平面机构自由度计算公式在带传动\链传动中的应用分析

摘要：随着社会的不断发展，人们对机构的应用越来越广泛，并且越来越熟练。机构是人为构件组合的装置，能够实现机械预期的运动。如果原动件的运动规律确定了，那么机构中的每个构件的运动轨迹也就确定了，并且构件相互之间的运动也会确定。随着科学技术的不断发展，人们也掌握了一些机构的特点，例如只有在原动件的数目和机构自由度的数目相等时，机构才能有确定的运动。因此结构自由度的计算在机构的应用过程中变得尤为重要。

关键词：平面结构；自由度；计算；带传动；链传动

中图分类号：U212.33文献标识码： A 文章编号：

对平面机构自由度进行计算，主要是为了判别一个机构是否正确，能否按照设计正常的运转。机构的结构分析是机构运动分析和受力分析的前提，而计算自由度又是机构分析的重要组成部分，所以说自由度的计算在机构的整个设计过程中起到了非常重要的作用。如果自由度的计算出现错误，则会影响到机构的机构分析、结构的运动分析以及结构的受力分析，自由度计算是机构设计过程中必不可少的一步。但是在实际的机构自由度计算过程中，还存在着很多的问题，本文简单介绍了平面机构自由度计算公式在带传动和链传动中的应用，希望能够给读者一些帮助。

一、公式中各个符号的意义

为了更好的运用机构自由度的计算公式F=3n-2PL-PH，就需要我们了解公式中各个符号的意义。其中F表示自由度数，n表示活动构件数，PL表示低副数，PH表示高副数。

二、机构自由度计算公式在带传动和链传动中的应用现状

很多人认为机构自由度计算公式在带传动和链传动的设计过程中不适用。第一，他们认为构件必须是“刚体”，带和链不符合这一条件。第二，他们认为带传动和链传动这类机构不是我们通常意义上的机构，它们的组合和通常意义上的机构定义不相符。第三，他们认为带轮和带的连接不属于运动副连接的范围内，所以在不能在带传动和链传动的设计过程中使用机构自由度计算公式。

笔者认为机构自由度的计算公式是可以应用到带传动和链传动当中的。以上的观点有些片面，更没有什么实践依据。首先这里的刚体并不是理想状态的刚体，而是指坚硬的物体，例如受到拉伸的柔体或者是被压缩的气体。在实际工作当中，带和链所承受的是拉力，其几何形状并不会改变，各质点的相对距离也不变，所以带传动和链传动可以看作刚体，也就是说带传动和链传动符合机构的条件。我们可以把带看做一种特殊的刚体，由于带的运动状态以及受到的约束不容易被大家理解，所以直接应用公式F=3n-2PL-PH计算有点不太适合。

为了能够让大家更好地理解，可以假设一种等效机构来代替带传动机构或者链传动机构，例如可以把带传动等效成一个三摩擦轮机构，链传动也可这样设想。假设的等效机构代替传动带以后，机构的运动副虽然消失了，但等效机构引入的约束并没有消失。我们可以把带和带轮的接触当作是运动副的一种，它引入的约束可以看作成是一个低副。其中，需要两个带轮才能确保带在传动过程中可视为刚体，如果张紧轮的个数增加，则相当于对传动的过程重复约束。

在链传动的运行过程中，在链条的链节和齿轮啮合时，链条和链轮则是相对静止的，所以张紧的链条也可以当做是刚体。但是由于链节和链轮有一个啮合和脱离的过程，所以链条和链轮存在着相对运动的关系。而这种相对运动则是它们之间的运动副的连接关系，可以看做是高副啮合。很明显，若要把链条当做一种刚体，也需要两个链轮。

