中考数学热点题型:以行程问题为载体的一次函数试题分析

行程类一次函数试题一直受到中考命题者的青睐，是中考数学的热点题型。这类试题将行程问题蕴涵在一次函数之中，以图像、表格、文字的组合形式呈现，涉及面广，灵活性强，对学生分析问题、解决问题的能力要求较高，重在考查学生的识图能力和创新意识。传统的行程类问题以方程应用为主。随着新课程的实施，近几年大量地出现了根据图像信息运用一次函数解决行程问题的试题，充分体现了课程标准的理念。现以2007、2008年中考若干试题为例进行分析。

一、追击问题

例1.（2008年泰州市中考试卷）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程（千米）、（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：

（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时。

（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？

（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。

解：（1）1.9。

（2）方法一：设直线EF的解析式为y=kx+b。

点E（1.25，0）、点F（7.25，480）均在直线EF上，

1.25k+b=07.25k+b=480，解得k=80b=-100。

直线EF的解析式是y=80x-100。

点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，

点C的纵坐标为80×6-100=380，

点C的坐标是（6，380）。

设直线BD的解析式为y=mx+n。

点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上，

6m+n=3807m+n=480，解得m=100n=-220。

直线BD的解析式是y=100x-220。

点B在直线BD上，且点B的横坐标为4.9，代入y得B（4.9，270），

甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米。

方法二：从图像可知：乙组6小时行驶了480千米，则乙组1小时行驶80千米，

乙组到达点C 4.75小时前进了4.75×80=380千米。

从图像可知：甲组从点C走到点D，1小时走了480-380=100千米。

甲组从B点走到D点，6-4.9=1.1小时应该走110千米，

B点距出发点应是380-110=270千米。

即甲组在排除故障时，距出发点的路程是270千米。

（3）符合约定。

由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在点B和点D相距最远。

在点B处有y-y=80×4.9-100-（100×4.9-220）=22千米＜25千米，

在点D有y-y=100×7-220-（80×7-100）=20千米＜25千米，

按图像所表示的走法符合约定。

简析：1.汽车发生故障时路程不随时间而变化，因此甲组在途中停留的时间就是x-x。2.方法一，要求甲组的汽车在排除故障时距出发点的路程，从图中可知，就是要求点A或点B的纵坐标，确定直线OA或直线BD是解决问题题的关键。由图像分析，只能求得直线EF的解析式，由于点C在直线EF上，所以点C的坐标显然随之确定，由C、D两点的坐标利用“待定系数法”可确定直线BD。这是典型的行程问题中数形结合的实例，用“图像法”求解是“通解通法”，学生容易理解，但计算量较大，显得比较麻烦。方法二，在读懂图像提供信息的基础上，借助于路程、速度、时间之间的关系，使问题得到巧妙的解决。此法简洁、迅速。3.由图可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远；分别在B处求得y-y、在D处求得y-y与25比较，即可判断甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程是否符合约定。

二、相遇问题

例2.（2007年大连市中考试题）如图，某探险队的8名队员在距营地210千米的地方遇险， 营地负责人接到通知后， 告知探险队全体人员步行返回营地， 并派出一辆越野车以80千米/时的速度前去营救， 2.5小时后越野车遇到探险队员， 将其中4名队员送回营地， 并立即返回接其他队员， 求越野车第二次接到队员时与营地的距离（越野车与探险队员的步行速度均近似为匀速，队员上、下车的时间忽略不计）。

解：由题意可知：点A表示越野车去接探险队员与第一次探险队员相遇，越野车行进2.5小时探险队前进了80×2.5=200千米，即A的坐标为（2.5，200）。

设直线OA解析式为y=k x，

把点A （2.5，200）代入y=k x，得k=80，

直线OA的解析式为y=80x。

设直线FA解析式为y=k x+b，

把点F（0，210）、A（2.5，200）代入y=k x+b，

210=b200=k x+b，解得k=-4b=210。

越野车速度均近似为匀速，

点C的坐标为（5，0）。

设直线BC解析式为y=80x+b，

把点C（5，0）代入y=80x+b，得b=-400，

直线BC解析式为y=80x-400。

由题意得y=-4x+210y=80x-400，解得x=y=。

越野车第二次接到队员时与营地的相距千米。

简析：因为越野车速度均近似为匀速，所以图中线段BC∥OA，BD∥AC。点A表示越野车去接探险队员与探险队员第一次相遇，越野车行进2.5小时探险队前进了80×2.5=200千米，即A的坐标为（2.5，200），从而确定直线OA的解析式；点C表示越野车返回到营地， 由于越野车速度均近似为匀速，则点C的坐标为（5，0），因此直线BC是过点C且平行于OA 的线段；线段FA与BC两直线的交点B不难求得，则越野车第二次接到队员时与营地的距离随之确定。

例3.（2007年哈尔滨中考试题）甲乙两名同学进行登山比赛，下图中表示甲同学和乙同学沿相同线路同时从山脚出发到达山顶的过程中，各自行进的路程随时间变化的图像，根据图像中的有关数据回答下列问题：

（1）分别求出甲乙两同学登山过程中路程S（km）与时间t（h）的函数解析式；（不要求写出自变量t的取值范围）

（2）当甲到达山顶时，乙行进到山上的某点A处，求A点距山顶的距离；

（3）在（2）的条件下，设乙同学从A处继续登山，甲同学到达山顶后休息1h，沿原路下山，在点B处与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5km。相遇后甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

