数学概念学习的几种方法

摘 要 在数学的学习中，数学概念的学习毫无疑问是重中之重。概念不清，一切无从谈起。概念的深层理解和精确把握，对数学问题的解决具有非常重要的作用。然而数学概念数量众多并且非常抽象，如何才能达到一个真正理解且深层记忆的效果呢？下面简述几种方法。

关键词 举例 温故 索因 联系 比喻

一、举例法

举例通常分成两种情况即举正面例子和举反面例子。举正面例子可以变抽象为形象，变一般为具体使概念生动化、直观化，达到较易理解的目的。例如在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。在解析几何里，平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间；复数域可以看成实数域上的向量空间；数域F上一切m*n矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间，等等。举反面例子则可以体会概念反映的范围，加深对概念本质的把握。例如在讲解反比例函数概念的时候就可以举这样的一个例子。试判断下列关系式中的y是x的反比例函数吗？。这就需要我们对反比例函数有本质的把握。什么是反比例函数呢？一切形如 的函数，本质是两个量乘积是一定值时，这两个量成反比例关系。 (1)中y和x-1成反比例关系，(2)中y+3和x成反比例关系。定义中要求k为常数当然可以是-1，所以(1),(2)不是，(3)是。

二、温故法

不论是皮亚杰还是奥苏伯尔在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知的结构的基础上进行的。因此在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如：在高中阶段讲解角的概念的时候最好重新温故一下在初中阶段角的定义，然后从角的范围进行推广到正角、负角和零；从角的表示方法进行推广到弧度制，这样有利于学生思维的自然过渡较易接受。又如在讲解线性映射的时候最好首先温故一下映射的概念，在讲解欧氏空间的时候同样最好温故一下向量空间的概念。

三、索因法

每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因，当你把这些原因找到的时候，那些鲜活的内容，使你不想记住这些概念都难。例如三角形的四个心：内心、外心、旁心和重心，很多同学总是记混这些概念。内心是三角形三个内角平分线的交点，因为是三角形内切圆的圆心而得名内心；外心是三角形三条边垂直平分线的交点，因为是三角形外接圆的圆心因而的名外心；旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点，因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心；重心是三角形三条中线的交点，因为是三角形的重力平衡点而得名重心。当你了解了上述内容，你有怎么可能记混这些概念呢？又例如：点到直线的距离是这样定义的，过点做直线的垂线，则垂线段的长度，便是点到直线的距离。那么为什么不定义为点和直线上任意点连线的线段的长度呢？因为只有垂线段是最短的，具有确定性和唯一性。再如：我们之所以把n元有序数组也称为向量，一方面固然是由于它包括通常的向量，作为特殊的情形；另一方面也是由于它与通常的向量一样可以定义运算，并且有许多运算性质是共同的。像这样的例子还有很多，不再一一列举。

四、联系法

数学概念之间具有联系性，任意数学概念都是由若干个数学概念联系而成，只有建立数学概念之间的联系，才能彻底理解数学概念。例如在学习数列的时候，我们不妨作如下分析：数列是按一定次序排列的一列数，是有规律的。那规律是什么呢？项与项数之间的规律、项与项之间的规律、数列整体趋势的规律。项与项数之间的规律就是我们说的通项公式，项与项之间的规律就是我们所说的递推公式，数列整体趋势的规律就是我们所说的极限问题。当项与项之间满足差数相等的关系时，数列被称为等差数列；当项与项之间满足倍数相等的关系时，数列就被称为等比数列。这样我们对数列这一章的概念便都了然于胸了。

五、比喻法

很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味、没有兴趣，从而不去重视它、深究它，所以我们在讲解概念的时候，不妨和生活相联系作些形象地比喻，以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。例如：在讲解映射的时候，不妨把映射的法则比喻成男女恋爱的法则。两个人可以同时喜欢上一个人，但一个人不可以同时爱上两个人。这不正是映射的法则:集合A中的每一个元素在集合B中都唯一的像与之对应吗？又如函数可以理解为一个黑匣子或交换器，投入的是数产出的也是数；投入一个数只能产出一个数；但是当投入不同数的时候可以产出同一个数。再如：满足和的像等于像的和、数乘的像等于像的数乘的映射称之为线性映射。这不正像一个人怎么舞动他的影子就怎么舞动吗？所以有的时候把线性映射理解为“人影共舞”的映射。

六、类比法

在学习向量空间的时候，很多同学疑问重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量吗？怎么连矩阵、连续函数、甚至线性变换也可以理解为向量呢？这一切是不是太不可思议了！但是当你作如下思考的时候，一切便顺理成章了。让小学生算一道5-7的题，他会说你这道题出错了，但是让一个初中生去算的话，他就会告诉你等于-2;当你让一个初中生对负数进行开平方运算，他会说不能对负数进行开平方。然而高中生却能够进行运算。这就说明了一个问题，随着年龄的增长和认识层次的提高，人们对于同一概念的理解和认识也在逐步的深入和扩大。正如数的概念由小学生的整数、分数和小数扩大为初中生的实数最后扩大为高中生的复数。同样对于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量，应该把这一观念转变过来。

像这样的方法还有很多，不再一一列举。总之一句话：数学概念是重要的，分析概念是有趣的，在乐趣和玩赏中去理解概念是容易做到的。