外汇套利识别方法新发展:矩阵套利理论综述

摘 要：外汇市场的巨大交易量和丰厚的潜在套利利润，使得外汇套利的相关研究得到学者的持续关注。马明从货币价值的一价定律出发，构造了全球无套利汇率矩阵，建立了一套利用汇率矩阵特征值识别套利机会。相比于传统的三点套利理论具有快速反应、计算简捷的优点。对矩阵套利识别理论的基本假设和数学基础进行补充，并在此基础上完整地阐述该理论。

关键词：外汇市场；矩阵套利；无套利条件；一致性矩阵

中图分类号：F830 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）30-0122-05

引言

全球外汇市场是全球最大的金融市场，交易量庞大。1998年全球每日平均的外汇交易量为1.7万亿美元，2010年为4万亿美元。虽然受到全球宏观经济不景气的影响，全球外汇市场交易量仍然不断上升，2013年日均交易量已经达到5.3万亿美元[1～2]。

套利，是指投资者利用相同资产、类似资产或者具有相同现金流的资产在不同市场或者相同市场的价差获得利润的交易行为。通常的套利包括两次同时进行的交易行为：买入被低估的资产和卖出被高估的资产，从理论上讲，所有的套利行为都是无风险的交易行为。按照套利涉及的市场种类或者套利来源，可以将外汇市场套利分为两类：一是不同即期市场上的同种货币存在价差产生的套利机会，包括两点套利、三点套利以及多点套利；二是由于利息率、即期外汇价格、远期外汇价格三者的关系偏离抛补利率平价（covered interest parity，产生的套利机会，又称抛补利率套利（covered interest arbitrage）。两点套利，通常涉及两种货币、一个货币对、两个外汇市场，是利用汇率在不同市场的报价差异进行套利，由于极易被发现，现实中这种套利机会难以存在。三点套利，通常涉及到三种货币、三个货币对、三个外汇市场，是利用不同市场对不同货币对的报价差异获利，因此三点套利又被称为“空间套利”[3]。抛补套利，通常涉及两种货币、一个货币对、两个外汇市场、两个利率市场，这种套利利用外汇市场或者利率市场价格，对利率平价的偏离获利。此外，理论上还存在远期市场的多点套利机会，这个套利机会的存在决定于即期市场的套利机会和无抛补利率套利机会的存在 ，只有即期市场的多点套利和无抛补利率套利机会同时不存在，远期市场才不存在多点套利机会[4]。

由于全球外汇市场交易量巨大，交易币种多种多样，交易时间持续不断，外汇市场分布广泛，使得全球外汇市场无风险套利机会始终存在，利润十分丰厚。因此，对于外汇套利的研究主要集中于套利机会存在性与套利利润的实证检验两个方面[3]。较早地从从理论上阐明了外汇市场的地理分布和不同国家利率政策的差异分别导致了三点套利和抛补利率套利的存在性。随后，Branson（1969），Prachowny（1970）和Frenkel（1973），Aliber（1973）分别从交易成本、资本市场不完美性、政治风险的角度解释了抛补利率套利的存在性[5～8]。随后学者从理论和实证两个方面证明了，在外汇市场中，即使利率平价成立，由于交易成本、供求弹性、套利交易执行滞后等原因，短期仍然存在抛补套利的机会[9]。从信息、价格系统、市场效率的角度，Grossman和Stiglitz，（1976）以及Grossman和Stiglitz（1976）提出了著名的“套利悖论”（arbitrage paradox）[10～11]。“套利悖论”指出，如果不存在套利机会，则投资者没有动力去关心市场产生的价差，那么套利机会就会产生，因此市场完全有效的假定不总是成立的。套利机会的存在总是短暂的，因为套利机会吸引大量投资者进行套利活动，最终价差被平抑。Aliba等（2002）对主要货币对1991年1月25日至1999年3月12日的高频数据进行了研究，发现三点套利机会大量存在外汇市场，平均每个交易日存在90分钟的套利机会，且这些套利机会中总是存在可获利的交易窗口[12]。外汇套利的实证研究主要集中于外汇套利利润的测算。Akram等（2008）[13]的外汇市场数据研究表明，市场对抛补利率平价的偏离产生大量的套利机会，而且这些套利机会能够带来的巨大的利润收益，欧元、英镑、日元的套利利润分别为0.08～5.23个基点、0.25～9.24个基点、0.13～6.25个基点[13]。

