概率中那些有趣的似是而非的问题(一)

提问: 老师上课的时候说“零概率事件不一定是不可能发生的事件,概率为1也未必是必然事件”,我觉得这句话明显与我的常识相悖,究竟要怎么理解?

回答: 我们知道,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1,但这两句话反过来都是不成立的.

高中阶段我们主要学习了两种概率模型,那就是古典概型和几何概型.古典概型的基本特征是:试验中可能出现的结果(基本事件)只有有限个,并且每个基本事件出现的可能性相等.如果事件A为古典概型,则P(A)=,其中m为基本事件总数,而n为事件A所包含的基本事件的个数. 若P(A)=0,则n=0,即事件A所含的基本事件的个数为0,所以事件A一定为不可能事件;若P(A)=1,则n=m,即事件A所含的基本事件个数等于基本事件的总数,所以事件A一定是必然事件.

但在几何概型中,问题就不那么简单了.几何概型的基本特征是:试验中可能出现的结果(基本事件)有无限多个,且每个基本事件出现的可能性相等.如果事件A为几何概型,则P(A)=,其中n为事件A所含的基本事件构成的长度(面积或体积等),m为所有基本事件构成的长度(面积或体积等). 若P(A)=0,则n=0,也即事件A所含的基本事件构成的长度(面积或体积等)为0,但这并不代表事件A不会发生. 例如在图1所示的一张圆形(圆心为O)白纸上进行投针试验,利用几何概型的概率计算公式,我们可以计算针落在圆的任一区域内的概率.由于圆心O为一个点,其面积为0,根据概率计算公式,针落在圆心O的概率为0.但我们知道,针落在圆心O上也是有可能发生的,所以在这个例子里,概率为0的事件不一定是不可能发生的事件. 相反的,针不落到圆心O上的概率P(B)为多少呢?同样由几何概型的概率计算公式可知P(B)==1,但是事件B也不是一定发生,因为针也有可能落在圆心上,所以这个例子也说明了概率为1的事件未必是必然事件.

提问:在10件产品中有5件合格品,5件次品. 从这10件产品中随机抽出3件,求抽出的3件产品均为次品的概率. “解:由题意可知每次抽出的产品为次品的概率均为,根据独立重复试验的概率公式求得概率P=3=.” 请问以上解法正确吗?

回答: 这个解法是错误的,主要原因在于这位同学错把这个问题理解为了独立重复试验.我们知道,所谓独立重复试验,是指在相同条件下,重复地做n次试验,各次试验的结果相互独立.它必须满足两个特征:(1)每次试验的条件完全相同,即有关事件的概率保持不变;(2)各次试验的结果互不影响,即各次试验相互独立.因此,独立重复试验的实际原型是有放回的抽样检验问题. 很显然题中试验不具备独立重复试验的特征,每次试验的条件都不相同:第一次是从10件产品中取1件,第二次是从9件产品中取1件,第三次是从8件产品中取1件,所以这样的解法是错误的.如果把问题改为“在10件产品中有5件合格品,5件次品,从这10件产品中每次抽取1件并放回,共抽出3件,求抽出的3件产品均为次品的概率”,那么上面的解法就是正确的.

实际上,这是一个典型的古典概率问题,从10件产品中随机抽出3件的所有可能的取法总数为=120;由于这10件产品中有5件次品,因此抽出的3件产品均为次品的事件数为=10,因此概率P==.

另外,还需要说明一点,在实际应用中,从大批产品中抽取少量样品的不放回试验,可以近似地看做独立重复试验,因此独立重复试验在现实生活中的应用相当广泛.