计算不规则几何体体积的“法宝”

转化是把未知的问题转化成在已有知识范围内可解的问题的一种思想方法.前苏联数学家雅诺夫斯卡娅曾说过,“解题――就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题”.因此,当我们碰到一个感觉难以着手的问题时,思维就不应该停留在这个问题上,而应考虑将它转化为比较熟悉、容易解决的问题.

请看下面的例题.

例在多面体ABCDEF中(见图1),已知ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,且EF与面ABCD的距离为2,求该多面体的体积.

分析: 这是一个不规则的几何体. 在教材中,我们只学过棱柱、棱锥等规则几何体的体积计算公式,因此我们思考的核心是:如何将不规则的几何体转化为熟悉的规则几何体,进而确定其体积.

转化1: 由于题中EF的位置未定,我们不妨让线段EF沿它所在的直线动起来.显然,这个过程并没有改变题设的任何条件,因此不管线段EF运动到哪个位置,运动前后多面体的体积都不变.我们不妨让EF运动到一个特殊位置:侧面BCF底面ABCD(如图2所示).

过E作截面EHG底面ABCD,则V=VBCF-HGE+VE-ADGH=×3×2×+×3××2=+3=.

点评: 转化1通过使线段EF从一般位置运动到特殊位置,实现了从一般到特殊的转化,再采用分割法来计算体积.

如果我们直接对图1中的不规则几何体进行分割,那会如何呢?

转化2: 连接EB,EC,则多面体被分割成了四棱锥E-ABCD和三棱锥E-BCF(见图3).

易知VE-ABCD=×(3×3)×2=6,于是问题就转化为了求三棱锥E-BCF的体积.

过点E作EM∥FC(见图4),则M为DC中点,且EM∥平面BCF,于是点E与点M到面BCF的距离相等. VE-BCF=VM-BCF=VF-BCM=××3××2=, 故V=6+=.

点评: 转化2采用了“分割+等积变形”的方法,实现了从陌生几何体到熟悉几何体的转化.

除了分割,我们还可以考虑补形.

转化3: 让线段EF运动起来,使侧面BCF底面ABCD;延长FE到N,连接AN,DN,得到直三棱柱BCF-ADN(如图5所示).V=VBCF-ADN-VE-ADN=×3×2×3-××3×2×=.

点评: 转化3采用先补形后分割的方法实现了从陌生几何体到熟悉几何体的转化.

补形的方法还有:

转化4: 令线段EF运动到关于CD的中垂线对称、且面EFCD面ABCD的位置,再把它补全成为一个直三棱柱(见图6). V=VADN-BCM-2VM-BCF=×3×2×3-2××3×2×=.

转化5:图1中的几何体其实是一个拟柱体,如果我们运用拟柱体体积公式:V=h(S上+4S中+S下) (其中S上,S中,S下分别为拟柱体上、中、下底面的面积,h为拟柱体的高),则V=×2×9+4×××+0=. 当然,这种方法在考试中并不作要求.

【小结】 等积变形、分割、补形是求不规则几何体体积常用的方法. 解答数学问题的实质就是要实现从未知到已知、从陌生到熟悉的转化,这是数学解题的法宝.