高中数学中数形结合思想的应用

【摘 要】数形结合是高中数学学习过程中比较重要的解题思想之一，利用数形结合的解题方法，不仅能够帮助学生灵活地将数学语言与图形结合在一起，使原本复杂的问题简单化，大大提高解题效率，而且可以将学生从狭隘的解题思路中解放出来，进一步发散思维，提高其解决问题的逻辑能力。基于此，本文就高中数学中数形结合思想的应用展开探讨，以期为广大高中学子提供借鉴与参考。

【关键词】高中数学;数形结合;应用

随着新课程改革的深入推进，“以学生为主体”的指导思想已成为教学过程中的主体思想。而数形结合思想的应用，不仅能够将抽象的问题具体化、形象化，大大降低解题的难度，还有助于培养学生的数学思维，真正发挥学生的主体作用，具有十分深远的教学意义。

一、高中数学学习的难点

首先，数学知识本身具有较强的抽象性，学习起来有一定的难度，加之高中数学的综合知识量比较大，不同知识点之间的联系比较复杂，使得学生很难对知识做到全面、清晰地把握。

其次，在解题过程中，有思维定势的学生会倾向于相信自己的方法而忽略其他的解题技巧，这样做的消极影响就是在遇到一些稍微有难度的题目时，很难将问题灵活地转化并找到合适的解题方法。长此以往，会使得学生思维局限、想法单一，对于解决实际问题的能力就会有所欠缺。

此外，学生的基础差异也是造成数学学习困难的原因之一。在经历了初中阶段的学习后，学生数学基础会存在明显的差异，而当前多数学校采用的是统一的教学进度安排，在这种情况下，一些底子较好的学生通常学起来游刃有余，而一些基础较差的学生则会感到非常吃力。

二、高中数学学习中数形结合思想的应用

所谓数形结合，就是根据数学语言与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种思想方法。数形结合的掌握，关键就在于理清一些比较常见的对应关系。

1.以“数”化“形”

在实际解题过程中，有些“数”的计算比较复杂，且相对来说比较抽象，难以把握，这时可以用“形”的方式来进行表达。“形”具有直观的特点，可以传达出较多的数学信息，对解题具有决定性的作用。因此，当学生遇到这类问题时，便可以将“数”的“形”找出来，使其相互对应，利用图形来解决问题。解决这类问题的一般思路为：明确题目中所给的条件，找到要求解的目标，从已知条件和结论出发，联想所学过的公式和定理，然后构建出与之相似的图形，最后利用图形的有关性质，并结合题目所要求解的目标进行解答。

以“数”化“形”在高中数学中的应用较多地体现在集合、解析几何，以及求解函数的最值等方面。下面结合实际例题进行详细讲解：

例题1：已知A为全集，集合M、N分别是集合A的子集，集合A中的元素是不大于16的正偶数，即A={2，4，6，8，10，12，14，16}，M={2，4，6，10，14}，集合N中为不小于4且不大于10的偶数，求M∩N。

解答该题时，可用Venn图表示出已知数集，将已知条件分别表示出来，如下图：

利用图形将题目中的已知条件表现出来后，可推知集合N中的元素为{4，6，8，10}，即可求得M∩N={4，6，10}。

从例题中可以看出，在解决集合类的问题时，可以将题目中的已知条件与图形进行结合，这样便可以直观地看出所给已知量之间的关系，使问题不再显得杂乱无章，从而避免错选、漏选，提高做题的正确率。

2.以“形”变“数”

在一些题目较长、已知条件较多的问题中，相应地表现出来的图形就会比较复杂，这就要求学生在思考问题时，不断去挖掘题目内部隐藏的潜在条件，利用图形本身的结构特点，结合与之有关的定理，准确地将图形以数的形式表达出来，再根据题目中的已知数据进行计算，求出问题的最终答案。

这类问题的解题思路与以“数”变“形”具有相似性。学生在浏览题目后，应首先找出题设中的已知条件与待求目标，对题目以及所给的图形进行系统分析，充分理解其几何意义，并找出与之有关的性质定理，再结合自己所学的与代数有关的知识，将题目中所给的图形正确地表示出来，然后利用题目中的已知条件以及结论，找到相应的公式定理，经科学的分析联系后，将其解答出来。

以“形”变“数”在高中数学的三角函数中经常遇到，在几何图形中也会有所提及，下面以实际例题进行分析：

例题2：在如下图所示的ΔABC中，∠A=60°，BC=，求ΔABC的周长。

解析：由正弦定理可以得到：

t

同理可得AB=2sinB

故周长L=2sinB+2sinB+=4sinB+

在解决这类三角函数问题时，可以将题目中的已知量在图形上标注出来，便于在解题过程中进行实际计算。这种方法在解决数轴等类似的问题时也同样适用。

3.数形互变

这种方法是“数”与“形”的结合体，它并不是单纯地将二者进行简单的互逆转化，而是将直观的图形问题转化为结构严谨的数量问题，再将数量转化为图形，在二者相互转化的过程中，找到其内在联系，然后解决问题。

与前两种方法相比，数形互变更检验学生对知识的掌握能力，这类问题通常出现在试卷的压轴题中，难度系数较高，对于相当一部分学生来说掌握起来较为困难。这就要求学生在平时的学习过程中，熟悉并能熟练掌握各种概念，对于课本中的性质定理有深刻的理解，掌握基本问题的多种解决办法，并在解决问题时，不断尝试去用数形结合的方法，将问题简单化，这样才能在遇到较难的题目时灵活地进行数形互变，大大提高自己的数学综合能力。

三、结语

要想熟练地掌握高中数学知识，就必须在解题过程中尝试渗入数形结合的思想，并不断地进行总结、归纳，尽可能熟练地掌握各种方法之间的转化策略，从而打破原有的思维定势格局，形成新的解题思路，提高学习效果。

参考文献：

[1]陈玉露.数形结合思想在高中数学填空题中的运用[J].数理化学习（高一、二），2014（12）.

[2]严俊.高中数学三角函数中的数形结合实践与思考[J].数理化解题研究：高中版，2014（3）.