数学选择题的结构及其常用方法举例

选择题作为一种标准化试题，在各类测试中均占有相当的比重.一次测试的成功与否和正确解答选择题密切相关．但是，现行“数学课程标准”就选择题的解法既无典型范例，又无规范练习，教材中选择题的出现只有星星点点，而在考试中出现选择题的分值却占据总分的25%~40%．许多学生因找不到简捷的选择题解法，不仅花费了大量的时间，而且错误率甚高，严重影响着考生的成绩．近年来，通过许多师生的共同努力，在对选择题的研究上，已取得了有效突破，这些方法运用在考试中，不仅提高了学生的解题速度，更主要的是使学生有章可寻，提高了学生的解答准确度.本文试从选择题的一些常见解法入手，就如何正确认识，辨析选择题，提高学生分析问题和解决问题的能力谈几点看法．

一、选择题的结构

选择题常由解题要求、题干（题设）和题支（选项）组成.解题要求是指解答选择题的指示语，如单选、多选等.题干是指每个选择题的条件，它可以由一个问句或一个半陈述句构成，题支是指备选答案，常有应选答案和迷惑答案组成，一般有4个选项，至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支．数学中的选择题如没有特别说明，都是“四选一”，即有4个选项，其中有唯一的优支，其余的都是干扰支，但在近年的中考中如湖北的黄冈等地也出现了多选题．

例1：如下图1，阴影部分组成的图案既是关于x轴成轴对称的图形又是关于坐标原点O成中心对称的图形．若点A的坐标是（1，3），则点M和点N的坐标分别是（ ）.

A．M(1,-3),N(-1,-3) B．M(-1,-3)，N(-1,3)

C．M(-1，-3)，N（1，-3) D．M(-1,3)，N(1，-3)

解析：从问题知点A和点M关于原点对称，点A和点N关于x对称.为了从4个选择支中选出优支，需要明确关于原点对称和关于x轴对称的点的坐标特征，即关于原点对称横坐标和纵坐标均互为相反数；关于x轴对称横坐标不变，纵坐标互为相反数，所以应选择C．而其余3个选项都是干扰支，它们似对非对，表面上看起来差不多，而意义相去甚远，（1，-3）表示的点和A点关于x轴对称，（-1,-3）表示的点和A点关于原点对称，（-1,3）表示的点和A点关于y轴对称．

从上面的例子可以看出，一个选择题的4个选择项总是真伪混杂，疑似之处甚多，3个干扰支从不同的角度迷惑着优支的选出．若对基本概念和基础知识理解不清，掌握不透彻，基本的数学思想和方法不熟练，就很容易受干扰支影响，从而作出错误判断．这些干扰支就像一口口陷井，真假难辨，它们似乎是，似乎又不是，学生若明辨能力不强，就可能跳进陷井．因此，通过解选择题，可以澄清学生一些似是而非的认识，区分一些概念之间的联系与区别，更进一步掌握基本知识和基本方法．

二、解选择题的常用方法

方法1：直接法

直接法是解选择题的一种最常用、最基本的方法．它是从选择题的题设条件入手，根据学过的定义、公式、公理、定理、法则进行正确的推理，求出结果得出结论，然后与各选择支比较，从4个选项中选出与已得出结论一致的正确答案的方法.其优点是解题自然，不受选择支的影响，运用数学知识，通过综合法直接得出正确的结论．缺点是有些题的计算和推理冗长、繁杂，要消耗测试者大量的时间和精力，甚至有些题不能用直接法来解．

例2：如下页图2，从圆外一点P引圆O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B．如果∠APB＝60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）.

解析：此题主要考查切线长定理和等边三角形的定义，根据切线长定理知，PA=PB，又∠APB＝60°，知ABP为等边三角形，所以弦AB=PA=8，故选B．

方法2：排除法（也叫筛选法或淘汰法）

所谓排除法就是从题设条件入手，结合选项，通过观察、比较、猜想推理和计算，进行逐一排查，从4个选项中把最不正确的答案一一淘汰，最后得出正确答案的方法．其优点是可通过观察、比较、分析和判断，进行简单的推理，计算出正确的答案，特别对用直接法解之较困难而答案又模棱两可者更有效．其缺点是：（1）若对隐含条件挖掘不深或抓不住问题本质特征时，在排查过程中容易出现遗漏；（2）易受干扰支的影响，做出错误判断．

例3： 2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离s（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）.