由此可见，带传动和链传动可以看做通常意义上的机构，平面机构自由度计算公式在带传动和链传动中也是可以应用的。

三、在自由度计算过程中的注意事项

在机构自由度的计算过程中，一般需要考虑三种情况，复合铰链、局部自由度以及虚约束。在这些特殊情况下，机构自由度的计算公式就有了稍微的改动，变成F=3n-2PL-PH+ p′- F′,其中p′表示虚约束的个数，F′表示局部自由度的个数，其它的符号在上文中我们已经提到。在实际运用F=3n-2PL-PH+ p′- F′时，可能会出现一些问题，例如用该公式计算出来的自由度数和实际的自由度数不一样，导致这种问题的原因可能是由于机构中某些构件之间的关系或者其他的运动副配置使机构的运动发生了改变。下面就齿轮副约束问题、多封闭环机构问题以及公共约束的问题做简单的分析。

1、齿轮副约束问题

图一 图二

在图一当中，构件3是滚子，它是绕其自身轴线转动的一种局部自由度，在按照公式计算机构的自由度时，不应该把3考虑进去，因此在图一所示的机构中，n=3, PL=3,PH=1, F′=1,根据公式计算自由度可得F=3×3-(2×3+1)-1=1，可见该结构合理，能够按照预期的运动。

我们对图一进行改造，将构件3改成齿轮，把4改成与齿轮相接触的齿条，如图二所示。在改造后的机构中，齿轮3转动的性质已经和图一的不同，不再是局部自由度，因此在图二所示的机构中，n=3, PL=3,PH=1,根据公式计算自由度可得F=3×3-(2×3+1)=2。

我们可以看出，由于齿轮副的约束和光面滚子接触的约束不同，在这个机构当中，只要一个原动件就可以实现构件的相对运动。齿轮副的约束一般可以分为两种情况：一个约束的情况和两个约束的情况。当两个齿轮的齿轮之间存在侧隙时，两个齿轮的中心距将会收到约束并且保持不变，并且只有一侧的齿廓参加接触，此时只提供一个约束；在齿轮的运行过程中可能会收到重力或者其他外力的作用，使两个齿轮相互靠紧，轮廓两侧都会参加接触，并且接触点所在的公法线不重合，此时提供两个约束。

2、多封闭环机构问题

图三

在图三当中，该机构一共有四个活动的构件以及六个低副，没有高副。根据机构自由度的计算公式，可以算出该机构的自由度为零。但实际上这个机构是可以动的。下面做一下分析。

从图三中我们可以看出，构件1-2-3-5-1在该机构中构成一个封闭的环结构，其中n=3, PL=4，则其机构的自由度为F1= 3n-2PL=3×3-2×4=1；而构件5-3-4-5也构成了一个封闭的环结构，其中n=2, PL=3，则其自由度为F2=2n-2PL=2×2-3=1。

根据我们计算的结果可以看出，该机构的两个封闭环机构的自由度都是1。但如果两个环机构串联，构件3不仅是第二个封闭环的主动件，同时也是第一个封闭环的从动件，这样就会失去一个独立的运动，因此图三所示的机构的自由度为1。所以如果遇到多封闭环的自由度计算时，应该把每个封闭环机构的自由度计算出来，再根据他们之间的联系，最终确定该机构的自由度。

3、公共约束的问题

图四

图四是一个斜面机构，可以看出n=2, PL=3，根据机构自由度公式计算可得F=0。但事实上这也是一个可以运动的机构。在图四所示的机构中，每一个部件都不能在平面内转动，也就是说在该机构的所有部件上都施加了一个公共约束，因此计算这类机构的自由度时不能运用我们平时用的，需要对其进行修改才能使用。因为在只有一个公共约束的平面机构中，任何一个可以活动的构件有且只有两个自由度，并且一个低副只引入一个约束，而且高副是不可能存在于这种机构的，所以可以将自由度的计算公式更改为F=2n-PL。

根据更改后的公式，可以计算出图四的机构自由度为F=2×2-3=1，这样才符合实际情况。所以说，某些特殊的运动副装置可能会使机构的所有构件失去运动的性能，也可以说成对每个构件加上了公共约束，所以在计算这类机构的自由度时，应该用更改后的计算公式，否则计算将出现错误。

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