二维随机变量的和的概率密度求解

【摘要】本文结合具体例题就二维随机变量的和的概率密度求解中的难点问题给出详细分析.

【关键词】二维随机变量;概率密度;分段区间

教学过程中发现，当二维随机变量（X，Y）的联合密度为分段函数时，其和Z=X+Y的密度也为分段函数，在概率密度求解过程中，存在三方面的问题：（1）Z的分段区间的确定;（2）被积函数表示式的确定;（3）积分上下限的确定.本文结合一题二维随机变量的和的密度求解，就以下三种方法给出易于理解的解题思路.

1.重要公式

设（X，Y）是二维连续型随机变量， 具有概率密度f（x，y），则Z=X+Y仍为连续型随机变量，且概率密度为：

fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞f（z-y，y）dy.公式（1）

又若X和Y相互独立，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为fX（x），fY（y），则得：

fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx或fZ（z）=∫+∞-∞fX（z-y）fY（y）dy.卷积公式

2.例题分析

例 设X的概率密度fX（x）=x2，0<x<2，

0，其他一，Y的概率密度fY（y）=4-y8，0<y<4，

0其他，

且X和Y相互独立，试求随机变量Z=X+Y的概率密度fZ（z）.

方法1：图像分析法――利用公式（1）：fZ（z）=∫+∞-∞f（x，z-x）dx求解.

解题过程分析：①写出被积函数f（x，z-x）的表示式（注意：f（x，z-x）表示式为分段函数，在积分过程中，仅有非零表示式为有效积分部分）;②建立xOz轴，根据表示式中x，z的取值范围，在xOz面内画出被积函数的非零区域;③将z看作参数，在xOz面内作平行x轴的直线，根据从-∞到+∞沿x积分过程中，被积函数表示式非零的区间上下限的不同，将z分段，逐段进行求解.

具体求解： f（x，z-x）=fX（x）・fY（z-x）=x2・4-（z-x）8，0<x<2，0<z-x<4，

0，其他，

结合图形不难看出，z的取值不同，从-∞到+∞沿x积分过程中，被积函数表示式非零的区间上下限的不同，从而将z分段讨论，具体求解如下：

当z≤0或z>6时，fZ（z）=∫+∞-∞0dx=0

当0<z≤2时， fZ（z）=∫z0x2・4-（z-x）8dx=18z2-196z3

当2<z≤4时， fZ（z）=∫20x2・4-（z-x）8dx=23-18z;

当4<z≤6时，fZ（z）=∫2z-4x2・4-（z-x）8dx=23-18z+196（z-4）3.

由上可得，z的概率密度为：

fZ（z）=18z2-196z3， 0<z≤2，

23-18z，2<z≤4，

23-18z+196（z-4）3，4<z≤6，

0，其他.

方法2：区间分析法――利用卷积公式：fZ（z）=∫+∞-∞fX（x）fY（z-x）dx求解.

解题过程分析：利用卷积公式计算时，仅需在被积函数fX（x）・fY（z-x）表示式非零的区间内积分即可.而fX（x）・fY（z-x）表示式非零，需在fX（x）与fY（z-x）均非零的公共区间内，由此可确定z的分段，并相应得到计算时的积分区间.

具体求解： fX（x）=x2，0<x<2，

0，其他，

fY（z-x）=4-（z-x）8，0<z-x<4，

0，其他，

因此，为使被积函数表示式非零，应满足不等式组：0<x<2

0<z-x<4，即0<x<2

z-4<x<z，且由此所确定的x的范围，即为非零被积分表示式的有效区间.

下面借助数轴讨论x的取值范围.区间（0，2）和区间（z-4，z）无非可能以下六种关系：

a.z≤0 b.0<z≤2 c.2<z≤4

d.无解 e.4<z≤6 f.z>6

后面的求解步骤与方法1相同，且在数轴中的阴影区间即为非零概率密度的积分区间.

【参考文献】

[1]盛骤，等.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]魏宗舒，等.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，1983.