高考立体几何全解读

1. 考纲解读：

（1）认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.

（2）能画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合体的三视图和直观图.

（3）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

2. 考场对接：

通过2012年的考点统计可以看出，在高考题中本节内容多以选择题、填空题为主要题型，主要考查有关三视图的逆向问题及几何体的表面积和体积的计算问题.

3. 经典例题：

（1）（2012陕西）将正方体（如图1所示）截去两个三棱锥，得到如图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ）

A B C D

（2）（2012北京）某三棱锥的三视图如图3所示，则该三棱锥的表面积是（ ）

A. 20+6■ B. 30+6■？摇

C. 56+12■ D. 60+12■

失分警示 第（1）题是一个有关三视图的画法问题，显得比较容易，多数考生不会有大的问题，若考生对三视图的基本概念不是很清楚，则也可能选错答案. 第（2）题是一个有关三视图的逆向问题，要解决这个问题须通过以下两个环节，其一是由三视图画出原三棱锥的直观图，其二是求出所得三棱锥的表面积，在这两个环节中都易发生错误.

方法突破 对于第（1）题，只需掌握画三视图的基本法则，即可直接做出正确的选择. 对于第（2）题，其关键是如何作出原三棱锥的直观图， 由于本题已经明确原几何体是一个三棱锥，所以可先由俯视图确定其底面的形状（通常情况下与其全等），再由主视图、侧视图及俯视图确定其顶点的位置，从而画出原几何体的直观图.

完美答案 （1）其左视图即为几何体在平面BCC1B1上的投影，注意到加工后的几何体的棱AD1在平面BCC1B1上的投影为BC1且在左视图中能见到，而棱B1C的投影即为它本身且在左视图中看不见. 故选B.

（2）设原三棱锥为P-ABC，如图4，则由俯视图可知，在棱锥的底面ABC中，知∠ABC=90°，BC=4，AB=AO+OB=2+3=5.由正视图与侧视图可知，PO平面ABC于点O，点O在线段AB上，且PO=4，AO=2，OB=3，所以OC=PB=5，故PC=AC=■. 由于PA=2■，所以SPAC=6■，SPAB=■AB·PO=10，SABC=■AB·BC=10，SPBC=■PB·BC=10，所以其全面积为30+6■，故选B.

■ （1）（2012重庆）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，■和a，且长为a的棱与长为■的棱异面，则a的取值范围为（ ）

（2）（2012辽宁）已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为■的球面上，若PA，PB，PC两两垂直，则球心O到截面ABC的距离为_______.

失分警示 对于有关立体几何的选择题和填空题，其失分情况可以分为以下两种类型：其一是由于审题不仔细、概念不清楚、运算不准确等原因没有得到正确答案，我们不妨称为“显性失分”；其二是虽然最后也得到了正确结论，但是费了“九牛二虎之力”，花了过多的宝贵时间，我们不妨称为“隐性失分”.

方法突破 对于立体几何的客观题解法，不但要注意立体几何中的一些常用的基础知识、基本方法、基本技能的应用，还需要注意利用客观题的试题特点来解决问题.

完美答案 （1）本题可以看成一个平面图形的折叠问题：“把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折成一个二面角A-BD-C（其中A，B，C，D不共面），求折成二面角后，AC长的取值范围.”如图5，由此不难发现其取值范围为a∈（0，■）.

图5

（2）球O为四面体P-ABC的外接球，也是以PA，PB，PC为其中三条相交于一点的棱的正方体AB1QC1-PBQ1C（如图6）的外接球，所以可得球心O到截面ABC的距离即为正方体的中心O到平面ABC的距离h，易见h=■PQ=■.

1. 考纲解读：

（1）了解空间向量的概念，掌握空间向量的基本运算及坐标表示.

（2）理解直线的方向向量与平面的法向量，能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）.

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2. 考场对接：

纵观近几年，特别是2012年各地的高考数学试题，直接考查空间向量的试题很难见到，但每份试卷中必有一个立体几何大题，在解答立体几何大题时有两种方法（空间向量方法、立体几何传统方法）可供选择，其中有许多试题选择使用空间向量的方法比较恰当.

3. 经典例题：

■ （2012福建）如图7，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，

（1）求证：B1EAD1.

（2）在棱AA1上是否存在一点P，使DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.

（3）若二面角A-B1E-A1的大小为30°，求AB的长.

失分警示 由于本题给出的几何体是长方体，又涉及立体图形中参数值的确定，显然用空间向量的方法比较合理，但有部分考生对传统方法情有独钟，却又不得要领，导致解题失败. 若用空间向量的方法解决，在涉及与平面相关的问题时，也涉及平面的法向量，有部分考生由于对求平面的法向量的运算过程不是很熟练，导致运算错误.

方法突破 不难发现，本题用空间向量的方法解决比较合理，用空间向量法的最大优点是解决问题的思想方法比较简单，解题的过程可以程序化，掌握其解题程序后只需按解题程序操作即可.