综上所述，外汇市场的巨大交易量和丰厚的潜在套利利润，使得外汇套利的相关研究得到学者的持续关注。

一、外汇套利识别研究的发展现状

汇率套利研究可以大体分为抛补利率套利的研究和即期市场的套利研究。从目前获得的文献来看，学术界对于抛补利率套利的研究较多。一方面，由于利率平价作为国际金融领域的基础理论，其是否得到外汇市场数据的实证支持，至关重要；另一方面，由于各国利率政策、交易成本、政策风险、资本流动等因素都可能导致抛补利率套利机会的产生，可探讨的领域较多。相比之下，即期外汇市场的套利问题的研究进展缓慢。

Chacholiades（1971）[14]发表《The sufficiceny of three-point arbitrage to insure consistent cross rates of exchange》一文，证明了一系列重要结论，并成为即期外汇套利的标准理论[15]。其中关于即期外汇套利的一个重要结论是：如果在全球外汇市场不存在三点套利机会，则任何多点套利机会不存在。此后关于即期外汇市场套利的研究，主要集中于如何利用技术手段识别三点套利机会或者多点套利机会。Aliba等（2002）通过对三种货币汇率乘积分布特征的分析，建立了三点套利机会识别的一种可行方法[12]。还有一些关于即期市场外汇套利的少数研究，主要是利用信息技术与计算机编程技术，对外汇市场套利机会进行识别并提出套利策略[16～17]。

目前的即期市场套利机会的识别是建立在对三点套利机会的识别基础上，但是，随着可交换货币的不断增加，识别市场存在的机会，就难以避免地要进行多次计算，且一直没有出现识别多点套利机会的理论方法。马明（2004）从货币价值的一价定律出发，构造了全球无套利汇率矩阵，建立了一套利用汇率矩阵特征值识别套利机会，并提出套利策略的理论[18]。马明的理论与Chacholiades（1971）的结论存在内在的统一性。进步之处在于进一步回答，随着外汇矩阵的增广如何快速准确地识别三点套利机会和多点套利机会，并建立可行有效的套利策略。

一些研究者对矩阵套利理论进行了拓展和有意义的探索，为本文的进一步研究奠定了基础。徐熙淼等（2006）[19]对矩阵套利有效性进行了数学说明，并讨论了价差条件下，矩阵套利理论的适用性。张宇飞和马明（2010）假定了一种价差产生的线性模式，发现套利信号与价差存在正相关性[20]。白雅娟（2011）对含价差和不完全竞争环境下的矩阵套利方法的有效性进行了讨论[21]。上述研究对矩阵套利识别的研究，存在的问题主要是还未进行过一次关于矩阵套利理论的完整综述，特别是对矩阵套利理论的前提假设和数学基础的论述不够。基于此，文章将对矩阵套利理论的前提假设和数学基础进行补充，在此基础上完整阐述矩阵套利理论。

二、矩阵套利理论综述

全球外汇市场的矩阵套利理论，最早由马明（2004）提出。在文章中，他提出可以通过计算汇率矩阵的特征值、构造API指数识别包含任意多种货币间的无风险套利机会，同时他还给出了一种可快速发现的三点套利策略。此后，白雅娟（2011）对矩阵套利理论做出了一些探索性的完善工作。文章将从基本假设和数学基础入手，完整论述矩阵套利理论。

（一）基本假设

矩阵套利机会的识别，是在极其理想的前提条件之下成立的，可以称之为纯粹的矩阵套利理论。但是，这并不意味着矩阵套利理论不具有实践意义，对此的讨论将超出文章的研究范围，不再赘述。

假设1：无交易成本，资本可以在不同市场内、市场间自由流动。在现实中，交易成本必不可少，这一点对于矩阵套利理论的现实价值至关重要。因为，现汇市场的套利机会稍纵即逝，矩阵套利理论仅能用于高频交易活动之中，相应地交易成本将不断积累。而且，外汇、资本的自由流动仅在美国、欧洲、日本、新加坡、加拿大、澳大利亚等国家得以实现，包括中国在内的广大发展中国家都存在不同程度的外汇和资本管制。

