空间曲线的切线和法平面求法探讨

摘 要：本文主要通过一些典型例题讲解了空间曲线由不同形式的方程给出时，空间曲线的切线和法平面的求法。

关键词：空间曲线;切线;法平面

【中图分类号】 G642.1 【文献标识码】 B 【文章编号】 1671-8437（2015）02-0007-02

求空间曲线的切线与法平面方程时，要根据给定曲线的方程所属类型是参数式还是其它形式，选择适当的求解方法，关键是先求出切点坐标和曲线在切点处的切向量。下面笔者就对曲线的切线和法平面求法进行探讨。

1 空间曲线由参数方程x=x（t），y=y（t），z=z（t） （α≤t≤β）给出

若空间曲线的方程为参数方程时，x=x（t），y=y（t），z=z（t） （α≤t≤β）曲线上的点p0（x0，y0，z0）对应的参数为t0，而x（t），y（t），z（t）在

t=t0时有导数，则曲线在点p0的切向量为s={x′（t0），y′（t0），z′（t0）}，因此，曲线在点p0处的切线方程为==，其法平面方程为x′（t0）（x-x0）+y′（t0）（y-y0）+z′（t0）（z-z0）=0。

例1 求曲线x=sin2t，y=bsintcost，z=ccos2t对应于t=处的切线方程和法平面方程（唬b，c为常数）。

解：对应于t=的点为（，，），当t=时，有

x′t|=2sintcost|=唬 y′t|=bcos2t|=0，

z′t|=-2csintcost|=-c，即切向量为s={唬0，-c}。

因此，所求切线方程为==，其法平面方程为唬x-）-c（z-）=0，即x-cz-+=0。

例2 求曲线x=（t+1）2， y=t3， z=在点（1，0，1）处的切线方程和法平面方程。

解：因为点（1，0，1）对应于t=0，当t=0时，有

x′t|=2（t+1）|=2， y′t|=3t2|=0，

z′t|=|=0

即切向量为s={2，0，0}。所以，切线方程为y=0z=1，

其法平面方程为2（x-1）=0，即x=1。

例3 求曲线x=， y=， z=2t上的点，使得曲线在该点的切线平行于平面x+3y+z-3=0，并求过该点的切线方程。

解：设参数t=t0，对应曲线上任一点M0（x0，y0，z0），则：

x0=， y0=， z0=2t0，

由于x′（t0）=，y′（t0）=-， z′（t0）=2即切向量为：

s=，-，2，切线方程为：

==。

又因为平面x+3y+z-3=0的法向量为n={1，3，1}。由题意，切线与已知平面平行，所以s・n=-+2=0，因此

（1+t0）2=1，即t0=0或t0=-2，

对应曲线上的点为M1（0，1，0）或M2（2，-1，-4）。

则曲线在点M1（0，1，0）处的切线方程为==，

则曲线在点M2（2，-1，-4）处的切线方程为==。

2 空间曲线的方程以交面式方程F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0给出

若空间曲线的方程以交面式方程F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0给出时，曲线上的点p0（x0，y0，z0）处的切线就是这两个曲面在p0点的切平面的交线，因此其切向量s与两曲面在切点处的法向量n1，n2均垂直。因为n1=F′x，F′y，F′z|，n2=G′x，G′y，G′z|，所以切向量

s=n1×n2=i j kF′x| F′y| F′z|G′x| G′y| G′z|

=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x F′yG′x G′y=l，m，n

因此曲线在点p0处的切线方程为==，

其法平面方程为l（x-x0）+m（y-y0）+n（z-z0）=0。

例4 求球面x2+y2+z2=6与抛物面z=x2+y2处的交线在点

p（1，1，2）的切线方程和法平面方程。

解：设F（x，y，z）=x2+y2+z2-6G（x，y，z）=x2+y2-z，则求偏导数， 得：

F′x=2x，F′y=2y，F′z=2z， G′x=2x，G′y=2y，G′z=-1，

则曲线在点p（1，1，2）的切线的方向向量为：

s=F′y F′zG′y G′z，F′z F′xG′z G′x，F′x F′yG′x G′y

=2 42 -1，4 2-1 2，2 22 2=-10，10，0

故曲线在点p（1，1，2）的切线方程为==，

而过点p（1，1，2）的法平面方程为（x-1）-（y-1）=0，即x-y=0。

例5 求曲线x2+y2+z2=3x2x2-3y+5z=4在点p（1，1，1）处的切线和法平面方程。

解：由题意可知，在该点处切线的方向向量垂直于两曲面的法向量n1，n2，由n1=-1，2，2，n2=2，-3，5，故可取

s=n1×n2=-1，2，2×2，-3，5=16，9，-1。

所以，切线方程为 ==，

而法平面方程为16（x-1）+9（y-1）-（z-1）=0，

即16x+9y-z-24=0。

3 空间曲线由方程y=y（x），z=z（x）给出

若空间曲线由方程y=y（x），z=z（x）给出，选x为参数，将曲线方程化为参数方程x=x，y=y（x），z=z（x），则曲线在任一点p0（x0，y0，z0）的切向量为s={1，y′x（x0），z′x（x0）}，因此曲线在点p0处的切线方程为 ==，其法平面方程为 （x-x0）+y′x（x0）（y-y0）+

z′x（x0）（z-z0）=0。

例6 求曲线x2-z=0x+y+4=4在点p（1，-5，1）处的法平面与直线4x-3y-2z=0x-y-z+1=0之间的夹角。

解：已知曲线的参数方程为x=x，y=-x-4，z=x2，则曲线在点p处的法平面的法向量为

n=（1，y′x，z′x|=（1，-1，2x）|=1，-1，2，

而所给直线的方向向量为

s=i j k4 -3 -21 -1 -1=i+2j-k=1，2，-1。

设直线与平面夹角为φ，直线的方向向量s与平面的法向量n的夹角为θ，于是

sinφ=cosθ==， 故φ=。

即曲线在点p处的法平面与所给直线的夹角为。

例7 求曲线y2=x，x2=z在点p0（1，1，1）处的切线方程及法平面方程。

解：视x为参数，则曲线的参数方程为x=x，y2=x，z=x2。

先求切向量，由于x′=1，y′x=，z′x=2x，则该曲线的切向量为s=1，y′x，z′x=1，，2x。于是过点p0（1，1，1）处的切线的方向向量为1，，2，所以，切线方程为

==，即==，

其法平面方程为 （x-1）+（y-1）+2（z-1）=0，即2x+y+4z=7。

例8 求证曲线x2-z=0 （1）3x+2y+1=0 （2）上点p0（1，-2，1）处的法平面与直线L：9x-7y-21z=0x-y-z=0平行。

证明：在方程（1）和（2）的两边分别对x求导，得：

2x-z′x=03+2y′x=0， 解得：z′x=2xy′x=-。

因而该曲线的切向量为s=（1，y′x，z′x），于是过点p0（1，-2，1）处的切线的方向向量为（1，-，2），这也是过点p0处的法平面的法线向量，即n=（1，-，2）。又直线L的方向向量

s=n1×n2=i j k9 -7 -211 -1 -1=-14i-12j-2k=-14，-12，-2。

由于n・s=（1，-，2）・（14，-12，-2）=0，因此法平面与直线平行。

参考文献：

[1] 廖玉麟等.高等数学试题精选题解[M].武汉：华中科技大学

出版社，2001.

[2] 林建华，庄平辉，林应标.高等数学精品课堂[M].厦门：厦门大

学出版社，2006.

[3] 薛嘉庆.高等数学题库精编[M].沈阳：东北大学出版社，2000.