数学概念教学浅谈

摘 要: 数学概念课的教学在数学教学中占有重要的地位。如何搞好新课标下数学概念课的教学呢?本文从以下五个方面进行了探讨:一是在体验数学概念产生的过程中认识概念;二是在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念;三是在寻找新旧概念之间的联系的基础上掌握概念;四是在应用数学概念解决问题的过程中巩固概念;五是通过数学情境,学习全新数学概念。

关键词: 高中数学教学 新课标 数学概念 认识 理解

数学概念是客观事物中数与形的本质属性的反映,是构建数学理论大厦的基石,是导出数学定理和数学法则的逻辑基础,是提高解题能力的前提,是数学学科的灵魂和精髓。因此,数学概念教学是“双基”教学的核心,是数学教学的重要组成部分,教师应引起足够重视。有些学生在课下与我交谈时说老师上课讲的题一听就会了,可是自己单独做的时候却无从入手,究其原因主要是对题目中涉及的相关数学概念理解不透彻,以致无法根据已知条件找到解题通道。另外,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就在旁边用小字给出,这样过高地估计了学生的理解能力,也是造成学生不会解题的一个原因。我结合新课标的学习和教学中的实践谈一些认识。

一、注重概念产生的基础,体验数学概念的形成过程

数学概念的引入,应从实际出发,创设情境,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性的例子,使学生在对具体问题的体验中感知概念,形成感性认识,通过对一定数量感性材料的观察、分析,提炼出感性材料的本质属性。比如在概率概念的教学中,我首先让学生知道用概率度量随机事件发生的可能性大小能为决策提供关键性的依据,提问如何才能获得随机事件的概率呢?我让学生做掷硬币的实验,每人10次,最后我统计结果,把全班学生的结果汇总,计算出正面朝上的频数和频率。学生会发现所得的频率都在0.5附近摆动。此时我就把掷一枚硬币正面朝上的概率记为0.5,从而总结出概率就是频率的稳定值。如此通过学生亲自参与实验来让学生更好地理解概率的真正含义,使学生感觉到概率的概念就是他们亲自做出来的,还尝到了数学发现的滋味。

二、在挖掘新概念的内涵与外延的基础上理解概念

新概念的引入,是对已有概念的继承、发展和完善。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因,很难一步到位,需要分成苦干个层次,逐步加深提高。如三角函数的定义,经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程:(1)用直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义。(2)用点的坐标表示的锐角三角函数的定义。(3)任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出:①三角函数的值在各个象限的符号。②三角函数线。③同角三角函数的基本关系式。④三角函数的图像与性质。⑤三解函数的诱导公式,等等。可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用。重视概念教学,挖掘概念的内涵与外延,有利于学生对概念的理解。

三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念

数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等。在教学中,教师应善于寻找、分析其联系与区别,这有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来;另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,其中的对应关系是将原象集合中的每一个元素与象集合中唯一确定的元素对应起来。从历史上看,初中给出的定义来源于物理公式,而函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,函数可用图像、表格、公式等表示,所以高中用集合与对应的语言来刻画函数,抓住了函数的本质属性,更具有一般性。认真分析两种函数定义,其定义域与值域的含义完全相同,对应关系本质也一样,只不过叙述的出发点不同,所以两种函数的定义,本质是一致的。当然,对于函数概念真正的认识和理解是不容易的,要经历一个多次接触的较长的过程。

四、在运用数学概念解决问题的过程中巩固概念

在数学概念形成之后,我通过具体例子,说明概念的内涵,认识概念的“原型”,引导学生利用概念解决数学问题和发现概念在解决问题中的作用。这是数学概念教学的一个重要环节,此环节操作的成功与否,将直接影响学生对数学概念的巩固,以及解题能力的形成。学生通过对问题的思考,尽快地投入到新概念的探索中去,从而激发了好奇心、探索和创造的欲望,使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。例如,当我们学习完“向量的坐标”这一概念之后,进行向量的坐标运算,我提出问题:已知平行四边形的三个顶点A、B、C的坐标,试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论,不少学生运用平面解析几何中学过的知识(如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等),结合平行四边形的性质,提出了各种不同的解法,有的学生应用共线向量的概念给出了解法,还有一些学生运用学过的向量坐标的概念,把点的坐标和向量的坐标联系起来,巧妙地解答了这一问题。除此之外,我通过反例、错解等进行辨析,有利于学生巩固概念。高中数学新课标提出了与时俱进地认识“双基”的基本理念,概念教学是数学“双基”教学的重要组成部分。所以,通过数学概念教学,使学生认识概念、理解概念、巩固概念,是数学概念教学的根本目的。

五、通过数学情境,学习全新数学概念

在新课标下,有些内容是以全新的模式出现,以前学生没有接触过,此时要使学生理解并掌握全新内容,就要从数学情境出发,使学生理解学习全新概念。如必修3的“算法”一章,我通过二元一次方程的解法问题或鸡兔同笼问题来创设情境,引入算法概念,使同一类问题得以快速解决。

通过概念课教学,教师要力求使学生明确:(1)概念的发生、发展过程,以及产生背景。(2)概念中有哪些规定和服制的条件,它们与以前的什么知识有联系。(3)概念的名称、表述的语言有何特点。(4)概念有没有等价的叙述。(5)运用概念能解决哪些数学问题,等等。只有理解、掌握了概念,才能更好地帮助学生落实“双基”,更好地帮助学生认识数学,认识数学的思想和本质,进一步地发展学生的思维,提高学生的解题能力。总之,在概念教学中,教师要根据新课标对概念教学的具体要求,创造性地使用教材。对教材中干扰概念教学的例子要更换,对脱离学生实际的概念运用问题要大胆删除,优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造,达到认识数学思想和数学概念本质的目的。