浅谈多元函数求极限

【摘 要】: 多元函数的极限在高等数学中是很重要的,但是因为多元函数的自变量比较多,所以,在判断多元函数的极限存在与否以及它的求解方法的时候,跟求解一元函数的极限比起来就显得更加的麻烦,因此,我们可以把求解多元函数极限的方法转化成为用一元函数的极限来求解,所以本文给出了一些有关于多元函数极限的一些定理及求解方法。

【关键词】: 多元函数 多元函数极限 邻域

中图分类号:F0174 文献标识码:A 文章编号:1003-8809(2010)06-0113-01

在《数学分析》中,我们讨论了函数的极限。通过对极限的学习。我们应该有一种基本的观念就是“极限是研究变量的变化趋势的”或说:“极限是研究变量的变化过程,并通过变化的过程来把握变化的结果。

研究一元函数的思想方法是研究多元函数的基础。研究多元函数的思想方法又是研究多元函数的基础。本文介绍关于多元函数极限求法的几个定理及例子。

假定函数f(x1,...,xn)是在具有聚点M0(a1,a2,...,an)的某一点集Μ内定义的。

仿照一元函数的极限的定义,常说函数f(x1,...,xn)当变量x1,...,xn依次各趋于a1,a2,...,an时以数A为极限,如果对于任一数ε>0能找出这种δ>0,只要

x1-a1

就能使

f(x1,...,xn)-A

在这时,假定点(x1,...,xn)是取自Μ而且异于(a1,a2,...,an)。因此,对于集Μ中位于M0点的充分小邻域

(a1-δ,a1+δ;...;an-δ,an+δ)

之内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

函数的极限记成:A=limx1a1......xnanf(x1,...,xn).

把点(x1,...,xn)及(a1,a2,...,an)记成M及M0,则刚才引入的定义可以用几何的言语重述成:数A称为函数f(M)当点M趋于M0时的极限,如果对于任一数ε>0有着种数r>0存在,只要距离M0M

f(M)-A

和上面一样,须假定M取自Μ但异于M0。这样,对于集Μ中位于M0的充分小得球形邻域内但除去这点本身的一切点,这个关于函数f的不等式应当成立。

多元函数的极限在高等数学中是非常重要的,但多元函数的自变量太多计算起来太过复杂,而一元函数的极限看起来就相对容易些,因此我们现在把多元函数极限转化为一元函数的极限来求解,现在我们可以以三元函数为例得到如下的定理:

定理1设f(x,y,z)在点(x0,y0,z0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x-x0,y-y0,z-z0)的方向余弦,若

limk0f(x0+kcosα,y0+kcosβ,z0+kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limxx0yy0zz0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limxx0yy0zz0f(x,y,z)不存在。

推论(1)设f(x,y,z)在点(0,0,0)的某去心邻域内有定义,cosα,cosβ,cosγ是向量(x,y,z)的方向余弦,若limk0f(kcosα,kcosβ,kcosγ)=A则

(1) 当A是与α,β,γ的取值无关的常数时, limxx0yy0zz0f(x,y,z)=A。

(2) 当A是与α,β,γ的取值有关的常数时, limxx0yy0zz0f(x,y,z)不存在。

定理2设f(x,y)在点(x0,y0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x-x0,y-y0)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk0f(x0+kcosα,y0+ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx1x0yy0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx1x0yy0f(x,y)=A不存在.

推论(2)设f(x,y)在点(0,0)的某去心邻域内有定义, cosα,sinα是向量(x,y)的方向余弦(此时cosβ=sinα) , 若一元函数极限limk0f(kcosα,ksinα)=A.则

(1) A为与α取值无关的常数时, limx0y0f(x,y)=A.

(2) A与α取值有关时, limx10y0f(x,y)=A不存在.

参考文献:

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