初中数学教学中渗透分类讨论思想初探

【摘要】新课标指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。”作为数学教师，不仅仅要让学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能，还需要让学生掌握基本的数学思想和方法。现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。教学应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则．它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。

【关键词】初中数学；数学教学；分类讨论,渗透；探究方法；构建

数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。因此，在数学教学中应注重对学生进行分类讨论思想方法的培养。

1. 营造宽松的课堂气氛，培养学生的学习兴趣 学习是一种个性化行为。作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的“场所”，让学生的个性在宽松、自然、愉悦的氛围中得到释放，展现生命的活力。

（1）让学生成为课堂的主人。人的能力并不是靠“听”会的，而是靠“做”会的，只有动手操作和积极思考才能出真知。因此，我们不能让学生在课堂上做“听客”和“看客”，要让学生做课堂的主人，动口、动手、又动脑，亲身参与课堂和实践，包括知识的获取、新旧知识的联系，知识的巩固和应用的全过程。教师在教学活动中应主动参与、积极引导、耐心辅助，与学生平等合作、努力探研，充分发挥教师的主导作用，真正地把学生解放出来，使学生真正成为课堂上的主人。

（2）营造宽松的课堂气氛。 一个良好的课堂气氛，能促进师生双方交往互动，分享彼此的思考、见解和知识，交流彼此的情感、观念与理念，能真正把教师转变为学习活动的组织者、引导者、合作者，把学生转变为真正学习的主人。

2. 有意识的分阶段渗透分类讨论思想

（1）在概念中渗透分类讨论意识和原则。 初中课本中有很多定义本身是分类定义，教师在教学中要有意识地让学生在学习中逐步体会分类讨论思想。例如“有理数”这一章的教学，反复渗透，强化数学分类思想，使学生逐步形成数学学习中的分类的意识。并能在分类讨论的时候注意一些基本原则，如分类的对象是确定的，标准是统一的，如把有理数分为：正数、负数、整数，就是犯分类标准不一的错误。在确定对象和标准之后，还要注意分清层次，不越级讨论。

（2）在法则、定理、公式导出过程中体现分类讨论思想。 教师可以在有理数加法的教学时应进一步渗透这一思想。首先让学生讨论：在引入负数后，有理数的加法会出现几种情况？请学生举例说明。学生归纳出有理数相加的几种类型，然后让学生思考：怎样计算以上两个有理数相加呢？可让学生根据生活中具体的例子，如飞机的两次运动（规定上升为正，下降为负）来找出正确答案。然后让学生考虑：如果把两数的和从符号和绝对值两个方面思考，判断和的符号与加数的符号有什么关系？和的绝对值与加数的绝对值有什么关系？归纳出几条法则后，提出新的问题：有没有两个有理数之和为零？这一运算是否已包含在我们已经归纳出的几条法则内？为什么？从而使学生体会分类的完整性和严谨性。

（3）在问题解决中强化分类讨论思想。 在数学问题探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。比如在教学图形3×3的正方形时，作出所有正方形的对角线后，求这个图形中共有多少个正方形，分析：由于图形复杂，线条交错，随意去数的话难免有少算、重算之误，所以应设法找特点，分类计数。

（4）在单元小结、专题讲座中提炼和概括分类思想。 适当开设专题讲座也是帮助学生理解数学知识、培养数学思维的一条有效途径。我们可以在讲座中系统讲清分类讨论思想方法的内涵、外延、作用、功能等，熟悉分类讨论思想出现的常见题型及特点，从而进一步在提炼与概括中把握分类讨论的思想。

（5）拓宽课外作业，延伸数学思想。 数学思想的渗透不应该只停留在数学课堂内，应在课堂外继续延伸。而延伸的途径便是数学作业的布置。在一堂概念课结束以后，布置合适的作业能让学生在课堂之外继续得到数学思想的渗透。其中，有些数学思想可以以题目的形式出现，如分类思想、数形结合思想、换元思想、方程思想、函数思想等，但也有一些很难用数学题目的形式得以延伸，如化归思想、抽象概括思想等，可以采用其他方式，如动手操作题，探究题，合作交流题等等。

（6）新增设的“做一做” 锻炼学生动手能力。 利用“做一做”，指导学生动手操作，从中体会学数学的乐趣。多年来，由于“应试教育”的桎梏，学生学得苦，教师也教得苦，到头来学生只会依样画葫芦地解题，而动手制作和应用知识的能力却相当低下，更谈不上开动脑筋发挥创造性，“应试教育”严重地束缚了学生个性的发展。充分使用新教材中“做一做”的内容，指导学生利用硬纸、木条、铁丝等材料制作一些简易的几何模型，可以激发学生的学习兴趣，提高学生的动手操作能力，培养学生的思维能力和空间观念，有利于全面提高学生的数学素质，体现了课程标准的要求：“能够由简单的实物想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状。”

3. 启发诱导，适时揭示分类讨论思想的本质 分类讨论是重要的数学思想方法，但初中学生常常分类讨论的意识不强，不知道哪些问题需要分类及如何合理的分类。这就需要教师在教学中结合教材，举一些符合新课标要求且学生能够接受的，需要区分种种情况进行讨论的问题，启发诱导，揭示分类讨论思想的本质。

4. 创设情境，深化提高，使学生自觉应用分类讨论思想 分类讨论的思想对学生的能力要求较高，除了在课堂教学中渗透、提炼外，还要有意识地增加平时应用这一思想方法的机会，得到强化，克服分类讨论中的盲目性和随意性，提高学生综合运用这种数学思想解题的能力。

（1）根据数学的概念进行分类。 有些数学概念是分类给出的，解答此类题，一般按概念的分类形式进行分类。例如：比较与易得的错误，导致错误在于没有注意到数可表示不同类的数。

（2）根据数学的法则、性质或特殊规定进行分类。学习一元二次方程,根的判别式时，对于变形后的方程，用两边开平方求解，需要分类研究大于0，等于0，小于0这三种情况对应方程解的情况。而此题的符号决定能否开平方，是分类的依据。从而得到一元二次方程的根的三种情况。

（3）根据图形的特征或相互间的关系进行分类。如三角形按角分类，有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，直线和圆根据直线与圆的交点个数可分为：直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交。

（4）引导分类讨论，提高合理解题的能力。初中课本中有不少定理、法则、公式、习题，都需要分类讨论，在教授这些内容时，应不断强化学生分类讨论的意识，让学生认识到这些问题，只有通过分类讨论后，得到的结论才是完整的、正确的，如不分类讨论，就很容易出现错误。在解题教学中，通过分类讨论还有利于帮助学生概括，总结出规律性的东西，从而加强学生思维的条理性，缜密性。

利用现有教材，教学中着意渗透并力求帮助学生初步掌握分类的思想方法，结合其它数学思想方法的学习，注意几种思想方法的综合使用，给学生提供足够的材料和时间，启发学生积极思维。相信会使学生在认识层次上得到极大的提高，收到事半功倍的教学成效。