解析：此题可逐个判断排除.A图表示我某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻后没有停下，只是匀速前进的速度比开始速度要慢，与题意不符；B图表示我某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以一定的速度返回，与题意不符；D图表示我某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，后又以开始时的速度继续前进，这与人的速度应比车的速度慢这一事实不符，而C图即表示出了我某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，各中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，又准确地表示出了官兵心系灾区，为了尽快赶到灾区救援，下车急行军匀速步行前往这一实事，故选C．

方法3：验证法（或叫择扰验证法）

当某些问题如方程、函数的一些问题较复杂时，可采用逆向思维的思路，即不求原题的结果，改成检验选择支的正确性，把选择支代入已知条件中使之问题简化，从而迅速找到优支的方法称为验证法.它要求测试者先分析题意，结合选择支，再依据与问题有关的数学知识，把自己经过分析和判断，认为最有可能的正确选项代入检验，若验证正确，即可直接选取，其余选项为干扰支可不再验证；若不正确，再验证第二可能选项，依次类推，若验证了3个均不正确，第4个不必验证，就可选取，若选项中有包含项，在验证被包含项成立后，还需验证包含项；验证被包含项不成立时，就否定了包含项.其优点是，题目条件把握准确，分析判断有据，一次到两次的验证就能得到正确答案，方法简便，准确率高；缺点是，若分析判断不准确，就需要验证达3次，计算和推理量大．

例4：若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）.

A. 50° B. 80 C. 65°或50° D. 50°或80°

分析：D选项包含A选项和B选项，所以应首先对A选项和B选项进行验证，这两个选项的正确与否，决定着D选项该不该选.通过验证A选项和B选项均符合题意，故选D.

例5：已知三角形的两边长分别为4cm和9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（ ）.

A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm

分析：本题可通过将选项与已知三角形的两边长进行比较，验证是否满足定理“三角形两边之和大于第三边”及其推论“三角形两边之差小于第三边”即可，通过验证知此题选B．

方法4：取特殊值法

对于比较抽象，又具有一般性的结论，判断时较难，可在符合条件的允许值范围内，用某些特殊的数值替代题目的字母或一项，然后再做出特殊情况下的判断，类推出一般性结果，并判断出优支的方法叫取特殊值法．其优点是简单方便，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把不合题目要求的值代入计算，从而导致错误的结论．

例6：若关于x的一元二次方程ax2+2x-5=0的两根在0与1之间（不含0和1），则a的取值范围是（ ）.

A. a＜3 B. a＞3 C. a＜-3 D.a＞-3

解析：对于A选项和D选项，可取a=0，知方程化为2x-5=0，与题目条件关于x的一元二次方程不符，故舍去；对于C选项，可取a=4，由于二次项系数和常数项异号，故方程一定有两个实数根，且一个根为正数，一个根为负数，故舍去，从而知本题选C．

方法5：图形法（或叫数形结合法）

有些选择题计算、推理和判断比较复杂，条件和结论似是而非，但这样难作判断的题目，一般能画出图形和图像来描述，从而借助图形、图像来进行直观判断，或结合题意和图像、图形进行简单的计算和推理，找出正确答案．其优点是形象直观，易于把复杂的计算、推理和判断简单化；缺点是把问题图形和图像化，需要学生有很强的数学基础知识和空间想象能力，容易造成一遇到较复杂的计算、推理和判断问题时，学生总在想能不能通过一个简单的图像和图形法进行解决.有时，反而适得其反，耽误了正常的计算和推理或寻找其他合适办法的时间，所以图形法应建立在应有数学能力的基础上，平时要加强训练，以求考试时能灵活应用．

例7：已知二次函数y＝ax2+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图像有如下说法：①图像的开口一定向上；②图像的顶点一定在第四象限；③图像与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（ ）.

A．0 B．1 C．2 D．3

方法6：特例法（或叫特图法）

利用符合题设条件的某个特殊图形代替有关的一般图形，进行演绎推理，以达到判断各个选择支正确或错误的目的，这种解答选择题的方法称为特例法．特例法的关键在于寻找特例，即寻找的特殊图形必须符合题设的要求，又有利于对问题的分析和解决．其优点是利用简单、特殊的图形，减少了繁杂的计算和推理；缺点是易把题目特殊成不合题目要求的图形，从而导致错误的结论．

A. 1＜k＜2 B. 1≤k≤3

C. 1≤k≤4 D. 1≤k＜4

解析：根据题目条件可求出A（1，1），B（3，1），C（1，3），本题若用直接法求k的取值范围，要分双曲线与边AB、AC、BC有交点3种情况来计算，计算量比较大.特例法较好地解决了这一问题，我们取双曲线与边AB、AC、BC有交点的特殊情况来计算：当双曲线过点A时，可计算出k=1，当双曲线过点B时，同时过点C，可计算出k=3，答案A可排除，但此时，我们发现当计算出k=1到计算出k=3，双曲线向右移动的过程中始终没有与边BC相交，答案B不完全，被排除，是选C还是选D，我们再取特殊点，由于直线y=x与BC的交点坐标易看出为（2，2），而双曲线过此点时，可算出k=4，故选C．

