中考函数题精讲精析

函数、一次函数、反比例函数、二次函数在初中数学中具有十分重要的地位，它是联系代数式、几何图形的知识纽带，通过平面直角坐标系，演绎数与形的关系以及变换的规律.本部分知识在中考中具有重要的地位，考查形式有选择题、填空题、解答题.近几年，一次函数与方程以及不等式（组）结合设计最佳方案，成为中考命题的热点；二次函数在实际问题中有着广泛的应用，结合问题情境，建立相应的二次函数模型解决实际问题，利用二次函数的最值也是解答方案设计问题的一种有效途径.本部分知识点在中考中占30%左右.

一、一次函数的图象、性质与应用

例1（2015・潍坊）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位过程中行进速度v（米/分）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图1，图象由三条线段OA，AB和BC组成.设线段OC上有一动点T（t，0），直线l过点T且与横轴垂直，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）.

（1）①当t=2分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米；

②当t=15分钟时，速度v=米/分钟，路程s=米.

（2）当0≤t≤3和3

（3）求王叔叔该天上班从家出发行进了750米时所用的时间t.

分析：（1）①由图1可知3分钟内速度由0增加到300米/分钟，每分钟增加100米，故当t=2分钟时，速度v=200米/分钟，此时路程s=12×2×200=200（米）.

②由图象可知当t=15分钟时，速度v=300米/分钟，路程s=1215-3+15×300=4050（米）.

（2）结合0≤t≤3和3

（3）路程已知是750米，分别代入所求的两个函数解析式，分类讨论，得出符合题意的运动时间t的值.

解：（1）①200，200；②300，4050.

（2）①当0≤t≤3时，设直线OA的解析式为v=kt，由图象可知点A（3，300），

300=3k.解得k=100.v=100t.设l与OA的交点为P，如图2所示，则P（t，100t）.

s=SPOT=12・t・100t=50t2.

②当3

（3）当0≤t≤3时，s最大=50×32=450

750=300t-450.解得t=4.王叔叔该天上班从家出发行进了750米时用了4分钟.

评注：此题是分段函数中一次函数的应用问题，由于路程随时间变化的规律不同，因此应当分类讨论.第（3）问中，已知路程，应当结合第（2）问中所得出的两个函数，确定不同情况下的运动时间，并结合题意进行检验，此题中没有给出点的坐标，无法确认王叔叔某天骑自行车上班从家出发到单位的路程，实际上，当运动时间是15分钟时，路程为15-3+152×300=4050>750.因此路程是750米时，运动时间应当小于15分钟.

二、反比例函数图象的性质

例2（2015・湖州）如图4所示，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=1x（x0，k是不等于0的常数）的图象于C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴对称点为C′，连接CC′，交x轴于点B，连接AB，AA′，A′C′，若ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）

A.8B.10

C.310D.46

分析：点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴对称点为C′，根据坐标系内的点关于坐标轴成轴对称的性质，进行图形的转化，把由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积，转化为由点O，B，C和O，B，C′和O，A，A′所构成的三个三角形面积之和的形式，便于计算.

解：如图5，过点A作AKx轴于K，连接OA′.由对称性，知O，A′，C′在一条直线上.设A（a，1a），直线AC的解析式为y=mx，代入点A的坐标，得1a=am，得m=1a2，直线AC的解析式为y=1a2x.设C（c，k2c），C是直线AC与反比例函数的交点，k2c=1a2・c，得c=±ak.

①当k

ABC的面积等于6，

12BC×BK=6，即12×（ka）×（ak-a）=6.

化简，得k2-k-12=0.解得k=4或-3.k

反比例函数的解析式为y=9x，线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积为2SOBC+SOAA′=9+1=10.

②当k>0时，线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积为10.故选B.

评注：反比例函数图象上任意一点向两条坐标轴引垂线，这点和垂足以及原点为顶点的矩形面积是函数式中常数k的绝对值，此题四条线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形不规则，根据题意进行图形的转化，转化为两个直角三角形、一个等腰三角形的面积之和，注意“图形转化”以及“数形结合”等数学思想方法的灵活运用.

三、一次函数与反比例函数的综合

例3（2015・达州）如图6，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，B，O在x轴负半轴上，AO=5，tan∠AOB=12，一次函数y=k1x+b的图象过A，B两点，反比例函数y=k2x的图象过OA的中点D.

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象无交点时，求b的取值范围.

分析：菱形的两条对角线互相垂直平分，因此连接AC，可以构成直角三角形，运用OA长度及tan∠AOB=12，即可确定点A与点B的坐标，进而确定一次函数的解析式，而点D是线段OA中点，即可得出点D的坐标，从而求出反比例函数的解析式；一次函数图象平移，不改变直线的倾斜方向与程度，即是k1的值不变，平移后的直线的解析式y=k1x+b，解y=k1x+b与y=k2x构成的方程组，消元得到关于x的一元二次方程，令一元二次方程根的判别式小于0，即可得出b的取值范围.

