函数概念教学谈

[摘要]函数是中学数学教学中的一个重要内容，它与生活和学习联系紧密。教师在组织高中学生学习函数内容时，一要帮助学生梳理函数概念，二要进行目标解析，三要帮学生诊断学习中遇到的问题。

[关键词]

初中阶段，学生已经学习过函数概念，但到了高中，函数概念发生了变化。此时，数学教师要帮学生理清概念，解析问题。

一、对“函数”概念的理解

在初中，学生已经学习过函数概念，建立的函数概念是：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数。其中x称为自变量。这个定义从运动变化的观点出发，把函数看成是变量之间的依赖关系。从历史上看，初中给出的定义来源于物理公式，最初的函数概念几乎等同于解析式。进入高中，学生需要建立的函数概念是：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f（x），x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合 f（x）|x∈A叫做函数的值域。这个概念与初中概念相比更具有一般性。其实，高中的函数概念与初中的函数概念本质上是一致的。不同点是表述方式不同──高中明确了集合、对应的方法；初中虽然没有明确定义域、值域这些集合，但这是客观存在的，也已经渗透了集合与对应的观点。且高中引入了抽象的符号f（x），f（x）指集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f（x）也唯一确定。另外，初中并没有明确函数值域这个概念。

函数概念的核心是“对应”，理解函数概念要注意：1.两个数集间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应。2.涉及两个数集A、B，而且这两个数集都非空；这里的关键词是“每一个”“唯一确定”。也就是，对于集合A中的数，不能有的在集合B中有数与之对应，有的没有。而且，在集合B中只能有一个与之对应，不存在两个或者两个。3.函数概念中涉及的集合A、B，对应关系f是一个整体，是集合A与集合B之间的一种对应关系，应该从整体的角度来认识函数。

二、目标解析

1.通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。能用集合与对应的语言来刻画函数，了解构成函数的三个要素。2.会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域。3.通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力。

教学的重点是，在研究已有函数实例（学生举出的例子）的过程中，感受在两个数集A、B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念。然后再进一步理解它。

三、教学问题诊断分析

1.学生对函数概念中的“每一个”“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深。教学中，可以通过反例让学生加以认识。如有学生的考试情况是这样的：集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{90，93，98，92}，f：每次考试成绩。这里就不能表示一个函数。因为对于集合A中的元素“4”，在集合B中就没有元素与它对应。

2.忽视“数集”二字，把一般的映射关系理解为函数。如：高一（2）班的同学组成集合A，教室里的座椅组成集合B，每个学生都有唯一的一个座椅，班上还有空椅子。这能否算作一个函数的例子，为什么？

3.对为什么集合B不是函数的值域不理解．让学生感受到，有时，为了研究方便或者确定一个函数的值域暂时有困难，使得B＝{f（x）|x∈A} 更加合理。

4.当函数关系具有解析式表示时，f（x）当然可以用x的解析式表示出来。学生会因此而误以为对应关系f都可以用解析式表示。可以通过所举实例的类型，引导学生，明确表示对应关系f并非解析表达式不可。但这不是本节课的重点，应该放在下一节课“函数的表示”中解决。只要注意所列举的例子不光是有解析式的即可。

5.本课的难点是：对抽象符号y＝ f（x）的理解。可以通过具体函数让学生理解抽象的f（x）。比如函数f（x）＝x2，A＝x|－2≤x＜2 ．f(－1)＝1，f(1.5)＝2.25，f(－2)＝4，

f（2）无定义。f（x）＝x2，x∈A。

最终，让学生明白，f（x）是集合B中的一个数，是与集合A中的x对应的那个数．当x取具体数字时，f（x）也是一个具体的数。