假设2：对于汇率矩阵中的任何一种货币，投资者都可以在汇率矩阵中涉及的任何一个外汇交易市场进行交易。以一个持有美元的美国投资者为例，如果他（她）的汇率矩阵中有N种货币，相应涉及到N个国家的外汇市场，当然这N种货币包含美元和其他N-1种货币。那么他（她）既可以在美国的外汇市场买入（卖出）其他N-1种货币，也可以在其他任何一个外汇市场，买入（卖出）其他N-1种货币。在现实中，只有美元、欧元、日元、加元、澳元等一些主要货币之间的交易可以自由进行，对于那些非国际货币，他们与国际主要货币、非国际货币之间的交易也受到不同程度的限制。

假设3：不存在买卖价差。也就是说，任何一个外汇市场的做市商报出的买入价和卖出价相同。如果说，假设1和假设2会随着技术的发展、不同国家外汇市场的开放逐渐趋于理论假设，那么假设3与前两者最大的区别在于它将永远不会存在。与股票市场、债券市场等集中撮合竞价的金融市场相比，外汇市场最大的特点是交易商交易模式。在外汇市场，做市商双向报价，赚取价差，同时为外汇市场提供流动性。虽然，买卖价差通常作为外汇市场流动性的关键衡量指标，价差越小，流动性越强；但是，买卖价差不存在，将意味着做市商的消亡，外汇市场流动性的枯竭。

假设4：不同汇率之间的短期波动互相独立。假设4的合理性必须区分不同的市场。在同一个市场的不同汇率之间的短期波动，可能存在一定的相关性，因为即使是不同汇率的波动，也可能是缘于市场中同一个做市场或者投资主体的交易行为。而如果考察不同市场上不同汇率的波动性时，由于市场上做市商和投资主体存在差异，且在不同的市场环境下，其实是相同的做市场或者投资主体也会表现出不同的交易行为。这时，汇率短期波动相互独立的假设，存在一定的合理性。此外，量化交易中的矩阵套利关注的是极短时间内（以毫秒计）的套利机会，在这样短的时间内，可以近似认为不同汇率短期波动互相独立。

（二）汇率矩阵与无套利条件

在同一时刻，全球几个外汇市场的几种货币可以构成一个外汇市场。早在1971年，Chacholiades就开始利用汇率矩阵研究多市场多货币的无风险套利问题。一个典型的汇率矩阵，可用下表表示。

汇率矩阵中的汇率都是直接标记法下的汇率，即ai，j表示在第j市场购买一单位第i种货币需要多少单位第j种货币。事实上，在一般的场合，ai，j都指示汇率的间接标价法，但是为了与马明（2003）等论文中的汇率矩阵一致，这里规定本文所有的汇率都是间接标价法下的汇率。此外，本文的汇率矩阵的元素不仅可以表示一种货币在不同市场的报价，还可以表示一种货币在相同市场不同做市商的报价。也就是说，在利用汇率矩阵识别套利机会、选择套利策略的同时，投资者可以自由地构造汇率矩阵，这些汇率数据可以是来自不同市场的报价，也可以是来自不同做市商的报价。表 1可以表示为汇率矩阵A：

A=1 a12 a13 … a1，n-1 a1n

a21 1 a23 … a2，n-1 a2n

a31 a32 1 … a3，n-1 a3n

[…] […] […] […] […] […]

an-1，1 an-1，2 an-1，3 … 1 an-1，n

an1 an2 an3 … an，n-1 1

本文一个重要的假设是汇率矩阵中不存在两点套利机会，此时，汇率矩阵满足：

aijaji=1 （i，j=1，2，3，…n） （1）

事实上，现实中由于两点套利机会极易识别，可以认为市场上几乎不存在两点套利的机会。

如果汇率矩阵不存在三点套利机会，则该汇率矩阵需满足：

ai，kak，jaji=1 （i，j，k=1，2，3，…n） （2）

也就是说，在汇率矩阵中，选取任意不相等的i，j，k，如果式（1）成立，则该汇率矩阵不存在三点套利机会。该命题的逆否命题也成立，即如果式（2）不成立，汇率矩阵存在三点套利机会。

