比较大小之“最”

有关比较大小的考题是高中数学中常见的内容,也是高考常考常新的题型. 这类问题涉及面广,往往与不等式有关,同时可与函数等内容综合. 其解法灵活,但也有章可循,可归纳为以下几个“最”.

一、最基本的通法――作差法

例1 已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(0

分析 可直接利用作差法,再因式分解,判断符号,得到大小关系.

解 f(x1)-f(x2)=ax21+2ax1+4-(ax22+2ax2+4)=a(x1+x2)(x1-x2)+2a(x1-x2)=a(x1-x2)(x1+x2+2).

因为x1+x2=1-a,

所以f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)(3-a).

又x1

所以f(x1)-f(x2)=a(x1-x2)(3-a)

故有f(x1)

评注 本题的背景函数是含参数的二次函数,要运用到二次函数的基本性质.

二、最直观的方法――图象法

例2 比较0.7a与0.8a的大小.

分析 分别构造两个指数函数,利用图象法来解决.

解 设函数y=0.7x与y=0.8x,则这两个函数的图象关系如右图.

当x=a,且a>0时,0.8a>0.7a;

当x=a,且a

当x=a=0时,0.8a=0.7a.

评注 对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.

三、最常用的技巧――介值法

例3 下列大小关系正确的是()

A. 0.43

C. log40.3

分析 利用对数函数的性质,巧用中间数0或1作参照,可很快比较出大小.

解 log40.3

log40.3

故选C.

评注 比较a与b的大小,如果它们与另一个数c存在大小关系ab),那么由不等式的传递性,可得ab).这种比较大小的方法叫做介值法.

四、最轻松的方法――特殊值法

例4 设a、b、c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()

A. |a-b|≤|a-c|+|b-c|?摇?摇 B. a2+■≥a+■

C. |a-b|+■≥2?摇?摇 D. ■-■≤■-■

分析 不用逐一判断,可用取特殊值法来解决.

解 取a-b=-1,则|a-b|+■=0,所以|a-b|+■≥2不恒成立.

又选择题的正确答案是唯一的,故选C.

评注 本题利用特殊值法,可绕过很多知识难点,是最轻松的解法.

五、最灵活的方法――综合法

例5 已知定义域为R的函数f(x)在(8,+∞)上为减函数,且函数y=f(x+8)为偶函数,则()

A. f(6)>f(7)?摇?摇 B. f(6)>f(9)

C. f(7)>f(9)?摇D. f(7)>f(10)

分析 综合利用不等式和函数的各种性质,可获解决.

解 由y=f(x+8)为偶函数,知f(x+8)=f(-x+8),则y=f(x)关于直线x=8对称.

又f(x)在(8,+∞)上为减函数,故在(-∞,8)上为增函数,于是有f(7)=f(9)> f(10).

故选D.

评注 这里考查了函数的奇偶性、函数的图象平移、函数的对称性及单调性等.