完美答案 由于AB，AD，AA1两两垂直，所以可以分别以直线AB，AD，AA1为x轴，y轴，z轴（A为坐标原点）建立空间直角坐标系. 设AB的长为2a，则A（0，0，0），E（a，1，0），D1（0， 1，1），B1（2a，0，1），A1（0，0，1）.

（1）■=（0，1，1），■=（a，-1， 1），因为■·■=0×a+1×（-1）+1×1=0，所以B1EAD1.

（2）设在棱AA1上存在一点P（0， 0，t），使DP∥平面B1AE，由于D（0，1， 0），所以■=（0，-1，t）. 设n=（x，y，1）是平面B1AE的一个法向量，由■=（2a，0，1），■=（a，1，0），故可得n·■=2ax+1=0，n·■=ax+y=0，得x=-■，y=■，所以n=-■，■，1. 由DP∥平面B1AE可知n·■=-■+t=0，即t=■，所以AP=■时，结论成立.

（3）m=（0，1，1）是平面B1EA1的一个法向量，n=-■，■，1是平面B1AE的一个法向量. 又由于二面角A-B1E-A1的大小为30°，所以可得cos=■=cos30°=■. 即■=■■（a>0），解得a=1，即AB的长为2a=2.

1. 考纲解读：

（1）理解立体几何的4条公理和等角定理.

（2）理解空间直线、平面位置关系的定义，理解线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理.

（3）理解并能证明线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理.

（4）能运用相关公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

2. 考场对接：

线面关系的论证问题、角和距离的计算问题一直是立体几何的传统问题，也是近几年高考的热点问题之一. 通过对2012年全国各地的高考数学试卷（理科，共18份）分析发现，其中的立体几何大题一般分两个小题或三个小题，其中第一小题往往是线面关系的论证问题（如证明线线、线面、面面平行、垂直），第二小题及第三小题往往是角和距离计算问题或几何体的体积、面积计算问题. 但问题的情景丰富多彩，有平面图形的折叠问题、立体几何中的存在性问题、立体几何中的最值问题、角和距离计算中的逆向问题等.

3. 经典例题：

（2012浙江）如图8，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2■的菱形，∠BAD=120°，且PA平面ABCD，PA=2■，M，N分别为PB，PD的中点.

（1）证明：MN∥平面ABCD.

（2）过点A作AQPC于Q，垂足为Q，求二面角Q-MN-A的平面角的余弦值.

失分警示 用传统方法解决立体几何问题的关键是自然地画出辅助线，对于本题须作出二面角Q-MN-A的平面角. 许多考生由于对于如何作二面角的平面角的“基本套路”不是很熟悉，所以觉得无从入手；有的考生虽然能比较顺利地作出二面角的平面角，但在计算平面角的大小时没有把立体几何问题化归为平面几何问题的意识，或解三角形的功底不是很好，最后结果还是“千呼万唤不出来”. 有许多考生选择用空间向量的方法解决，由于没有注意到图形的对称性，建立的空间直角坐标系不是很合理（如以AD，AP所在的直线为其中的两条坐标轴），最后陷入繁杂的运算而不能自拔.

方法突破 对于第（1）题，不难想到只需证明直线MN与BD平行. 对于第（2）题，若用传统方法解决，其关键有以下两步，首先要作出二面角Q-MN-A的平面角，其次是如何求解这个平面角的大小. 注意到MN与平面PAQ垂直，所以二面角的平面角可“生长在”这个几何体的截面PAC之中，我们不妨把它称为“目标平面”，其平面角的计算也可在这个“目标平面”中进行. 在具体操作过程中，可把这个“目标平面” 从原立体图中抽出来，用“特写镜头”的形式真实地呈现在我们面前，从而把立体几何的问题化归为平面几何的问题. 若运用空间向量的方法解决，其关键是如何建立合理的空间坐标系，从而使运算过程更加合理、简捷，注意到这个四棱锥关于平面PAC对称，因此要尽可能多地把坐标轴放在这个平面上，又注意到ABCD是菱形，所以以菱形的对角线的交点为坐标原点建立坐标系比较合理.

完美答案 （1）连结BD，AC相交于点O，由于M，N分别为PB，PD的中点，所以MN∥BD，而BD？哿平面ABCD，MN？埭平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

（2）法1（传统方法）：因为ABCD是边长为2■的菱形，且∠BAD=120°，所以ABC为正三角形，且BDAC. 由PA平面ABCD可得BDPA，所以BD平面PAC，又因为MN∥BD，所以MN平面PAC. 连结PO，MN相交于点K，连结KA，KQ，则KQMN，KAMN，所以∠AKQ为二面角Q-MN-A的平面角. 在RtAPC中，PA=2■，AC=2■，O为AC之中点， K为PO之中点，AQPC于Q，AQ=2■，AK=■·OP=■，tan∠KAQ=tan（∠KAC-∠QAC）=tan（∠POA-∠QAC）=■. 所以cos∠KAQ=■，由余弦定理可得KQ=■，再次由余弦定理可得cos∠AKQ=■，即二面角Q-MN-A的平面角的余弦值为■.