一般地，如果汇率矩阵不存在k（3≤k≤n）点套利机会，则该汇率矩阵需满足：

ai1，i2ai2，i3ai3，i4La

i（k-1），ikaik，i1=1 （3）

其中，

i1，i2，i3…，i（k-1），ik=1，2，3，…n

该命题的逆否命题成立，即如果式（3）不成立，则汇率矩阵存在k点套利机会。事实上，Chacholiades，Miltiades（1971）已经证明，在一个汇率矩阵中，如果不存在两点套利机会和三点套利机会，则一定不存在k点套利机会。

（三）正互反矩阵与一致性矩阵

矩阵套利理论的数学基础是正互反矩阵和一致性矩阵，理论渊源可以追溯到Saaty（1978）发表的《非结构化的决策问题―层次分析建模》。因此，一些层次分析的原理可以应用于矩阵套利理论中[22]。

对于矩阵A=（aij）n×n，如果aij>0，aii=1，aijaji=1，则称矩阵A为正互反矩阵。对于一个正互反矩阵A，如果?i，k，j，有aij=aikakj，则称正互反矩阵A为一致性矩阵。

对于一致性矩阵A，至少存在以下5个相互等价的命题：（1）矩阵A是完全一致性正互反矩阵；（2）矩阵A的最大特征值等于它的阶数；（3）矩阵A的所有列向量都属于特征值n的特征向量；（4）矩阵A的任意两列（行）的对应元素之比是常数；（5）矩阵A可以分解为第k列向量与第k列行向量的乘积。①

由式（2）和式（3）可以得出两个结论：（1）任何一个不存在两点套利机会的汇率矩阵一定是正互反矩阵；（2）任何一个不存在套利机会的汇率矩阵一定是一致性矩阵，反之亦成立，即如果汇率矩阵是一致性矩阵那么该汇率矩阵不存在套利机会。

（四）套利机会的识别

矩阵套利机会的识别，实质上是判断汇率矩阵的一致性。因此，矩阵套利理论的逻辑起点是寻找一个不存在k点套利机会的一致性汇率矩阵B，这样的一个一致性矩阵可以表示为：

B=

…

…

[…] […] […] […]

…

该汇率矩阵的元素满足bij=gi/gj。任意选取汇率矩阵B中k（3≤k≤n）个元素，则有：

bi1，i2bi2，i3bi3，i4…b

i（k-1），ikbik，i1=・…・=1 （4）

因此，这个一致性汇率矩阵B满足式（4）的条件，这个汇率矩阵不存在多点套利机会。

此外根据一致性矩阵的等价命题，汇率矩阵B还满足下式：BG=nG。其中，n是矩阵B的最大特征值，G=[g1，g2，…gn]T是矩阵最大特征值相应的特征向量。在矩阵套利理论中，将向量G称为含金量向量。在严格的金本位制度下，汇率报价由不同货币的含金量决定，不存在无风险套利的机会。

矩阵套利理论认为，在不存在两点套利机会的前提下，如果一个汇率矩阵的最大特征值偏离矩阵阶数n，则该汇率矩阵中存在多点无风险套利机会。同时，借鉴Saaty（1978）矩阵一致性的判断标准，② 矩阵套利理论还定义了无风险套利获利的潜力指标：

API= （5）

API指标不等于0，则意味着存在无风险套利机会，且API值越大，表明无风险套利获得的收益将越高。目前，矩阵套利理论识别套利机会的指标主要是API，但是由于目前缺乏一定实证检验，对于API的大小能再多大程度上衡量汇率矩阵对一致性的偏离还不太清楚。而且API指标还可能受到矩阵阶数，计算程序的影响。

结论

在即期外汇市场，外汇矩阵套利识别理论相比于传统的三点套利理论具有快速反应、计算简捷的优点。文章对矩阵套利识别理论的基本假设和数学基础进行了论述，并在此基础上完整地阐述了该理论。但是，矩阵套利理论的实践运用仍要克服假设条件苛刻的问题，比如理论并未考虑交易成本、外汇买卖价差等因素对理论结论的干扰，因此矩阵套利理论的运用还需要更多的研究和探索。

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