解：（1）设甲登山过程中路程S（km）与时间t（h）的函数解析式为s=k t。

由图像可知，当t=2时，s=6，

2k=6，解得k=3。

表示甲登山过程的函数解析式为s=3t。

设乙登山过程中路程S（km）与时间t（h）的函数解析式为s=k t。

由图像可知，当x=3时，s=6，

3k=6，解得k=2，

表示乙登山过程的函数解析式为s=2t。

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把s=12代入s=3t，得t=4，

当t=4时，s=2x=2×4=8。

当甲到达山顶时，乙在山上的A处，离山脚的距离是8千米。

（3）点B与山顶距离为1.5km，

点B与山脚距离为10.5km。

把s=10.5代入s=2x，得x=。

设甲下山过程的线段DF函数解析式为s=k x+b，

把D（5，12），B（，10.5）代入得12=5x+b10.5=+b，解得k=-6b=42。

甲下山过程的线段DF函数解析式为s=-6x+42。

把x=6代入s=-6x+42，得s=6，

甲离山脚的距离为6千米。

简析：1.由已知条件可设两条直线分别为s=k x（k≠0）和s=k x+b（k≠0），然后根据图像给出的点的坐标，利用“待定系数法”可确定（1）的两条直线；2.甲到山顶的时间是=4小时，把x=4代入乙的解析式得到A点到山脚的距离，则A到山顶的距离随之确定；3.由点B到山顶的距离是1.5千米可知B点的纵坐标为10.5，由于B点也在乙的图像上，则B点的坐标随之确定，从而求得DF的解析式，乙到达山顶时需6小时，把x=6代入DF的解析式得到乙到达山顶时，甲离山脚的距离。

这类题亦可用相遇和追击问题中的速度和路程之间的关系求得，但利用图像法求交点解决这类问题可减少学生学习行程问题应用题的困难，激发学生学习的热情，培养学生的创新意识。

三、综合性问题

例4.（2008年南京市中考试题）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。

根据图像进行以下探究：

信息读取：

（1）甲、乙两地之间的距离为km。

（2）请解释图中点B的实际意义。

图像理解：

（3）求慢车和快车的速度。

（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。

问题解决：

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

解：（1）900。

（2）图中点B的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇。

（3）由图像可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为=75（km/h）；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为=225（km/h），所以快车的速度为150km/h。

（4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶=6（h）到达乙地，此时两车之间的距离为2×225=450（km），所以点C的坐标为（6，450）。

设线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=kx+b，

把（4，0），（6，450）代入y=kx+b，得0=4k+b450=6k+b，解之得k=225b=-900。

所以线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y=225x-900（4≤x≤6）。

（5）方法一：当第二列快车与慢车相遇时，两快车间的距离就是第一列快车与慢车相遇后30分钟时两车之间的距离×225km，所以当第一列快车行驶×225km时第二列快车就开始行驶，第二列快车比第一列快车晚出发时间==0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。

方法二：慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h。

把x=4.5代入y=225x-900，得y=112.5。

慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间=112.5÷150=0.75（h），即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h。

方法三：第二列快车没有行驶时，慢车与第二列快车之间的路程与时间之间的关系为：y=900-75x；

设第二列快车行驶后，第二列快车与慢车之间的路程与时间之间的关系：y=-225x+b，

把点E（4，0）代入y=-225x+b，得b=，

第二列快车与慢车之间的路程与时间之间的关系为y=-225x+。

由题意得y=900-75xy=-225x+，解之得x=y=-。

即第二列快车比第一列快车晚出发h。

简析：1.A表示两车没有行驶，900km就是甲、乙两地之间的距离。2.B点的纵坐标为0，表示慢车行驶4h时慢车和快车相遇。3.由图像可知，慢车12h行驶的路程为900km，慢车的速度显然可求；慢车行驶4h时，慢车和快车行驶4h的路程为900km，所以可求得慢车和快车行驶的速度之和，从而求得快车的速度。4.点C表示快车已经行完了900km到达乙地，显然x=6；当两车相背行驶2h时两车相距为2×两车的速度之和，即求得y；由B、C两点的坐标从而确定直线BC的解析式。5.方法一：第二列快车行驶后两列快车间的距离保持不变，当第二列快车与慢车相遇时，两快车间的距离就是第一列快车与慢车相遇后30分钟时两车之间的距离×225km，所以当第一列快车行驶×225km时第二列快车就开始行驶，显然第二列快车比第一列快车晚出发时间就可以求得；方法二：对于方法一中两快车间的距离也相当于第一列快车与慢车行驶4小时30分钟时两车之间的距离，把x=4代入直线BC的解析式即可；方法三：（图像法）如图，由于第二例快车没有行驶，慢车与第二列快车之间的路程与时间之间的函数关系实质就是慢车距甲地的路程与时间之间的函数关系式，即线段y=900-75x；由于第二列快车与第一列快车速度相同，故直线PE的斜率k=-225，所以第二列快车与慢车之间的路程与时间之间的关系：y=-225x+b，把相遇点E（4，0）代入得b；直线AP、PE的交点P的横坐标就是第二列快车比第一列快车晚出发的时间。

以行程问题为载体的中考一次函数型试题，可以用“图像法”求解，也可以在阅读理解的基础上，联想相遇、追击的行程问题中路程、速度、时间之间的关系，用算术方法巧妙地解决问题，有时须两种方法结合进行综合分析。虽然行程类问题是学生再熟悉不过的一个问题背景，看上去很容易，但形式灵活，且有时条件隐含，学生往往感到难以把握。因此，理解题意、读懂图像、动静分析、数形结合是解决此类问题的有效途径。

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