法2（向量方法）：连结AC，BD相交于点O，以O为原点，OC，OD所在的直线为x，y轴建立空间直角坐标系O-xyz（如图9）、在边长为2■的菱形ABCD中，∠BAD=120°可得OA=OC=■，OB=OD=3. 在RtPAC中，AC=2■，PA=2■，AQPC，可得PQ=2QC=4. 由此易得相关点的坐标及平面AMN的一个法向量m=（2■，0，-1），同理可得平面QMN的一个法向量n=（2■，0，5）. 于是cos=■=■，即二面角Q-MN-A的平面角的余弦值为■.

命题趋势：

纵观近几年的各地高考数学试卷，其中的立体几何试题的形式相对比较稳定，相信明年还会延续这种稳定的状况，即还会是“一大一小”或“一大两小”的形式.

线面关系的论证问题，角和距离的计算问题仍然是不变的热点问题，其中线面垂直的性质和证明，二面角的大小问题是热点中的热点.

注意立体几何与其他知识点的交汇处命题是近几年的命题趋势. 如在三视图为载体的试题中融入简单几何体的表面积与体积等内容，在几何体的表面积与体积为载体的试题中渗透函数与方程的思想，在线面关系的论证问题为载体的试题中植入参数的取值范围问题等.

立体几何的试题一般是中等难度，成为难题的概率很小，所以是多数考生志在必得的试题，但考试结果往往事与愿违，有时得分率也不是很高. 其主要原因是方法选择不合理、方法选定后的具体操作不熟练.在今后的复习中，建议特别重视以下几个方面.

1. 积累解题经验，合理选择解题方法

立体几何中的向量方法与传统方法好比武术中的少林拳和武当剑，它们各有千秋，只有把两者融为一体，才能无敌于天下.造成立体几何考试失败的一个重要原因是选择的解法与试题的实际情况不是很“匹配”，把简单问题复杂化，自我地增大解题难度.因此，在熟练掌握空间向量方法与传统方法的基础上，如何根据立体几何问题的实际情况选择合理的方法，做到问题与方法的匹配便显得十分重要. 平时要注意通过典型问题的剖析，体验两大方法各自的特点，提高对立体几何问题的直觉，从而应试时能从容、淡定、合理地选择解题对策.

2. 设计解题程序，正确使用向量方法

用向量方法解决立体几何问题的最大优势是一般不用作辅助线，把立体几何的证明问题、计算问题统一化归为空间向量的计算问题.其解题过程有一定的规律性，所以空间向量的正确、合理的使用显得非常重要，这个“规定动作”不但要做准确，而且要做熟练.

3. 遵循五项原则？摇自然运用传统方法

众所周知，在用传统方法解答立体几何问题时，如何根据题目要求合理地添设辅助线是解决问题的关键所在，许多学生对此问题感到很“纠结”，觉得没有一般规律可循，通过大量的练习以求提高解题能力，从而陷入题海而不能自拔.事实上，若平时练习中能注意总结与反思，则还是有一般规律可循的.通过研究发现，在添设立体几何辅助线时，若能遵循以下五项基本原则，再根据具体情况作具体分析，则能较自然地添设好解决问题所需要的辅助图形，从而使问题得到解决.

原则之一：继承平面几何作图方法的原则. 由于平面几何是立体几何的基础，立体几何是平面几何的推广，有许多立体几何问题可以转化为平面几何问题，平面几何中构作辅助线的常用方法在立体几何图形中的任一平面内仍然适用. 因此，平面几何中的构作辅助线的基本原则和方法应得到继承和发扬.

原则之二：努力显化题目条件的原则. 在解题中若能把所有的已知条件的作用发挥到极致，则问题必然能得到圆满的解决，所以对于立体几何问题，在已知条件中提及的各个几何量（角、距离等）在图形中最好能表示出来. 例如，已知某二面角的大小，则最好能作出这个二面角的平面角；已知某两异面直线所成角的大小，则最好能通过平移其中一条（或两条）直线作出两直线所成的角，等等.

原则之三：努力显化题目结论的原则. 对于一些立体几何中的角和距离的计算问题，其常规方法是作出结论要求的角和距离. 例如，若要求某一个二面角的大小，则如何画出这个二面角的平面角是首先要解决的问题.

原则之四：中点再中点，利用中位线的原则. 若在图形中已涉及到线段的中点，则通常在以这条线段为其中一边的三角形中，取另两边的中点，然后利用三角形的中位线定理解决问题.

原则之五：面面垂直时，作交线的垂线的原则. 当图形中存在直二面角时（即有两个互相垂直的平面时），则可在过其中一个平面内的某一点（与条件或结论联系密切的“明星点”）在这个平面内作两垂直平面交线的垂线，利用平面和平面垂直的性质定理.