解：（1）如图7，连接AC交x轴与E.

四边形ABCO是菱形，ACOB，BE=OE.∠AEO=90°.tan∠AOB=AEOE=12.

设AE=x，则OE=2x，x>0.在RtAEO中，根据勾股定理，得AE2+EO2=OA2，即x2+（2x）2=（5）2.解得x=1.AE=1，EO=2，OB=2OE=4.

A（-2，1），B（-4，0）.

一次函数y=k1x+b的图象过点A（-2，1），B（-4，0），-4k1+b=0，

-2k1+b=1.解得k1=12，

b=2.

D是OA的中点，A（-2，1），D（-1，12）.反比例函数y=k2x的图象过点D（-1，12），12=k2-1.解得k2=-12.

一次函数的解析式为y=12x+2，反比例函数的解析式为y=-12x.

（2）设平移后的一次函数解析式为y=12x+b.

由题意，得y=12x+b，

y=-12x.12x+b=-12x.化简得x2+2bx+1=0.Δ=（2b）2-4×1×1=4b2-4.一次函数的图象和反比例函数的图象没有交点，Δ=4b2-4

评注：确定一次函数与反比例函数的解析式，关键是确定函数图象上点的坐标，此题需要结合菱形及直角三角形的性质，先确定线段OE与AE的长度，进而得出直线经过点A，B的坐标及OA的中点D的坐标，从而得出两个函数的解析式.判断直线与反比例函数图象无交点问题，关键是构造关于x的一元二次方程，运用根的判别式得到常数项b的取值范围.解题时注意函数式、方程式之间的转化，以及几何图形信息与函数图象信息之间转换.

四、二次函数应用问题

例4（2015・嘉兴）某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元.为按时完成任务，该企业招收了新工人.新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系：

y=54x（0≤x≤5），

30x+120（5≤x≤15）.

（1）李明第几天生产的粽子数量为420只？

（2）如图8，设第x天每只粽子的成本是P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画.若李明第x天创造的利润为w元，求w与x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少（利润=出厂价-成本）？

分析：已知函数值，需代入不同的函数式来计算自变量的对应值，并结合题意进行讨论；根据利润=出厂价-成本，结合题意可得w与x的函数关系式.分0≤x≤5，5

解：（1）当54x=420时，x>5，5

（2）由图8可知P1=4.1（0≤x≤9），设P2=kx+b（9≤x≤15），P2=kx+b过点（9，4.1），（15，4.7），9k+b=4.1，

15k+b=4.7.解得k=0.1，

b=3.2.P2=0.1x+3.2（9≤x≤15）.

w1=（6-4.1）×54x=102.6x（0≤x≤5），当x=5时，w最大=513，

w2=（6-4.1）（30x+120）=57x+228（5

w3=（6-0.1x-3.2）（30x+120）=-3x2+72x+336=-3（x-12）2+768（9

513

第12天的利润最大，最大利润是768元.

评注：此题是一次函数与二次函数综合的分类讨论应用题，结合图象信息，根据一次函数图形经过点的坐标，确定第x天每只粽子的成本P元与加工天数x之间的关系，是解答第（2）问的关键；另外，由于工人李明第x天生产的粽子数量y只，与加工天数x之间是分段函数关系，因此确定最大利润时，应当对三种情况下的最大利润进行比较，确定三者比较后的最大利润值.注意数形结合以及分类讨论思想的运用.

五、函数与新定义综合问题

例5（2015・长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称为“中国结”.

（1）求函数y=3x+2的图象上所有的“中国结”的坐标；

（2）若函数y=kx（k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相应“中国结”的坐标；

（3）若二次函数y=（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k（k为常数）的图象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？

分析：第（1）问根据题意在一次函数y=3x+2的图象上找“中国结”必须满足x，y同时为整数，由于3是无理数，只有乘以整数0，才可以转化为整数（乘以3的整数倍，这里x不是整数了）.第（2）问中反比例函数图象上有且只有两个“中国结”，则在xy=k中，自变量x与函数y只有两组对应的整数值，因此k的绝对值是1，如果绝对值是大于1的整数，则这个整数的约数就会有1和它本身，则xy的整数值会多于两组，不符合题意.第（3）问中给定的二次函数图象与x轴相交，得到两个不同的“中国结”，则函数图象与x轴有两个交点，先解关于x的一元二次方程，确定方程的整数解，分别用x1，x2表示常数k，构造出关于x1，x2的等式，运用分解整数因数的方法，构造出关于方程两根的方程组，通过解方程组，得出符合题意的常数k的值，进而得出二次函数的解析式，通过计算自变量与函数的对应值，判断x与y同时是整数的点的坐标，得出该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”.

解：（1）函数y=3x+2的图象上中国结的坐标只有一点是（0，2）.

