论高中数学中求异思维与求同思维的相互转化

在高中数学教学中，求异思维与求同思维的培养对于学生正确地解决数学问题有着至关重要的作用。而求异思维与求同思维的培养也有助于学生的创新意识的形成，养成独立思考、独立探究的能力。

求异思维又称发散思维，就是对一个问题力求从多个不同的角度去考虑，努力使自已的方法不同于别人的方法，这对于培养人的创新精神是很重要的。

求同思维则是要努力从不同的问题中，发现它们的共同之处，从而对不同的解法形成统一的看法，达到融会贯通。这样我们才能从题海中跳出来，举一反三，对问题能形成通解通法，进一步从具体的数学问题中跳出来，形成正确的对世界的认识和处理问题的方法。

于是在教学中，我们要注意处理好这两种思维方法的相互转化。我们既要充许学生充分讨论，提出自已的想法，又要做好适时的引导，让学生们在不同的解法中发现共同点，从而使他们认识问题的角度更高，达到一通百通的效果。

例1 求证：=

分析：这是一个典型的一题多解的问题，课本上给了两种证法。当然在教学中，我们不能仅满足于这两种证法，应充分地引导学生拓展思维，努力创新。

现把实际教学中学生所提出的证法都列举如下。

证法1：由cosx≠0得sinx≠-1所以1+sinx≠0。

于是：左边==右边。

证法2：由cosx≠0于是：左边 =右边。

证法3：由1-sinx≠0，于是：右边=左边。

证法4：由cosx≠0得：右边= =左边

所以，左边=右边，等式成立。

对于上面的4种证法，有的是学生思考的结果，有的是笔者引导学生思索的结果。但不管过程怎样，结果是学生的求异思维与求同思维都得到了提升。

其中证法1和证法2，都是要把左边化成右边，只是变化时不同。而证法3与证法4，都是要把右边化成左边，且变化方法略有不同。

如果从广义对称的角度来看这个问题，证法3、4就是证法1、2的对称证法。因为左与右是对称的，一个等式可由左推向右，当然也就可由右推向左。那么遇到具体问题时，我们是由左向右推还是由右向左推呢？这个问题的答案让我想到这样一个情景，电影里经常演武林高手从平地一跃而上高墙，显然这样的高手生活中很少，演员要有这样的功夫更少之又少，于是导演往往是让演员从墙上跳下来，然后倒过来放映即可。这样的处理问题方法，就会给我启迪，处理问题时我们总是从容易处理的角度来考虑问题。对于数学等式，我们一般是把复杂式子化成简单的比较容易，于是我们的处理方法就是化难为易。这时证法1、2、3、4就统一成化难为易一种证法啦。

例2已知 =-，则 的值是________。

点评：此题就是例1所证结论的应用性问题，如果没有想到这一结论，有不少同学想到了解方程组的方法，这一方法涉及到了换元法及二元二次方程组的解法，有一定的难度。但是如果我们目的明确，我们就可以简化解方程组的过程，从而顺利求解。

解：（方程组法）由已知得

由（2）得cos2x=1-sin2x （3）

由（3）/（2）得cosx= 从而有上面的解法中，为什么要把（2）变为（3）的形式，主要是看到结论中有cosx这一元素，于是没有去死解方程，而是进行了灵活的变换，从而求解。这一解法看似技巧性强，其实主要是由于进行了仔细的审题，具有了明确的目的性，问题就会自然解决。

例3 （人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修4 P142）

求证：tan

证明：=tan 同理有tan = 。

这种证法又让我们耳目一新，在这一证法中，我们运用的倍角公式，把， 都进行了化简。虽然这上结论仅是例1的“孪生”等式，但这种证明思路也会给我们以启迪，于是我们就会有例1的第5种证法。

证法5：左边=

右边=所以，左边=右边，等式成立。

通过上面的对几个例题的分析，我们一个问题进行了反复的探究，在求异与求同思维中相互转化，在这样的探究过程中我们的能力得到了充分的提高，对问题的认识程度也越来越深。

在高中数学教学的过程中，教师如果能够长期坚持对学生求异思维与求同思维的培养，就会发现学生的思维会越来越灵活，解题越来越快。学生的数学潜能是巨大的，作为一名新世纪的数学老师，更要懂得去开发这种数学潜能，让学生的数学能力得到全面的发展。

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