课堂教学要引导学生去发现

【摘要】一个学生的数学素养应该体现在把看到的、想到的一些现象，用数学的方法进行演绎和解释。会解数学题是对数学学习的基本表现，绝不是唯一表现形式，更不是最终目的。数学课堂教学要使...

高尔顿板是一个很有趣的游戏（其实很多很有趣的游戏都可以从数学的角度来认识、解释和演绎）。演示高尔顿板游戏，让学生在游戏中不自觉地进入角色。研究小球落入各球槽的概率：依次增加挡板的层数，一层、两层、三层、……、n层，分别写出小球落入第n层第k个球槽的概率，提出问题：它们是否有一定的规律，如果有，试以适当的形式（最好是用数表的形式）来显示出它具有的规律性，并归纳出一个统一形式。

（图1 ） （图2）

设小球落入第n层第k个球槽的概率为p（n，k） （k=0,1,2……），则 p（n，k）= .在老师的帮助下，经过大家的共同努力，大家列出了一个类似于杨辉三角的数表（图2），大家对分母的规律性易于发现 ，而对分子所具有的规律性经过商讨，个别同学提出来，把分子拿出来单独列成一个数表，恰恰是杨辉三角中的数。于是p=（n，k）=，在这里，我们规定C00（前面学过0！=1，在此可以让大家了解规定的必要性与合理性）。大家感到惊叹，太美了，太有意思了。老师又提出一个问题，这个公式是我们从特殊到一般的经过归纳得出来的规律，它对于层数更多的情形还适合吗？我们能否从理论上给出证明呢？试想，小球落下的过程中，碰到挡板向左、向右的概率各是多少? 向左、向右相互影响吗？既然不相互影响，它们就是相互独立的，小球下落的过程中就是不断在做独立重复的向左或向右试验，每次向左与向右的概率都是 12，最后落在哪个球槽内，只由在下落的过程中选择向左或向右落下的次数来决定，在n此下落的过程中，选择k次向右就一定落在最下面的第(k+1)个球槽内,即如果高尔顿板有n层，那么小球落在第k个球槽内的概率是 。通过试验，发现、归纳总结、作出解释、形成定论的探究过程，学生学会了用数学的眼光看问题、研究问题、解决问题、解释问题，了解了研究问题的方式方法，特别是从特殊到一般的归纳猜想模式，体现了对数学知识的再发现、再创造过程，使学生在兴趣的引导下完成对数学的学习。既让他们感到学习数学并不是枯燥无味的，又让他们认识到用数学知识可完美的解决现实生活中的有趣现象。

我们常说对教材处理要做到用教材而不是教教材，教材别是引例中蕴含着丰富的内涵。数学知识仅仅是其中的一部分，是具体的可以表现出来的东西，而其中的思想方法、对问题的敏感与发现、处理问题的角度、方式方法和研究问题的过程也应该成为我们教学的重要组成部分。了解、掌握从实践上升的理论，从特殊推广到一般的思维模式并形成思维习惯，比仅仅记住结论，生搬硬套更可贵，更有意义，也更有利于学生今后的发展。而这些，在日常教学中，往往被教师所淡忘、所忽略。他们关心的是学生的考试成绩与自己所教学科的排名，淡化了对问题的探究方法和过程的处理，淡化了对其中蕴含的思想方法的挖掘，过多的强调对公式定理的理解掌握，及其在解题中的运用，剥夺了学生在兴趣引领下逐步完成对问题的试验探究的过程，对解决问题过程中的思想方法的领会与感悟，学生失去了由自我发现和感悟而带来的乐趣，丧失了再创造或另辟蹊径的可能性。没有发现带来的惊喜，没有独自研究成果的展示带来的被尊重的享受与得意。

张建跃教授曾指出，当前数学课堂教学的品味普遍不高，许多教师匠气十足，以题型教学技巧训练代替数学教学，缺少起码的思想、精神追求，极大的损害了数学的育人功能。其中的第九个论题精辟的论述了"课堂教学重结果而轻过程的危害"，指出：没有过程的课堂教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念之间的关系无法认识、联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨性、稳定性等指标都会大打折扣，没有过程的教学把思维的体操降格为刺激-反应的训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。 将数学教学理解为活动、思维和过程，就会冲破传统的"结果、结论"式的教学范式，使数学教育的功能得以全面发挥，让学生感受到知识的发生过程，了解知识的可靠性和局限性，使他们认识到数学知识是在试验、猜想、反驳、修正和证明中逐步发展起来的，从而培养他们勇于探索、敢于批判、善于反思的数学理性和追求。

一个学生的数学素养应该体现在把看到的、想到的一些现象，用数学的方法进行演绎和解释。会解数学题是对数学学习的基本表现，绝不是唯一表现形式，更不是最终目的。数学课堂教学要使学生产生了思想、了解了所学内容的产生和发展的过程、掌握了知识、增长了智慧。作为教师，不能只教授前辈的成品，还要讲学生的半成品，甚至次品。把师生各自的理解角度、解答过程和得出的结论拿出来，再通过集体的智慧形成共识，使学生既增长知识，又启迪智慧，这样的课堂教学，才是培育人才的肥沃土壤，才能展示个性和差异，才能培育出优秀的人才。

当前我国的教育仍摆脱不了"填鸭式"的教育模式。一种企业的管理模式和奖惩机制已在校园内盛行，这种"少时了了，老无所成"的尴尬不得不让人担忧。"我们的祖先很早就在科技领域为人类作出了不朽的贡献，中国古代的发明和发现远远超过了欧洲，特别是在15世纪以前。但是，为什么现代资本主义和科学起源于西欧而不是中国？" "为什么我们的学校总培养不出杰出的人才？"这一"钱学森之问"更是发人深醒。

新课标教材的编写比以往教材有了较大的突破，教材的编写集体站在系统与理论理论的高度，从实践经验出发，按自己感知问题的角度引入题目，根据以往学生的学习对教材内容的编排顺序和结论形成进行的来龙去脉、重难点的掌握和练习进行精心搭配，以其达到完美和实用。这就为教师从学生的已知和兴趣出发，引导学生探索发现搭建平台提供了便利，使出新、出彩、创新与创造有了更大的可能。教师要趁此机会放手让学生多发现多探究、多验证、多梳理，形成自己对问题的认识和解决问题方法。

另外，数学教材中还提出了值得研究的问题并为学生探究而留出了空白。例如课后阅读让学生了解了数学问题的研究过程与方法，对思考的问题不做解释、三角函数中两角和与差的之后的二倍角公式留出的空白等都是很好的例证。空白之处能给学生留出更大的自由发展空间和自主探究的可能，学生会更感兴趣。