方法7：转化法

转化法是指通过观察、分析、类比、联想等思维过程，借助某些性质、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，并选择运用恰当的数学方法加以变换，从而达到将复杂化为简单，将未知转化为已知，将抽象转化为具体的一种解题方法．

例9：一次函数y＝kx＋b的图像如下图4所示，当y＜0时，x的取值范围是（ ）.

A. x＞0 B. x＜0 C. x＞2 D. x＜2

方法8：估算法

估算法适用于带一定计算因素的选择题，是通过对数据进行粗略、近似的估算，从而确定正确答案的一种解题方法．这类考题主要不在“数”，而在“理”，不追求数据精确，而追求方法正确．采用“估算”的方法可以忽略次要因素，抓住问题的本质，以达到快速求解的目的．

例10：如下图5，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）．

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

解析：本题可通过在RtCEN中运用勾股定理求出线段CN的长，但运用估算的方法会使该题更简单：由于点E是BC的中点，所以EC＝4cm，在RtCEN中，由于EN是斜边，所以EN＞EC，即EN＞4 cm，又EN＝DN，而DN＋CN＝8 cm，可知CN＜4 cm，故选A．

方法9：观察法

观察法是指通过观察题目中数、式的变化规律，条件与结论之间的关系，题目的结构特点及图形的特征，从而发现题目中数量关系或变化特征，选出正确答案的解题方法．在解答数学题时，必须先观察，有时根据需要，还要做出数学模型便于观察．观察是基础，是发现问题、解决问题的首要步骤．例如整体代入法，就是通过观察题目中数、式的变化规律，从而发现题设中的某些部分可以作为一个整体，采用换元或代入的方法解决，从而使问题得到简化．

例11：已知O为圆锥的顶点，为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如下图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（ ）.

解析：本题中，一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹是关键，根据“两点之间，线段最短”知，蜗牛从P点出发，最后又回到P点，走的应该是一条线段，据此，通过观察4个选项，只有C、D符合，再进一步观察C、D两个选项，可以发现沿OM将圆锥侧面剪开并展开后，P点到点O的距离应相等，据此应选D．另外，解答本题最好的办法是制作一个圆锥，在圆锥上大致画出蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹，然后沿OM将圆锥侧面剪开并展开，观察和哪个选项一致．这种动手操作的实践能力，也是本题考查的初衷．

方法10：联想构造法

所谓联想构造法就是根据题设和结论所具有的性质特征构造出满足条件和结论的数学模型，借助于数学模型来解决数学问题的一种方法. 这种借用一类问题的性质来研究另一类问题的思维方法在解数学问题时常常能起到意想不到的效果．

例12：下列命题：①若a＋b＋c＝0，则b2－4ac≥0； ②若b＞a＋c则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；③若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；④若b2－4ac＞0，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（ ）.

A.只有①②③ B.只有①③④

C.只有①④ D.只有②③④．

解析：对于①可联想到x＝1时，a＋b＋c＝0，因此a＋b＋c＝0，可知方程ax2＋bx＋c＝0一定有一个根x＝1，故①正确；对于②条件b＞a＋c可变为a－b＋c＜0，可联想到一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有无实数根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴有无交点，对于y＝ax2＋bx＋c当x＝－1时，可知y＝a－b＋c＜0，故二次函数y＝ax2＋bx＋c当 x＝－1时所对应的点在第三象限，当a＜0时，只要顶点在x轴下方，从画出的y＝ax2＋bx＋c的大致图像可知与x轴无交点，故②错误；对于③判定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的个数，联想到根的判别式即可解决：b2-4ac=（2a＋3c）2－4ac＝4a2＋9c2＋8ac＝2a2+2（a+2c）2+c2＞0，故有两个不相等的实数根；对于④b2-4ac可联想到它通常与一元二次方程根的情况或抛物线与x轴交点的个数有关，可知当b2-4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，即二次函数y=ax2＋bx＋c与x轴有两个交点，故④正确，从而选B．

以上，列举了解选择题的十种常见方法，但真正在解选择题的过程中，很多办法都是相通的，有的选择题只能用一种方法来选，有的选择题可用几种方法来选，而有的题是几种方法的联合运用．

例12：如果关于x的一元二次方程k2x2-（2k＋1）x+1=0，有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（ ）.省略