（2）①当k=1时，显然xy=1只有两组数满足题意（1，1），（-1，-1）；

②当k=-1时，显然xy=-1只有两组数满足题意（1，-1），（-1，1）；

③当k≠±1时，如k=2，则图象上的“中国结”个数超过两个，有（2，1），（-2，-1），（1，2），（-2，-1）.类似的，当k≠±1时，中国结个数必将多于两个.

综上所述，只有当k取±1时，反比例函数图象上有且只有两个中国结.当k=1时，其坐标分别是（1，1），（-1，-1）；当k=-1时，其坐标分别是（1，-1），（-1，1）.

（3）令（k2-3k+2）x2+（2k2-4k+1）x+k2-k=0，即[（k-1）x+k]・[（k-2）x+（k-1）]=0.解得x1=-kk-1，x2=-k-1k-2.由于交点都是“中国结”，所以这两个根都是整数，x1=-kk-1，则k=x1x1+1；x2=-（k-1）（k-2），则k=2x2-1x2+1.因此x1x1+1=2x2+1x2+1，化简为x1x2+2x2=-1，即是x2（x1+2）=-1.由于-1=1×（-1）=-1×1，因此得出关于x1，x2的方程组x2=1，

x1+2=-1或x2=-1，

x1+2=1.因此以上方程组的解是x1=-3，

x2=1或x1=-1，

x2=-1.由于二次函数的图象与x轴相交，有两个交点，因此x1≠x2，所以舍去x1=-1，

x2=-1.当x1=-3

x2=1时，k=x1x1+1=32；此时二次函数解析式是y=-14x2-12x+34，即是y=-14（x-1）（x+3），在-3≤x≤1中，整数x的值是-3，-2，-1，0，1；当x=-2时，y=34不是整数；当x=-1时，函数值y=1，坐标（-1，1）为“中国结”；当x=0时，y=34不是整数.因此当k=32时，该函数图象与x轴所围成的平面图形中（含边界）一共包含6个“中国结”：（-3，0），（-2，0），（-1，1），（-1，0），（1，0），（0，0）.

评注：第（3）问在确定了二次函数的解析式后，画出这个二次函数的图象如图9，可以直接看出问题答案来，巧妙地运用图形信息，可以避免复杂的计算.

六、二次函数与几何图形的综合应用

例6（2015・湖州）已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点.现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D.

（1）如图10，若该抛物线经过原点O，且a=-13.

①求点D的坐标及该抛物线的解析式.

②连接CD.在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

（2）如图11，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余.若符合条件的Q点的个数是4，请直接写出a的取值范围.

分析：对于第（1）问中①结合线段旋转的性质，及三角形全等的性质，先确定点D的坐标，再确定抛物线的解析式；对于第（1）问中②，判断两个角互余，通过构造含两个角所在的直角三角形，运用直角三角形的性质及锐角三角函数，构造比例式求解；对于第（2）问参考第（1）问中确定点P的坐标的方法，探究二次项系数a的取值范围.

解：（1）①如图12，过点D作DFx轴于F.

∠DBF+∠ABO=90°，

∠BAO+∠ABO=90°，

∠DBF=∠BAO.

又∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，

AOB≌BFD.

DF=BO=1，BF=AO=2.

点D的坐标是（3，1）.

根据题意，得a=-13，c=0，且a×32+b×3+c=1，b=43.

该抛物线解析式为y=-13x2+43x.

②C，D两点纵坐标都为1，CD∥x轴.∠BCD=∠ABO.∠BAO与∠BCD互余.若要使得∠POB与∠BCD互余，则需满足∠POB=∠BAO，设点P的坐标为（x，-13x2+43x）.

（。┑钡P在x轴上方时，过点P作PGx轴于G，则tan∠POB=tan∠BAO，即PGOG=BOAO.-13x2+43xx=12.解得x1=0（舍去），x2=52.-13x2+43x=54.点P的坐标是（52，54）.

（）当点P在x轴下方时，过点P作PHx轴于H，则PHOH=BOAO.13x2-43xx=12.解得x1=0（舍去），x2=112.-13x2+43x=-114.点P的坐标是（112，-114）.

综上所述，在抛物线上存在点P1（52，54），P2（112，-114），使得∠POB与∠BCD互余.

（2）a的取值范围是a4+154.

评注：此题考查线段的旋转构成的对应点的坐标变换规律，以及三角形全等在计算坐标系内点的坐标问题中的应用，用待定系数法确定二次函数解析式，构造直角三角形，运用锐角三角函数式构造方程等.对于第（2）问，可以根据抛物线经过两点（1，1）与（3，1）得出关系b=-4a，c=3a+1，因此抛物线的解析式为y=ax2-4ax+3a+1，①当抛物线开口向下时，易得开口小于y=-13x2+43x的开口程度，即是当a0.设16a2-32a+1=0，解得方程的两根分别是a1=4-154，a2=4+154.因此16a2-32a+1>0的解集是a>4+154与a1，舍去a4+154.综上所述，符合题意的a的取值范围是a4+154.