“函数的单调性”教学案例

一、教学目标

理解增函数、减函数、单调区间概念，让学生体验数学概念的形成过程，培养学生的数学思维能力。

二、教学重点

形成增减函数的形式化定义。

教学难点：增、减函数形式化定义的形成及利用函数单调性的定义证明简单函数的单调性。

三、教学过程

师：日常生活中，我们有过这样的体验：从阶梯教室前向后走，逐步上升，从阶梯教室后向前走，逐步下降,上下楼梯也是一样。

问题1：函数y=x的图象是如何变化的？

生：交流并观察y=x的图象，发现从左到右呈上升趋势。

师：观察y=x2图象，指出图象的升降情况，并与y=x进行比较，指出它们的不同点。

生：观察图象发现在左侧下降，右侧上升。不同点是：不同函数其变化趋势不同，同一函数在不同区间的变化趋势也不同。

师：一般的，设函数f（x）的定义域为I，区间A?哿I：如果对于区间A内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就说f（x）在这个区间上是单调增（减）函数。

师：你认为增、减函数定义中的关键词是什么？

生：定义域内某个区间。

师：很好！

师：讲解例1（如图）定义在区间［-5，5］上的函数y=f（x）的图象，根据图象说出y=f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上，y=f（x）是单调增函数还是单调减函数。

生：得到答案［-5，-2］，［1，3］减；［-2，1］，［3，5］增

师：对函数的单调减区间学生易错写成［-5，-2］∪［1，3］的形式加以澄清，并举反例加以说明。

■

师：讲解例2，说出函数f（x）=■的单调区间，并证明在该区间上的单调性。

生：用定义尝试证明，碰到困难。

师：区间分为（-∞，0），（0，+∞），证明略。

师：证明单调性的步骤：

（1）取值：设x1，x2是给定区间上的任意两个值，且x1＜x2；

（2）作差与变形：作差f（x2）-f（x1），变形，一般化成几个因子积的形式（或平方和形式）；

（3）判断：确定f（x2）-f（x1）的符号；

（4）下结论。

生：尝试练习画出f（x）=3x+2的图象，判断它的单调性，并加以证明。

课堂小结：本堂课我们学习了：1.函数单调性的定义，对于区间A内的任意两个值x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＜f（x2）［f（x1）＞f（x2）］，那么就说f（x）在这个区间上是单调增（减）函数。2.证明单调性的步骤、取值、作差与变形、判断、下结论。

布置作业：书本39页A组1，2

教后反思：本节课我从学生熟悉的一次函数、二次函数入手，增强学生的兴趣，但是在给出单调性定义时给学生探究的时间有点短，导致学生在用单调性解题时，容易犯各种错误。

（作者单位 浙江省浦江县第三中学）