英国高中数学教科书矩阵代数内容介绍

[摘 要]矩阵是代数学的重要研究对象之一，也是数学以及其它领域研究与应用的重要工具。2003年颁布的《高中数学课程标准》增加了矩阵与变换的选秀内容。本文选取英国AQA版教科书中的矩阵代数内容，从知识呈现、例习题编制等角度进行比较研究，从微观层面来考察英国初中数学教科书，寻找英国教科书是否有值得借鉴之处。

[关键词]教科书；矩阵；变换；比较

[中图分类号]G71 [文献标识码] A [文章编号] 1009 ― 2234（2015）07 ― 0171 ― 03

1前言

《高中数学课程标准》颁布以来，矩阵与变换作为选修内容，正式进入了我国高中课程。而纵观美英法德加日等发达国家的高中数学课程中均有矩阵、几何变换的内容，这反映出矩阵、变换概念在现代高中数学知识结构中的不可或缺性，这些事实也为我国“矩阵与变换”的教科书编写提供了横向参考依据。

英国第六学级（以下称为英国高中）相当于中国大陆高中阶段高二和高三年级，第六学级结束后的A水平考试相当于中国大陆高考，矩阵内容在中国大陆高中属于选修4-2的内容，并且属于高考内容，英国矩阵学习内容在“进一步的纯数学”（Further pure maths）模块中学习，属于难度较高的数学模块，有志于报考包括剑桥、牛津等名校的学生需要选修这个模块数学.现就英国高中AQA考试委员会编写的A水平课本（以下简称英国教科书）Further pure maths中的“矩阵代数”一章进行介绍.

2英国教科书矩阵内容知识范围及呈现顺序

英国教科书“矩阵与代数”安排在“进一步的纯数学”第一册的第4章，由四部分内容组成，按照教科书呈现顺序为矩阵概念与矩阵运算（加法、减法、乘法），求二阶矩阵的逆矩阵，利用二阶矩阵表示几何变换，利用矩阵解线性方程组。具体目录细节如表1：

表1

对照我国的《普通高中数学课程标准》，可以发现我国课标中的“矩阵与变换”与英国教科书的“矩阵代数”内容基本相同，我国只是多了矩阵特征值与特征向量这一内容。因此可以看出，本研究是具有可比性的。

3英国教科书编写体例简介

英国教科书是由章前言与题图、正文、习题、综合习题、小结构成。其中正文包括概念与例题。可以看出英国教科书与我国教科书的编写体例也是相近的。

英国教科书每章前言与题图安排在一页。该页的上部分为本章学习目标（objectives），以开门见山的形式，使学生在学习之前了解该章内容学习的方向。学习目标下面是该章题图，但是此题图画了两个超人（如图1），与本章内容并没有必然联系。题图的右下部分则是本章内容简介。我国教科书每章第一页也是由题目与前言组成。可以发现在编写体例形式上，两国教科书是一致的，但是我国教科书题图会和本章内容相关，从教育心理学的角度来讲，这样做起到先行组织者的作用，使得学生对于本章内容有个大致了解，

有利于学生的学习。可以看出在章前言与题图的设计上，我国教科书优于英国教科书。

英国教科书正文是由定义、命题与例题组成。总体来看，英国教科书在正文中直接给出定义或命题，然后就是例题。而中国的教科书往往会安排一些导入的环节，如观察、操作、探索、归纳等等。英国教科书中例题的编排最大特点是加入了很多旁白。这是中国教科书没有的。有了旁白，更能有助于指导学生分析题意、解答例题的思路，更适于学生自学。这样的编排是由于我国教科书的。

英国教科书习题的设置与我国教科书基本一致。

总体来看，英国教科书的编写体例与我国教科书是一致的，只是具体细节处理会有差异，在综合教科书内容，两套教科书的比较是可行的。下面就从知识呈现，例题习题的设置这两个角度进行具体的分析。

4英教科书知识呈现结构特点

如果单独考虑矩阵知识内容的安排，英国高中数学教科书基本上是按照矩阵概念矩阵运算逆矩阵矩阵的应用（表示几何变换、解线性方程组）安排的。

英国教科书中每节都有相对固定的知识呈现结构和学习顺序：新概念（或性质、定理）举例习题训练.在知识呈现方面最大的特点是开门见山，直接给出概念，没有任何引入的内容。使得学生直接面对本节基本概念、性质或公式，简洁明快。以4.1节“找矩阵维数（You can find the dimension of a matrix）”为例，教科书在章节标题下直接给出矩阵的概念“矩阵可以看成一张数表，并且有不同的形状”，之后便给出判断矩阵维数的方法与矩阵的表示方法。给出定义后便是例题，通过例题来巩固所学的知识。

