例谈数学解题中隐含条件的挖掘

每道数学都可以分为“条件”和“结论”两部分，条件是命题中的已知事项，而结论是从命题中提出条件经过推理而得到的事项，多数命题的条件和结论是明确的，但有的简单命题就不明确点明，它的条件是隐蔽的。隐蔽在题设中的已知条件我们称之为“隐含条件”。它们常常巧妙隐蔽在题设的背后，不易被人们发现。这些隐含条件对解题影响很大，一道数学题是否解得迅速、合理、正确，关键在于要引导学生充分挖掘和利用好隐含条件，部分学生解决某些数学问题，常因疏漏隐含条件，要么使解题无法进行，要么就得出错误的结论。究其原因，主要是对那些问题中所隐含的条件不清楚，没能充分应用到位。那么怎样才能引导学生充分挖掘和利用隐含条件？笔者多年从事数学教学实践，认为教师应从以下4方面入手：

1. 从数学概念、定义中挖掘隐含条件

数学概念、定义中的某些部分较为隐蔽，如不注意，就容易错误或被疏漏，造成解题的失误。应从仔细审题入手，积极探明题目思路，注意分析概念、定义的实质，挖掘出隐含条件，使解题做到快而准。

例1：在实数范围内解方程：|（x+y）（x-y）-15|+4-xy=0。分析：注意在此方程中含有绝对值和平方根，可从概念入手，挖掘隐含条件。

在实数范围内求解时，此方程的第一部分表示实数的绝对值，第二部分表示实数的算术平方根，它们在数量上的共同特征是表示非负数。

即（x+y）（x-y）-15=04-xy=0x1=4y1=1，x2=-4y2=-1

例2：求C25-n2n+C2n9+n（n∈N）的值。分析：若采用组合的计算公式Cmn=n！m！（n-m）！来求值很繁琐，但从组合数特定的概念中挖掘隐含条件nm0，m、n∈N，问题显然易解。

解：由组合的定义知：2n25-n0（n∈N）

9+n2n0

得：813n9且n∈N，所以n = 9

故原式= C1618+C1818=C218+1=154

2. 从基本初等函数的定义域、值域中去挖掘隐含条件

函数的定义域、值域是函数的主要组成部分，有些重要的条件往往隐含在定义域、值域中，这不但需要教师注重培养学生的观察能力，还要求学生熟练地掌握基本技能，仔细分析、勤于联想，这样才能提高挖掘隐含条件的能力。

例3：已知y=3x2+arcsinx-π2+x-2，求log2y的值。

分析：因为arcsinx-π2隐含着定义为arcsinx-π20，而反正弦arcsinx又隐含着其值域|arcsinx|π2，则|arcsinx|=π2，x=1

所以y=3×1+0+1-2=2，则log2y=log22=1，得解。

例4：若x∈R，求函数y=3-sinx4-2cosx的值域。

分析：因为|cosx|1（cosx的值域为隐含条件），所以4-cosx≠0，将解析式化为方程并整理得：

sinx-2ycosx=3-4y，所以1+4y2sin（x+φ）=3-4y

sin（x+φ）=3-4y1+4y2，又因为x∈R时，|sin（x+φ）|1（sinx的值域为隐含条件）。

所以|3-4y1+4y2|1|3-4y|1+4y2（3-4y）21+4y2解得：

1-33y1+33

3. 从图形特征中挖掘隐含条件

某些条件隐于图形之中，往往被学生忽视，只有引导学生深入分析图形的结构特征，才能洞察所隐蔽的条件，找出规律，对解题过程才能有所帮助，对开发学生思维和提高解题能力及速度才是有益的。

例5：如图1，在第一象限内，等腰直角ABC，C点固定在（4，4），A，B分别在x、y轴上移动，求ABC的面积最大值。

图1

（1）SABC=12|AC|2=[（4-x）2+42]，所以，当x=4时，S最小值=8，而最大值不存在。

（2）SABC=12|AC|2=162sin2α，所以，当sinα=1时，S最小值=8，而最大值不存在。

以上两种结论都是错误，原因在于学生忽视了图像限制条件。由于RtABC在第一象限，所以0x8或14πα34π在这种情况下，SABC的最大值是16平方单位。

4. 从已知条件限定的范围中挖掘隐含条件

有些数量题，已知条件由这样或那样的关系式给出，部分的条件隐含在这些关系式中，在这种情况下，注意引导学生观察关系式的数字、字母、算式等的限定范围，才能从中挖掘出隐含条件。

例6：方程x2-ax+b=0的根是sinθ和 cosθ，求动点（a，b）的轨迹。

错解：sinθ+cosθ=asinθ cosθ=b（韦达定理）消θb=12a2-12，即y=12x2-12，它是一条抛物线。这个解是错的，忽略了隐含条件-1sinθ1，-1 cosθ1，这是三角形余弦函数有界性质的限定，所以错误。正确解法是：

a=sinθ+cosθ=2sinθ（45+θ），所以-2a2，b=sinθ cosθ=12sin2θ，所以-12b12，则12x2-12是点A （-2，-12）和B（2，12）间的一段弧。

综上所述，数学教学中教师对隐含条件的引导挖掘在解题中具有重要的作用。但要看出隐含条件，不但要求学生必须具备牢固的数学基础知识和熟练的基本技能，还要求学生有一定的观察能力。这需要数学教师让学生注意深刻理解题意，理清已知条件，挖掘隐含条件，切忌粗心大意；认真分析，逐渐培养学生探索数学知识奥妙的习惯；仔细观察，开拓思维，在挖掘中不断提高分析问题和解决问题的能力。

收稿日期：2013-03-10