的分析、创新、归纳、实践能力进行测评。

四、取得的成绩

我校进行数学建模的试点教学和参加全国数学建模大赛虽然较迟，但是在广大教师的共同努力下也取得了优异的成绩。在2013年的全国大学生数学建模竞赛上，获得国家一等奖1项、二等奖3项，省级一等奖7项、二等奖5项、三等奖12项，在全省院校中名列前茅。参加数学建模选修课以及数学建模兴趣小组的同学，其数学成绩比起之前都有不小的进步。将数学建模思想引入教学的实验班级考试平均成绩比普通班级高了接近10分，不及格率明显下降，后期问卷显示学生对高数的学习兴趣和了解程度比普通班级都有显著提高。

高等数学的教学在整个高校人才培养中起着极其重要的基础性作用。随着计算机技术及数学计算软件的普及，数学建模思想越来越多地为人们了解。将数学软件和数学建模融入高等数学的教学可以进一步提高学生对于数学的兴趣，打好学习基础，实现人才培养目标。

参考文献：

[1]萧树铁.高等数学改革研究报告[J].数学通报，2002，（9）：3-8.

[2]杨启帆.数学建模[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]戴牧民，吕跃进.数学建模教学与数学建模竞赛的历史背景与意义[J].广西大学学报（自然科学版），2003，28（10）：6-10.