数学解题的合理猜想初探

【摘要】 数学猜想是创造性思维的重要形式之一, 具有创新而神秘的特点，在数学解题中,无中生有的猜想显然不可取。本文结合解题思路的剖析，对数学合理猜想的常见方法进行了初步探索, 旨在抛砖引玉。

【关键字】类比 联想 归纳 灵感

数学猜想是指依据已有的材料和知识,对研究的对象进行观察、实验、比较、联想、类比、归纳、分析、综合等,从而作出符合一定经验与事实的推测性想象的思维形式.

一、恰当的逻辑推理让猜想更“合理”.

例： 已知A（）、B是圆F：(F是圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 （ ）

A B C D

思路探索：从四个选项都是椭圆方程,已不难发现,点P

的轨迹为椭圆,从题目条件也不难发现有两个”定点”:

一个是点A,一个是圆心F, 联系椭圆的定义, 我们就

可以很自然大胆猜想这个两点是所求椭圆的焦点,

下面只需要根据椭圆的定义,结合条件验证一下即可：

猜想过程的图示如下：

判断点P的轨迹为椭圆

发现两个”定点”

答案: 选B

二、类比与联想是“合理”猜想的翅膀.

例: 求y=的最大值和最小值.

思路探索: 从其分式的形式, 可以类比想到相似的斜率公式k=

问题就转化为求两点P(2,2)、M(sinx,cosx)所在直线斜率的最大值和最小值, 猜想的图示如下：

答案： 45

四、极限思想有助于“合理”猜想问题的结论：

例： (2009辽宁高考) 正六棱锥P-ABCDEF中, G为PB的

中点,则三棱锥D-GAC与三棱锥P-GAC体积之比为

A 1:1 B 1:2 C 2:1 D 3:2

思路探索：若点P的位置无限接近底面正六边形中心O，则G点无限接近OB的中点，几何体的体积比也就无限接近面积比2：1，于是，我们就可以大胆而合理地“猜测”答案选C

猜想的图示如下：

五、设想特殊情况也能“合理”猜测结论：

例：如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V,点P、Q分别在

侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥B-APQC的体积为

A B

Ｃ

Ｄ

思路探索：点Q运动到C1, 点P运动到A，则四棱锥B-APQC变成了三棱锥

C1-ABC，于是我们可以大胆猜测所求体积为三棱锥C1-ABC的体积.

猜想的图示如下：

``

答案：A

六、仿造性猜想

例：(广州市2010届高三调研)

如图，在棱长为1的正方体中，

是的中点．

（1）求证： A1C // 平面；

（2）在对角线上是否存在点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

思路探索: 对于问题(2), 联想到平面与平面垂直的性质定理的内容: 若两平面互相垂直,则在其中一平面内的一直线如果与两平面的交线垂直,则垂直于另一个平面.于是,我们可以仿照这个定理的模型，很自然地猜测: 如果平面平面AD1E 成立的话,这个问题就会有“法”可依了，完全可仿照定理的内容把垂线作出来!

猜想过程的图示如下：

面面垂直的性质定理

αβ

CDAB

CDα

αβ=AB

以上，列举了数学猜想的一些常见方法及解题思路探索过程，从中也可以看出，为了能引导学生更好地进行数学猜想，我们应该借助于教学手段让学生尽可能地自主探索，并让其对数学思维的关键环节产生深刻印象，同时在学生“猛然醒悟”、“创意澎湃”的时候安排具有相似的方法的题目让学生去再尝试，无疑会收到很好的教学效果.

参考文献

[1]《数学与猜想》G..波利亚

[2]《学与教的心理学》皮连生主编

[3]《论科学思维方法之科学想象》丁珂