灵活运用对数换底公式

对数换底公式:logbN=■(a,b>0,a,b≠1,N>0)是新课标必修(1)的重要内容,是对数运算的重要依据之一,应用十分广泛. 利用换底公式统一对数的底数(即“化异为同”),是解决有关对数问题的基本思想方法. 灵活运用换底公式及其变形,不仅能迅速找到解题的切入点,而且还能优化解题过程,提高解题速度.

一、正用

例1 已知log189=a,log185=b,求log365的值.

解析log365=■=■=■

=■=■.

例2 化简m=log56・log67・log78・log89・log910.

解析 m=■・■・■・■・■=■=log510.

例3 已知logaM+logbN=logaN+logbM,求证:a=b或M=N.

解析 易知a,b>0,a,b≠1,可化已知条件为logaM-logbN=logaM-logbN,即loga■=logb■,所以lga=lgb或lg■=0,即a=b或M=N.

二、逆用

例4 已知loga1b1=loga2b2=…=loganbn=N,求证loga1a2…an(b1b2…bn)=N.

解析 由换底公式可得■=■=…=■=N,依据等比定理可得■=N,所以■=N,即loga1a2…an(b1b2…bn)=N.

点评 我们不但要善于正用对数换底公式(logaN=■),更重要的应该会逆用公式(■=logaN). 在平时的学习中,同学们要注重逆向思维能力的训练与提高.

三、变用

运用换底公式logbN=■(a,b>0,a,b≠1,N>0),容易证明下面两个恒等式:(1) loganbm=■logab(n≠0);(2)logab=■. 这两个恒等式可以作为换底公式的推论,它们进一步揭示了对数变换的规律,直接运用这两个结论,可简化解题过程.

例5 若log32=log23x,则x等于()

A. -1?摇?摇 B. 1?摇?摇 C. (log 32)2?摇?摇 D. (log 23)2

解析 易知xlog23=log32, ■=log32, x=(log32)2. 故选C.

例6 计算(log23+log49+log827+…+log2n3n)log9■.

解析 原式=(log23+log23+log23+…+log23)・■log932=nlog23・■log32 ■=■log23・log32=■.

例7 解方程log16x+log4x+log2x=7.

解析 由对数的意义知x>0,原方程可化为log2 x ■+log2x ■+log2 x=7,所以log2 (x ■・x ■・x)=7,log2 x ■=7,所以■log2 x =7,log2 x=4,解得x=16.

例8 设A=■+■+■,B=■+■,试比较A与B的大小.

解析 A=log195+2log193+3log192=log195+log199+log198=log19(5×9×8)=log19360

B=logπ 2+logπ 5=logπ 10>logππ2■=2,所以B>2.

故A

例9 已知x,y,z∈R+,且3x=4y=6z.

(1) 求使2x=py的p的值;

(2) 求证:■=■-■;

(3) 比较3x、4y、6z的大小.

解析 设3x=4y=6z=k(k>1),则x=log3k,y=log4k,z=log6k.

(1) 由py=2x,得plog4k=2log3k,■=■,所以p=■=2log34.

(2) ■-■=logk6-logk3=logk2=■logk4=■,所以■=■-■.

(3) 因为k>1,所以lgk>0,则

3x-4y=■(lg64-lg81)

4y-6z=■(lg36-lg64)

故3x

点评 在较复杂的指数、对数运算中,应当灵活运用指数、对数的互化和性质,熟练掌握对数换底公式的正用、逆用和变用.