可以看出英国教科书更类似于大学教学课的编写风格。这与我国教科书是不太类似的。这可能与AQA教科书“矩阵与代数”内容安排在“进一步的纯数学”（Further pure maths）模块中学习有关，因为该书相当于大学先修课程，因此在排版上也与大学教材相近。这样安排虽然简明，但是从学生学习的角度来讲并不是很好。因为教科书面对的毕竟是中学生，他们的抽象运算水平还没有达到大学生的高度。另外这样引入矩阵的话，学生很难理解到矩阵的用处。虽然矩阵的重要用途，如可以用来表示线性变换，或者在群表示论中有着至关重要的作用。这些用途会随着学校的不断深入而逐渐显现，学生也会加深对矩阵的认识。但是从学习心理学的角度，从动机的角度而言，教科书还是应该先给出一些矩阵的来源为好。如国内教科书那样，先介绍一些矩阵的来源，如线性方程组、经济学中表述投产出等问题都可以用矩阵来刻画，这样才会使学生了解到矩阵这个重要的概念不是从天而降的，而是有着重要来源的。这样的安排的好处，既可以让学生了解实际问题是产生数学理论的源泉，数学是为了解决实际问题的重要工具。这样学生才能会有兴趣去学习矩阵这部分内容，起到激发学生兴趣，促进学生学习的作用。

虽然英国教科书矩阵代数内容的后半部分安排了矩阵在几何变换和解线性方程组的作用。但是出现过完，如果学生一开始就没有被矩阵内容所吸引，那也难认真去学习后续内容了，自然也体会不到矩阵的精华之处。可能就是记住了矩阵是一个数表。

5例题和练习及习题特点介绍

英国教科书例习题最大特点就是题量大，全章共有24个例题，70个习题。对比两国教科书的例题，可以发现，我国教科书中的例题基本上都是对所学的知识的应用与巩固，但是没有引出新知识的功能。英国教科书则具备了这两个功能，既能对所学的知识进行练习巩固，进一步加深学生对所学知识的理解。而有的例题则是为了进一步引入新知识。下面分别说明。

例题的第一功能是对刚学过知识的巩固与应用。通过例题提出与刚刚介绍的概念、性质或公式相对应的问题，随后给出该问题的详细解答步骤（solution）.这样的例题和解答可能只有一组，也可能两组以上，这要根据该性质或概念的难度来确定.如4.1矩阵的维数这一节就只有一组例题，而4.5用矩阵描述线性变换就安排了4组例题，并且每组例题中有若干小题。

例题的另外一个功能就是引出新知识。由于英国教科书每一节没有引言，直接给出概念。这样虽然简介明了，但是减少了数学知识发生的过程。很难给学生展示观察、操作、归纳、抽象、猜想这样的数学过程。而这些正是在数学学习、研究中至关重要的。因为学生学习数学不仅仅是学习知识，更重要的是掌握学习数学、研究数学的方法。日本著名数学教育家米山国藏曾经说过，学生学完数学，多年之后，知识都会遗忘，而留在头脑中的，则是重要的数学方法。但是如果教师在教学中不重视数学思想方法的教学，教科书中也不注意呈现数学思想方法，那么多年之后，对于那些不再学习数学，或者从事和数学相关的职业的学生，可能就什么数学知识也剩不下了。那么教科书以怎样的形式编排才能更好的促进学生掌握数学思想方法呢？一般来说有两种编排方式，一个是通过引言、观察、探索、思考的方式得出概念、命题等。另外就是在例题中渗透这些。这两种编排方式各有利弊。放在每节的引入部分，可能不易引起学生和教师的关注。而放在例题中，那么教师和学生必然会对此重视，在教师讲解与学生做题的情况下，潜移默化的将学习数学的方法传授给学生。英国教科书以例题形式来渗透数学思想方法的。

以例题8为例，该题安排在4.4节矩阵乘法中。该节开始只是给出了矩阵乘法的法则，而没有给出矩阵乘法的形式。矩阵运算与实数运算是有很大不同的。即矩阵运算不满换律，但是满足结合律。于是教科书安排了例题7与例题8，通过具体矩阵的运算让学生去感受、总结这些性质。

