提高学生解题能力之知识外延

数学课程标准中规定通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。而在实际学习时，学生却做不好，这就需要我们教师在教学中要格外重视。在一次检测学生学习情况时，试卷上有这样一道试题：已知分式x2-ax2+bx+c，当且仅当x=1时，分式的值为0；当x=3时，分式无意义，则abc的值为。结果出人意料，有85%的学生答错了，这引起了我的思考，这是一道分式有无意义的题，如果仅从表面上看，只能列出两个方程12 –；a=0和32 +3b+c=0，解出a=1，没有办法求出abc的值。但是，如果能够抓住“；当且仅当”；这句话的内涵外延后，解答这道题就比较容易了。首先分析“；当且仅当x=1时，分式的值为0”；这句话，内涵是只有当x=1时，分式的值才能为0，而其外延则是解答这道题的关键—；—；其它的数可能使分式中分子的值为0，但不能保证分式有意义，换句话说就是分母也为0。在这道题中就能找出这个数是-1，符合12 –；a=0，从而列出第三个方程方程（-1）2 –；b+c=0，这是本题的关键，从而解出abc的值。而在测试中，学生没有列出这个方程，究竟是什么原因造成的，我认为是教师在教学中没有很好地处理知识的内涵与外延，造成学生概念死记硬背，联想不足，从而列不出有效的方程。在初中数学教学中，我们在面向全体学生全面发展的同时，兼顾所有学生未来的发展需要，按学生的兴趣爱好适当扩充数学基础知识，探究好知识的内涵与外延，形成具有层次性的数学教学，有利于提高学生的解题能力。我认为应抓好以下几点：

（1）抓住定义、定理、性质，从正面引导，创造出与之相符合得条件，从而完成习题。比如，类比初中几何中有关距离的定义发现两点之间的距离、点到直线的距离和两条平行线之间的距离都于两点之间的最短线段的长有关。据此可以引导学生发现这个定义的规律，在发现规律的基础上形成新的发现，于是学生的能力就有所提高，发生质的变化。如右图，A、B、C是一条公路上的三个村庄，A、B之间的路程是80公里，A、C之间的路程是24公里。现在A、B之间设一个车站P，设PC之间的路程是x公里。 ①；用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和。 ②；若车站到三个村庄的路程之和为100公里，问车站应设在何处？③；若要使车站到三个村庄的路程总和最小，问车站应设在何处？这道题的第三个问题就抓住p点可落在C点上来解决，从而转化为两点之间线段最短的类型。

（2）抓住知识的外延，从反面找条件，完成习题，比如上面举的例子x2-ax2+bx+c，抓住X=-1时，分子是0分母也等于0这个特例来列出最重要的方程（-1）2 –；b+c=0，从而完成习题，这就需要教师在教学中抓好学生的思维训练。

（3）初中数学拓展教学，学习方法的运用是灵活的，教师的任务是指导学生找到适合自已能力的方法。初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑板表演的机会相当多。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生强记解题方法和步骤，重点题目反复做过多次。即便如此也不是所有的初中生都能学会初中的知识。而在进行拓展教学时主要强调数学思想和方法，注重举一反三，提高知识的灵活运用能力。不同的教学方法和理念产生的学习效果不同，所适用的人群也不相同。学习方法是学生要“；学会如何学习”；所必须掌握的，不同的学生其学习方法大不相同。所谓“；授人鱼，不如授人渔”；，就充分道出了方法和策略的重要性。因此，在进行数学知识、技能教学的同时，介绍一些行之有效的学习方法和学习策略，针对不同的学生给以具体的指导和帮助。对于优秀生要通过拓展训练达到最佳的效果。让学生在数学学习过程中有意识的主动的总结自己的学习方法和教师的经验，积极吸取他人有益为的学习经验，并不断加以改进，从而提高自己独立学习的能力。例如习题――满足x2+7x+C=0有实根的最大整数C是多少？这就需要教师注意引导，从两个方面考虑，一是有根的条件，二是有根时C最大可以是几。方程有实数根，则有△；≥；0，即72-4c≥；0，所以c≤；494，则c的最大整数值是12。在教学中教师注意时刻引导，就会起到事半功倍的效果。

（4）拓展教学要适度补充学习内容，对能够掌握的知识毫不犹豫的、不失时机的增加。要引导和鼓励学生对所学知识进行系统整理.把握学习年度，选择拓展教学的内容和教材，具体情况具体对待，不随意拔高教学内容，不增加学生的学习负担。注意观察反馈，了解学生对拓展内容的接受能力。还要注意运用情感和成功原理，调动学生学习热情，培养学习数学兴趣。学生学不好数学，少责怪学生，要多找自己的原因。要深入学生当中，从各方面了解关心他们，特别是差生，帮助他们解决思想、学习及生活上存在的问题。使学生提高认识，增强学好数学的信心。

当今世界数学教育的改革热点是讨论“；如何在增长知识的同时，不断提高思维能力和解决实际问题的能力”；。数学教育不仅要注意具体的解题技能方法，更应注意数学知识发生过程中的思想方法，培养学生的数学能力和优良数学品质。数学中的逻辑思维能力是根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行综合分析、抽象概括、推理论证的能力。它是基本数学能力之一，也是数学素质的核心。教学中应重视知识的形成、发现过程。数学本身是一门演绎性很强的学科，教师要在课前深研教材、精心设计、重新组织教学内容，教学中应改变驾轻就熟的“；题型+方法”；的教学方式，让启发式教学进入数学教学活动，克服学生思维的被动性，选择自觉渗透数学思想方法：展示知识的发生过程，暴露知识的背景，为学生创设问题情境，教给学生发现、创造的方法，启发引导他们去思考、创造，让他们在创造中学习，在发现中获取，在成功中升华。具体地说，可利用概念、公式、定理的教学，培养学生思维的概括性和创造性；利用知识应用的教学，培养学生思维连续性和广阔性；利用典型例、练习题的多解和延伸变化，培养思维的敏捷性和深刻性；利用学习中经验的积累和存在问题的矫正过程，培养学生思维的方向性和批判性。