把握“缩减样本空间”突破“条件概率”

条件概率是概率论中最重要又最基本的概念之一，同时也是高中概率的一个难点。这一概念比较抽象，同学们难以清楚地理解，在求解有关问题时，往往无处着手，出现思维障碍。究其原因，基本上是在学习过程中，没有足够重视条件概率的概念，而是把重点放在了公式的运用上。现紧紧围绕“缩减样本空间”，谈谈对“条件概率”难点的突破。

一、条件概率的定义与计算公式

一般地，设A、B是两个事件，且P（A）>0，在事件A已发生的条件下，事件B发生的概率称为条件概率，记为P（B A）。从图示法的角度来看，这个定义可以理解为：如图1，事件的样本点已落在图形A中（事件A已发生），问落在B中（事件B发生）的概率。由于样本点已经落在A中，又要求落在B中，故只能落在AB中。在这种观点下，原来的样本空间Ω（即基本事件的范围）缩减为已知的条件事件A所对应的空间，原来的事件B对应的空间缩减为事件AB对应的空间。换言之，条件概率问题可以看成“缩减样本空间”下的古典概型或几何概型问题。

在“缩减样本空间”的观点下，条件概率P（B | A）的计算公式为： ，其中，在古典概型中，n（A）与n（AB）分别表示事件A与事件AB所包含的基本事件的个数；在几何概型中，n（A）与n（AB）分别表示事件A与事件AB所对应的几何度量（长度、面积或体积等）。

例1 先后抛掷两次骰子，记事件A={第一次掷得的点数为偶数），B={两次掷得的点数之和为偶数），则在已知第一次掷得的点数为偶数的条件下，两次掷得的点数之和为偶数的概率是P（B|A）=

例2 任意向区间（o，2）上投掷一个点，用x表示该点的坐标，则Ω={x|O

由此，结合古典概型和几何概型，知： ，此即为条件概率的另一计算公式。如例1中的 ，例2中的

二、P（B）与P（B| A）的关系

根据条件概率的定义与计算公式，可知：P（B|A）与P（B）之间的关系表现在三个方面。

（1）样本空间发生变化是两者的本质区别。计算P（B）是在整个样本空间Ω上考虑事件B发生的概率，计算P（B|A）是在事件A发生的范围内考虑事件B发生的概率。样本空间从Ω缩减为A，往往会导致P（B）与P（B|A）并不相等。如例2中， ，两者并不相等。

（2）两者仍有可能相等。若事件A与B是相互独立事件，则P（B） =P（B|A）。如例1中，P（B|A） ，事件A与B相互独立，此时 。

（3）两者可以相互转化。一方面， ，即P（B）是特殊的条件概率 ；另一方面， ，即可以通过P（A）与P（AB）去求得P（B|A）。

三、P（AB）与P（B lA）的关系

P（AB）与P（B|A）是两个截然不同的事件的概率。P（AB）表示事件A与B同时发生的概率，P（B|A）表示在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。从样本空间的角度来看，这两种事件所对应的样本空间发生了改变：求P（AB）时，在原随机试验所对应的样本空间Ω内考虑；求P（B|A）时，所考虑的样本空间已经缩减（事件A已经发生）。由条件概率的计算公式： ，知P（B|A）≥P（AB）。同时，乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A）也体现了P（AB）与P（B|A）之间的关系。

例3 甲、乙两工厂共生产1000个零件，其中有300个是乙厂生产的，而在这300个零件中有189个是标准品。现在从这1000个零件中任取1个，记取得标准品为事件A，取得乙厂生产的零件为事件B。

（1）试求任取1个零件，它是乙厂生产的标准品的概率。

（2）通过此题说明P（A|B）与P（BA）在概率上的差别。

解：（1）“任取1个零件，它是乙厂生产的标准品”即为事件BA。

P（BA）=P（B）P（A|B） =0.3×0.63=0.189.

（2）根据（1）中的计算结果，可知：P（A|B）与P（BA）有明显区别。P（BA）表示事件“任取1个零件，它是乙厂生产的标准品”的概率，P（A|B）表示事件“在已知所取产品是乙厂生产的这个条件下，它是标准品”的概率。从样本空间上看，如果都用古典概型进行计算，则计算P（BA）时，考虑的是样本空间Ω包含的基本事件数n（Ω）=1000；计算P（A|B）时，考虑的是缩减样本空间包含的基本事件数n（B）=300。

应该说，把握了“缩减样本空间”，就把握了条件概率的实质，就可以把条件概率问题转化为“缩减样本空间”下的古典概型或几何概型问题。读者不妨尝试去分析下述问题。

题目 如果生男孩和女孩的概率相等，已知一个家庭有3个孩子（每胎生1个），其中1个是女孩，求至少有1个男孩的概率。请评价以下四种解法。

解法1：由于生男孩和女孩的概率相等，因此事件“已知其中1个是女孩的条件下，至少有1个男孩”的概率就是“有男有女（一女两男或两女一男）”的概率，则所求概率为 。

解法2；同解法1，事件“已知其中1个是女孩的条件下，至少有1个男孩”的概率就是“有男有女（一女两男或两女一男）”的概率，则所求概率为 。

解法3：设“其中1个是女孩”为事件A，“至少有1个男孩”为事件B，则n（A）=3，n（AB）=2，故 。

解法4：设“其中1个是女孩”为事件A，“至少有1个男孩”为事件B，则 ，故 。

提示：解法1与解法2其实是同一种思路，只是解法1采用独立重复试验求事件“一女两男或两女一男”的概率，解法2采用古典概型求其概率，但这两种解法都是错误的，根源在于混淆了积事件的概率与条件概率。解法3采用缩减样本空间的方法求解条件概率，但如果将缩减样本空间看成{一女两男，两女一男，三女），由于其中三种情况出现的可能性不相等，因而不能将问题转化为古典概型问题，正确的缩减样本空间包含的事件为：（男，男，女）、（男，女，男）、（女，男，男）、（男，女，女）、（女，女，男）、（女，男，女）、（女，女，女），对应的基本事件数分别为n（A）=7，n（AB）=6，故 。解法4采用条件概率的计算公式P（B|A）= 求解，正确无误。