另外，英国教科书中例题是统一排序的，即本节例题的题号会承接上一节最后的例题，这样可以清楚的看出矩阵代数一章共有24道例题。另外英国教科书会根据每节所涉及的知识点的数量及难易程度来安排例题和习题的数量。在4.1-4.4节，例题和习题全是矩阵的计算题，到了4.5节后，由于介绍了矩阵与线性变换的关系，开始出现证明题和较复杂的计算题（如求表示线性变换的矩阵、描述矩阵所代表的几何变换的含义等）。英国教科书中例题的特色在于其例题的解题的解题过程属于推理分析型的，一边推理分析一边解题，让人随着分析过程一步步走到结果出现，思路很清晰。可以明显的看出这样的排版方式非常利于学生学习。

英国教科书的习题分为两类，习题和混合习题分别相当于中国教科书中的习题和复习参考题。英国教科书中的习题不是每节都有，矩阵代数一章共11节，但只有10个习题，第一节因为内容很简单，没有安排习题。英国教科书其他章节也有这样的特点。习题（exercise）没有根据难度分组，有计算、证明、画图等各种题型，涉及该节知识点的各个方面.每个习题有练习题数量不等，用来巩固对该节知识的学习，同时也检验了学生对该节知识的掌握程度.英国教科书题目类型较单一，基本不涉及具体情境，也没有任何图案。

章末有一个混合练习题组，涵盖本章所有知识点的内容，是对该章知识的总结和复习，没有明确按照难度分组，但是从题的难度和题型看，难度略高于前面的活动题和练习题。

6启发和思考

6.1英国教科书内容呈现和表达方式与学生认知特点

英国教科书的编写只是简单的定义、性质加例题加习题的形式，相当于把大学数学中的二阶方阵的知识下放到中学。如果阅读一些大学线性代数或者高等代数教科书，可以发现与大学教科书的风格是很类似的。对于矩阵的引入没有任何说明。这样编写时不符合高中生的认知结构的。编写者并没有进一步的考虑如何编排教科书才能使得学生更好的掌握、应用矩阵。学生只是知道了矩阵的运算，矩阵可以表示几何变换，可以用来求解线性方程组。没有体现出数学知识的产生过程，也没有更好的体现出矩阵的应用价值。

6.2教科书难度和容量适中

英国的“进一步的纯数学”（Further pure maths）是一套难度很大的教科书，在这套教科书的第二册中已经涉及了二阶常微分方程、泰勒级数等高等数学知识。其他的一些章节，如复数、数学归纳法，是我国教科书中也有的，知识容量以及难度都不如英国教科书。但是矩阵这部分内容，中国教科书与英国教科书相比，多介绍了切变变换、初等变换、初等变换矩阵、矩阵的特征值与特征向量等知识内容。这些内容，尤其是矩阵的特征值与特征向量，都是较难的内容。因此可见英国教科书矩阵代数部分难度与容量是适中的。英国教科书按照纯数学形式编写教科书，没有将任何实际生产、生活情境融入教科书中。

6.3英国教科书章首呈现本章学习目标的预览模式有利于学生自学

英国教科书在章首列出该章学习目标（objectives），让学生学习新内容了解本章主要学习内容、重点内容、以及各个知识点的呈现顺序、各个知识点之间的基础和提高之间的逻辑关系，同时也让学生刚开始就了解到该章内容的各个知识点需要掌握的程度，很大程度上有利于学生对整章内容提前有一个总体的认识，同时还可以按照目标要求中所列的针对不同知识点的不同掌握程度有重点地进行学习，提高学习效率，也有利于提高复习效率，不至于造成没有重点地学习，这种知识呈现模式显然有利于学生对照目标进行自学.中国教科书知识在目录中体现出要学习的内容，但是体现不出重难点。英国教科书这一点值得我们借鉴。

6.4英国的纯数学形式编写使得教科书更加简明

从英国AQA高中数学教科书知识呈现形式看，该教科书与中国20世纪80年代使用的以俄罗斯中学数学教科书为蓝本的高中数学教科书编排方式相似，很少有实际应用背景知识出现，同时在习题中也很少看到应用题或数学模型题的出现，完全不同于中国现行高中数学新教科书的模式。这样编写教科书的最大特点就是一目了然，简洁明快。前面谈到了我国教科书编写的特点与优势，但是这样编写出的教科书有显得过于厚重。同样是矩阵内容，英国教科书只用了36页，而我国教科书却用了111页，这样在教学中又增加了教师的负担。能否保留我国现在编写教科书的特点，同事吸收英国教科书简洁明快的风格，是一个值得继续探讨的问题。

〔参 考 文 献〕

〔1〕中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准（实验）〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔2〕普通高中课程标准实验教科书，矩阵与变换（选修4-2）〔M〕.北京：北京师范大学出版社，2007.